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资料简介

第六节抛 物 线 本节主要包括2个知识点:‎ ‎1.抛物线的定义及其应用; ‎2.抛物线的标准方程及性质.‎ 突破点(一) 抛物线的定义及其应用 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.‎ 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” ‎ 利用抛物线的定义求解距离问题 ‎[例1] (1)(2017·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为(  )‎ A.(0,0) B. C.(1,) D.(2,2)‎ ‎(2)已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是________.‎ ‎(3)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________.‎ ‎[解析] (1)过M点作准线的垂线,垂足是N(图略),则|MF|+|MA|=|MN|+|MA|,当A,M,N三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值,此时M(2,2).‎ ‎(2)依题意,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1引垂线,垂足为M1(图略),则有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,结合图形可知|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C(-1,5)到y=-1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值是5.‎ ‎(3)由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F(1,0),则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是=2.‎ ‎[答案] (1)D (2)5 (3)2‎ 焦点弦问题 焦点弦的常用结论:‎ 以抛物线y2=2px(p>0)为例,设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦),F是抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在准线上的射影为A1,B1,则有以下结论:‎ ‎(1)x1x2=,y1y2=-p2;‎ ‎(2)若直线AB的倾斜角为θ,则|AF|=,|BF|=;‎ ‎(3)|AB|=x1+x2+p=(其中θ为直线AB的倾斜角),抛物线的通径长为2p,通径是最短的焦点弦;‎ ‎(4)S△AOB=(其中θ为直线AB的倾斜角);‎ ‎(5)+=为定值;‎ ‎(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;‎ ‎(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切;‎ ‎(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切,切点为F,∠A1FB1=90°;‎ ‎(9)A,O,B1三点共线,B,O,A1三点也共线.‎ ‎[例2] 已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明:直线AC经过原点O.‎ 证明:设直线AB的方程为x=my+,代入y2=2px,得y2-2pmy-p2=0.‎ 由根与系数的关系,得yAyB=-p2,即yB=-.‎ ‎∵BC∥x轴,且C在准线x=-上,‎ ‎∴C.‎ 则kOC====kOA.‎ ‎∴直线AC经过原点O.‎ 突破点(二) 抛物线的标准方程及性质 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ 图形 标准方程 y2=2px(p>0)‎ y2=-2px(p>0)‎ x2=2py(p>0)‎ x2=-2py(p>0)‎ p的几何意义:焦点F到准线l的距离 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 焦点坐标 准线方程 x=- x= y=- y= 离心率 e=1‎ 焦半径 ‎|PF|=x0+ ‎|PF|=-x0+ ‎|PF|=y0+ ‎|PF|=-y0+ 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” ‎ ‎ ‎ 求抛物线的标准方程 ‎1.定义法 根据抛物线的定义,确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离),再结合焦点位置,求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择.‎ ‎2.待定系数法 ‎(1)根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于p的方程,解出p,从而写出抛物线的标准方程.‎ ‎(2)当焦点位置不确定时,有两种方法解决.一种是分情况讨论,注意要对四种形式的标准方程进行讨论,对于焦点在x轴上的抛物线,为避免开口方向不确定可分为y2=2px(p>0)和y2=-2px(p>0)两种情况求解.另一种是设成y2=mx(m≠0),若m>0,开口向右;若m0),‎ 则=3,‎ 所以p=6,此时抛物线的标准方程为x2=-12y;‎ 当焦点坐标为(4,0)时,‎ 设方程为y2=2px(p>0),则=4,‎ 所以p=8,此时抛物线的标准方程为y2=16x.‎ 所以所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.‎ 抛物线的几何性质 ‎[例2] (1)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为(  )‎ A.         B.(1,0)‎ C. D.(0,1)‎ ‎(2)若抛物线y2=x的准线经过椭圆+=1的左焦点,则实数m的值为________.‎ ‎[解析] (1)抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-且过点(-1,1),故-=-1,解得p=2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).‎ ‎(2)抛物线y2=x的准线方程为x=-,椭圆+=1的左焦点坐标为(-2,0),由题意知-=-2,所以实数m=.‎ ‎[答案] (1)B (2) ‎[方法技巧]‎ 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性.‎ ‎ ‎ 抛物线方程的实际应用 抛物线的几何特性在实际中应用广泛,解决此类问题的关键是根据题意(一般是根据题中所给图形)建立适当的直角坐标系,设出抛物线的标准方程,依据题意得到抛物线上一点的坐标,从而求出抛物线方程,进而解决实际问题.