资料简介
第五单元 数学广角——鸽巢问题
单元导语 本单元共包括抽屉原理(一)和抽屉原理(二)两部分知识。本单元的知
识点通过几个直观的例子,借助实际操作,向学生介绍“鸽巢问题”。学生在理
解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题“模型化”,会
用“鸽巢问题”解决问题,促进逻辑推理能力的发展。
1.抽屉原理(一)
该部分内容包括例 1 和例 2 两个例题,引导学生从简单的情况开始研究,
渗透“建模”思想。通过学生独立证明、小组交流、汇报展示,使学生相互学习
解决问题的不同方法。
2.抽屉原理(二)
该部分内容通过例 3 一个例题体现出来,通过摆或假设法继续发现规律,
进一步理解最不利的原则,最后全面概括总结抽屉原理,然后介绍抽屉原理的逆
向思维。
1.让学生经历“数学证明”的过程,可以鼓励、引导学生借助学具、实
物操作或画图的方式进行“说理”。通过“说理”的方式理解“鸽巢原理”的
过程是一种数学证明的雏形。通过这样的方式,有助于提高学生的逻辑思维能力,
为以后学习较严密的数学证明做准备。
2.有意识地培养学生的“模型”思想。当我们面对一个具体的问题时,
能否将这个具体问题和“鸽巢原理”联系起来,能否找到该问题中的具体情境与
“鸽巢原理”的“一般化模型”之间的内在关系,能否找出该问题中什么是“待
分的东西”,什么是“鸽巢”,是解决问题的关键。教学时,要引导学生先判断某
个问题是否属于用“鸽巢原理”可以解决的范畴;再思考如何寻找隐藏在其背后
的“鸽巢问题”的一般模型。
3.要适当把握教学要求。“鸽巢原理”本身或许并不复杂,但它的应用
广泛且灵活多变。因此,用“鸽巢原理”解决实际问题时,经常会遇到一些困难。
例如,有时要找到实际问题与“鸽巢原理”之间的联系并不容易,即使找到了,也很难确定用什么作为“鸽巢”,要用几个“鸽巢”。因此,教学时,不必过于要求
学生“说理”的严密性,只要能结合具体问题,把大致意思说出来就可以了,鼓励
学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
第 1 课时 数学广角——鸽巢问题
教学内容
人教版六年级下册教材第 68 页例 1、第 69 页例 2 和第 70 页例 3。
内容简析
例 1 和例 2:初步了解和认识有关“抽屉原理(一)”的问题。
例 3:解决“抽屉原理(二)”问题的过程。
教学目标
1.初步了解抽屉原理,会运用抽屉原理知识解决简单的实际问题。
2.通过动手操作、画图、推理等活动,经历探究解决“抽屉原理”问题的过
程。
3.培养学生的逻辑思维能力和推理能力,提高学生解决问题的能力。
教学重难点
重点:经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”。
难点:运用“抽屉原理”解决生活中的实际问题。
教法与学法
1.在教法上,放手让学生自主思考,先让学生采取自己的方法进行“证明”,
然后再进行交流探索。
2.在学法上,本节课以学生自主探索的方式,通过先动手操作,再交流总结,
归纳出“抽屉原理”;解决例 3 时,可以通过先猜测再验证的方法来解决。
承前启后链
教学设计
复习:先回顾一下
上一单元所学习的
知识,巩固旧知。
学 习 : 理 解 并 经 历
“鸽巢问题”的探究
过程。
延学:运用抽屉原
理 解 决 生 活 中 的
实际问题。教学过程
一、情景创设,导入课题
游戏导入法:
师:同学们,我们一起来玩一个游戏——抛硬币。我现在把手中的 1 元硬币
向上抛 3 次,观察正面向上的有几次,反面向上的有几次。
生:3 次正;2 次正,1 次反;1 次正,2 次反;3 次反。
师:同学们,再抛几次观察一下,会不会无论怎样抛,总有同一面至少有 2 次
向上呢?
这个问题就是我们今天要研究的一个新的数学问题——抽屉原理。
【品析:这种游戏的方式,让学生感受数学好玩,让学生在玩中学数学,在玩
中感悟数学。】
魔术引入法:
师:今天老师给大家表演一个魔术,这个魔术需要 5 名同学来配合,谁愿意?
