资料简介
第二十六章 反比例函数
本章内容属于“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，
再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界中存在各种函数，掌
握如何应用函数知识解决实际问题．反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数
的基础．
本章的主要内容是反比例函数，教材中从几个学生熟悉的实际问题出发，引入反比例函
数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识．
第一节的内容是反比例函数的概念以及反比例函数的图象和性质．反比例函数 y＝
k
x(k
为常数，k≠0)的图象分布在两个象限，当 k>0 时，图象分布在第一、三象限，y 随 x 的增
大(减小)而减小(增大)；当 k0，所以这个函数的图象在第一、三象限内，
y 随 x 的增大而减小．
(2)把点 B，C 和 D 的坐标代入 y＝
12
x ，可知点 B、点 C 的坐标满足函数关系式，点 D
的坐标不满足函数关系式，所以点 B、点 C 在函数 y＝
12
x 的图象上，点 D 不在该函数的图
象上．
例 2 如图是反比例函数 y＝
m－5
x 的图象的一支．
根据图象回答下列问题：
(1)图象的另一支在哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？
(2)在上图的图象上任取点 A(a，b)和点 B(a′，b′)，如果 a>a′，那么 b 和 b′有怎样
的大小关系？
师生活动：让学生先观察图象，然后结合反比例函数的图象完成此题．教师应给学生提
供充分的交流时间和空间．
解：(1)反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限或者分布在第二、
四象限，这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．
因此这个函数的图象分布在第一、三象限，所以 m－5>0，解得 m>5.
(2)由函数的图象可知，在双曲线的一支上，y 随 x 的增大而减小，因为 a>a′，所以 b＜
b′.
三、巩固练习
1．若直线 y＝kx＋b 经过第一、二、四象限，则函数 y＝
kb
x 的图象在( )
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第三、四象限 D．第一、二象限
答案 B
2．已知点(－1，y1)，(2，y2)，(π，y3)在双曲线 y＝－
k2＋1
x 上，则下列关系式正确的
是( )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2
C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
答案 B
四、课堂小结
1．进一步掌握了反比例函数的作图方法．2．学会了利用反比例函数的性质画出反比例函数的图象．
本节课通过学习情境的创设改变了学生的学习方法，学生的学习能力、思维品质、探究
意识及其态度、情感价值观等有了不同的发展．在这节课的教学中，我比较成功地实施了诱
思探究教学，学生的积极性得到充分的调动．在教学过程中，注意引导学生仔细观察反比例
函数图象的特征，根据其对称性列表、描点、连线，作图就会画得又快又美观，注意控制时
间，充分理解教学意图，敢于放手．
26．2 实际问题与反比例函数
知识与技能
1．能灵活运用反比例函数解决一些实际问题．
2．分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．
过程与方法
会用反比例函数知识分析、解决实际问题．
情感、态度与价值观
渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力．
重点
会用反比例函数知识分析、解决实际问题．
难点
分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式．
一、复习导入，教授新课
问题：
市煤气公司要在地下修建一个容积为 104 m3 的圆柱形煤气储存室．
(1)储存室的底面积 S(单位：m2)与其深度 d(单位：m)有怎样的函数关系？
(2)公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向下挖进多深？
(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下 15 m 时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，
公司临时改变计划把储存室的深改为 15 m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足
需要？(保留两位小数)
我们知道圆柱的容积是底面积×高，而现在容积一定为 104 m3，所以 S·d＝104.
变形就可得到底面积 S 与其深度 d 的函数关系式，即 S＝
104
d ，所以储存室的底面积 S
是其深度 d 的反比例函数．
根据函数 S＝
104
d ，我们知道给出一个 d 的值就有唯一的 S 的值和它相对应，反过来，
知道 S 的一个值，也可求出 d 的值．
根据 S＝
104
d ，得 500＝
104
d ，解得 d＝20，即施工队施工时应该向下挖进 20 米．
根据 S＝
104
d ，把 d＝15 代入此式，得S＝
104
15 ≈666.67(m2)．
当储存室的深为 15 m 时，储存室的底面积应改为 666. 67 m2 才能满足需要．
二、例题讲解
例 1 码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间．
(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度 v(单位：吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样
的函数关系？
(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕，那么平均每天至少要卸
载多少吨？
解：(1)设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得
k＝30×8＝240，
所以 v 关于 t 的函数解析式为
v＝
240
t .
(2)把 t＝5 代入 v＝
240
t ，得
v＝
240
5 ＝48(吨)．
从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载完，那么平均每天卸载 48 吨．对于函
数 v＝
240
t ，当 t>0 时，t 越小，v 越大．这样若货物不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要
卸载 48 吨．
例 2 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m.
(1)动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大
的力？
(2)若想使动力 F 不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？
解：(1)根据“杠杆原理”，得
Fl＝1 200×0.5，
所以 F 关于 l 的函数解析式为
F＝
600
l .
当 l＝1.5 m 时，
F＝
600
1.5＝400(N)．
对于函数 F＝
600
l ，当 l＝1.5 m 时，F＝400 N，此时杠杆平衡，因此，撬动石头至少需
要 400 N 的力．
(2)对于函数 F＝
600
l ，F 随 l 的增大而减小．因此，只要求出 F＝200 N 时对应的 l 的值，
就能确定动力臂 l 至少应加长的量．
当 F＝400×
1
2＝200 时，由 200＝
600
l 得
l＝
600
200＝3(m)，3－1.5＝1.5(m)．
对于函数 F＝
600
l ，当 l>0 时，l 越大，F 越小．因此，若想用力不超过 400 N 的一半，
则动力臂至少要加长 1.5 m.
例 3 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110 Ω～220 Ω.已知电压为 220 V，这
个用电器的电路图如图所示．
(1)功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系？
(2)这个用电器功率的范围是多少？
解：(1)根据电学知识，当 U＝220 时，得
P＝
2202
R . ①
(2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．把电阻的最小值 R＝110 代入①
式，得到功率的最大值
P＝
2202
110 ＝440(W)；
把电阻的最大值 R＝220 代入①式，得到功率的最小值
P＝
2202
220 ＝220(W)．
因此用电器功率的范围为 220W～440W.
三、巩固练习
1．京沈高速公路全长 658 km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程
所需的时间 t(h)与行驶的平均速度 v(km/h)之间的函数关系式为________．
答案 t＝
658
v
2．一定质量的氧气，它的密度ρ(kg/m3)是它的体积 V(m3)的反比例函数．当 V＝10 m3
时，ρ＝1.43 kg/m3.(1)求ρ与 V 的函数关系式；(2)求当 V＝2 m3 时氧气的密度ρ.
答案 (1)ρ＝
m
V，当 V＝10 m3 时，ρ＝1.43 kg/m3，所以 m＝ρV＝10×1.4＝14.3，所
以ρ＝
14.3
v ；(2)当 V＝2 m3 时，ρ＝
14.3
2 ＝7.15(kg/m3)．
四、课堂小结
本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解
决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题
置于已有的知识背景之中，抽象出数学模型，逐步形成解决实际问题的能力，在解决问题时，
应充分利用函数的图象帮助分析问题，渗透数形结合的思想．
本节体现了反比例函数是解决实际问题的有效的数学模型的思想．创设问题情境，激发
学生探究实际问题的兴趣，引发学生思考，体验数学知识的实用性，让学生经历“问题情境→
建立模型→拓展应用”的过程，培养学生善于发现问题、积极参与学习的能力，培养学生的
数学应用意识，充分激发学生的潜能．
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