向学生介绍:这是一副扑克牌,取出大王、小王,还剩多少张?请同学们每人
随意抽一张牌。
师:好,见证奇迹的时刻到了,你们手里的 5 张牌至少有 2 张牌的花色是一样
的。(学生打开牌后让大家看)
课件出示:至少有两张是同一花色。“至少”表示什么意思?
师:同学们,知道老师为什么能做出那么准确的判断吗?因为这个魔术蕴涵着
一个数学原理,今天我们就一起来研究这个原理。
【品析:此环节的魔术表演是学生喜欢的,创设魔术表演的情境,抓住学生好
奇的心理,激发学生的求知欲望,唤起学生的主体意识,为学生自主探索、发现问
题、解决问题营造氛围。】
二、师生合作,探究新知
1.教学例 1。(课件出示例 1 情境图)
思考问题:把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中,不管怎么放,总有 1 个笔筒里至
少有 2 支铅笔。为什么呢?“总有”和“至少”是什么意思?
学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识“鸽巢
问题”的学习过程来解决问题。
(1)操作发现规律:通过把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中,可以发现:不管怎
么放,总有 1 个笔筒里至少有 2 支铅笔。
(2)理解关键词的含义:“总有”和“至少”是指把 4 支铅笔放进 3 个
笔筒中,不管怎么放,一定有 1 个笔筒里的铅笔数大于或等于 2 支。
(3)探究证明。 方法一:用“枚举法”证明。
方法二:用“分解法”证明。
把 4 分解成 3 个数,与枚举法相似,也有 4 种情况,每一种情况分得的 3
个数中,至少有 1 个数是不小于 2 的数。
方法三:用“假设法”证明。
通过以上几种方法证明都可以发现:把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中,无论
怎么放,总有 1 个笔筒里至少放进 2 支铅笔。
(4)认识“鸽巢问题”。
像上面的问题就是“鸽巢问题”,也叫“抽屉问题”。在这里,4 支铅
笔是要分放的物体,就相当于 4 只“鸽子”,“3 个笔筒”就相当于 3 个“鸽
巢”或“抽屉”,把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把 4 只鸽子放进 3 个
笼子,总有 1 个笼子里至少有 2 只鸽子。 这里的“总有”指的是“一定有”或
“肯定有”的意思;而“至少”指的是最少,即在所有方法中,放的鸽子最多的那
个“笼子”里鸽子“最少”的个数。
小结:把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中,不管怎么放,总有 1 个笔筒里至少放
进 2 支铅笔。
(5)归纳总结。
鸽巢原理(一):如果把 m 个物体任意放进 n 个抽屉里(m>n,且 n 是非零
自然数),那么一定有一个抽屉里至少放进了 2 个物体。
2.教学例 2。(课件出示例 2 情境图)
思考问题:(1)把 7 本书放进 3 个抽屉,不管怎么放,总有 1 个抽屉里至
少有 3 本书。为什么呢? (2)如果有 8 本书会怎样呢?10 本书呢?
学生通过“探究证明→得出结论”的学习过程来解决问题(1)。
①探究证明。
方法一:用数的分解法证明。
把 7 分解成 3 个数的和。把 7 本书放进 3 个抽屉里,共有 8 种情况,每
种情况分得的 3 个数中,至少有 1 个数不小于 3,也就是每种分法中本数最多的
那个数最小是 3,即总有 1 个抽屉至少放进 3 本书。
方法二:用假设法证明。
把 7 本书平均分成 3 份,7÷3=2(本)……1(本),若每个抽屉放 2 本,则
还剩 1 本。如果把剩下的这 1 本书放进任意 1 个抽屉中,那么这个抽屉里就有 3
本书。
②得出结论。
通过以上两种方法都可以发现:7 本书放进 3 个抽屉中,不管怎么放,总
有 1 个抽屉里至少放进 3 本书。
学生通过“假设分析法→归纳总结”的学习过程来解决问题(2)。 ①用假设法分析。
8÷3=2(本)……2(本),剩下 2 本,分别放进其中 2 个抽屉中,使其中 2
个抽屉都变成 3 本,因此把 8 本书放进 3 个抽屉中,不管怎么放,总有 1 个抽屉里
至少放进 3 本书。10÷3=3(本)……1(本),把 10 本书放进 3 个抽屉中,不管怎么
放,总有 1 个抽屉里至少放进 4 本书。
②归纳总结:
综合上面两种情况,要把 a 本书放进 3 个抽屉里,如果 a÷3=b(本)……
1(本)或 a÷3=b(本)……2(本),那么一定有 1 个抽屉里至少放进(b+1)本书。
鸽巢原理(二):把多于 kn 个的物体任意分别放进 n 个空抽屉(k 是正整
数,n 是非 0 的自然数),那么一定有一个抽屉中至少放进了(k+1)个物体。
【品析:本环节通过让学生利用枚举法、假设法和分解法把抽象的数学知识
同具体的分析策略结合起来,经历知识发生、发展的过程,体验策略多样化。】
3.教学例 3。
出示例 3:盒子里有同样大小的红球和蓝球各 4 个,要想摸出的球一定
有 2 个同色的,至少要摸出几个球?
(1)学生提出猜想。
(2)用预先准备的学具,小组合作交流。
(3)小组反馈,师板书:
(4)得出结论:把颜色看作抽屉,摸出的红球就放入“红抽屉”,蓝球就
放入“蓝抽屉”。有两种颜色,只要摸出的球比它们的颜色多 1,就能保证有两
个球同色。
师:如果盒子里有蓝球、红球、黄球各 6 个,要想从盒子里摸出两个同
色的球,至少要摸出几个球?
分小组讨论后汇报。
出示“做一做”第 2 题,汇报后得出:问题结论只与球的颜色种数也就
是抽屉数有关。 小结:确定什么是抽屉、什么是物体是解决抽屉问题的关键。
【品析:此环节教师注重以学生自学为主,通过猜想、小组合作交流验证自
己的劳动成果,最后给出结论,培养了学生自主学习的能力和小组合作的意
识。】
三、反馈质疑,学有所得
在学生理解了“抽屉原理”和解决了有关“抽屉原理”的问题的基础
上,让学生及时消化吸收,教师提出质疑,师生共同系统整理。
质疑一:解决“抽屉原理”问题的方法有哪些? 师生共同总结:分解法、枚举法、假设法等。
质疑二:解决抽屉问题的关键是什么?
师生共同总结:解决抽屉问题的关键是确定什么是抽屉、什么是物体。
四、课末小结,融会贯通
同学们,今天我们学习了运用“抽屉原理”解决问题,你能说说你的收
获吗?
师生共同总结:1.抽屉原理:把(n+1)个物体放入 n 个抽屉中,则必有一
个抽屉中至少放两个物体。把 m 个物体放入 n 个抽屉中(m>n>1),不管怎么放总
有一个抽屉至少放进(a+1)个物体。m÷n=a……b(m>n>1);2.抽屉原理的逆用:在
逆用“抽屉原理”时,应明确把什么看作抽屉,要分放的东西是什么。只要物体
数比抽屉数多 1,就能保证至少有一个抽屉放 2 个物体。
衔接下节课的内容:本册书的基本知识我们基本上都学完了,下节课该
进入复习了,课下,请同学们整理一下我们小学阶段学过的有关数与代数的知
识。
五、教海拾遗,反思提升
回味课堂,发现亮点之处:二次质疑的讨论使学生的学习进入了二次消
化吸收的过程,这次内化使学生把“抽屉原理及抽屉原理的逆用”真正掌握了。
反思过程,有待改进之处:教学中应注意把课堂还给学生,在教师的引导
下,由学生通过一系列动手、动脑的实践去学习数学。这就要求教师努力为学生
创设一种可供实践、思考、交流的情境。
我的反思
板书设计
数学广角——鸽巢问题
把多于 kn(k 是正整数)个的物体任意分放进 n 个空抽屉,那么一定有一个抽
屉中放进了至少(k+1)个物体。
7÷3=2……1(至少 3 本)
8÷3=2……2(至少 3 本)10÷3=3……1(至少 4 本)
方法:假设法 枚举法 分解法
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2020年春人教版六年级数学下册全册教案
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