‎ ‎[例3] 一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成,尺寸(单位:m)如图,一辆卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽‎3 m,车与箱共高‎4.5 m,此车能否通过隧道?说明理由.‎ ‎[解] 建立如图所示的直角坐标系,设矩形的边与抛物线的接点为A,B,则A(-3,-3),B(3,-3).‎ 设抛物线方程为x2=-2py(p>0),‎ 将B点坐标代入得9=-2p·(-3),‎ 所以p=.‎ 所以抛物线方程为x2=-3y(-3≤y≤0).‎ 因为车与箱共高‎4.5 m,‎ 所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶‎0.5 m.‎ 设抛物线上点D的坐标为(x0,-0.5),‎ 则x=,所以|x0|= =,‎ 所以2|x0|=0).∵点(2,-2)在抛物线上,∴p=1,即抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=±.∴水位下降‎1米后,水面宽为‎2‎米.‎ 答案:2 ‎[全国卷5年真题集中演练——明规律] ‎ ‎1.(2016·全国甲卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=(  )‎ A. B.‎1 C. D.2‎ 解析:选D ∵y2=4x,∴F(1,0).又∵曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,∴P(1,2).将点P(1,2)的坐标代入y=(k>0),得k=2.故选D.‎ ‎2.(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为(  )‎ A.2 B.‎4 C.6 D.8‎ 解析:选B 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=r2.∵|AB|=4,|DE|=2,抛物线的准线方程为x=-,∴不妨设A,D.∵点A,D在圆x2+y2=r2上,∴∴+8=+5,∴p=4(负值舍去).∴C的焦点到准线的距离为4.‎ ‎3.(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,‎ A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=(  )‎ A.3 B.‎6 C.9 D.12‎ 解析:选B ∵抛物线y2=8x的焦点为(2,0),∴椭圆中c=2,又=,∴a=4,b2=a2-c2=12,从而椭圆的方程为+=1.∵抛物线y2=8x的准线为x=-2,∴xA=xB=-2,将xA=-2代入椭圆方程可得|yA|=3,由图象的对称性可知|AB|=2|yA|=6.故选B.‎ ‎4.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=(  )‎ A. B. C.3 D.2‎ 解析:选C 如图所示,过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′,设l与x轴交点为M,因为=4,所以|QQ′|∶|MF|=|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离|MF|=4,所以|QF|=|QQ′|=3.故选C.‎ ‎5.(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D 易知抛物线中p=,焦点F,直线AB的斜率k=,故直线AB的方程为y=,代入抛物线方程y2=3x,整理得x2-x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p=+=12,结合图象可得O到直线AB的距离d=·sin 30°=,所以△OAB的面积S=|AB|·d=.‎ ‎[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基,二练题点过高考 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为(  )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:选D 依题意,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P的轨迹是抛物线.‎ ‎2.设抛物线y2=-12x上一点P到y轴的距离是1,则点P到该抛物线焦点的距离是(  )‎ A.3 B.‎4 C.7 D.13‎ 解析:选B 依题意,点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x=3的距离,即等于3+1=4.‎ ‎3.若抛物线y2=2x上一点M到它的焦点F的距离为,O为坐标原点,则△MFO的面积为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B 由题意知,抛物线的准线方程为x=-.设M(a,b),由抛物线的定义可知,点M到准线的距离为,所以a=1,代入抛物线方程y2=2x,解得b=±,所以S△MFO=××=.‎ ‎4.设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则||+||+||的值为(  )‎ A.1 B.‎2 ‎‎ C.3 D.4‎ 解析:选C 依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点F,所以x1+x2+x3=3×=,则||+||+||=++x3+=(x1+x2+x3)+=+=3.‎ ‎5.直线l过抛物线x2=2py(p>0)的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是6,AB的中点到x轴的距离是1,则此抛物线方程是________.‎ 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=y1+y2+p=2+p=6,∴p=4.即抛物线方程为x2=8y.‎ 答案:x2=8y ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1.抛物线y2=2px(p>0)的准线截圆x2+y2-2y-1=0所得弦长为2,则p=(  )‎ A.1 B.‎2 ‎‎ C.4 D.6‎ 解析:选B 抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-,而圆化成标准方程为x2+(y-1)2=2,圆心M(0,1),半径r=,圆心到准线的距离为,所以2+2=()2,解得p=2.‎ ‎2.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=(  )‎ A.1 B.‎2 ‎‎ C.4 D.8‎ 解析:选A 由题意知抛物线的准线为x=-.因为|AF|=x0,根据抛物线的定义可得x0+=|AF|=x0,解得x0=1,故选A.‎ ‎3.已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线y=k(x-2)与此抛物线相交于P,Q两点,则+=(  )‎ A. B.‎1 ‎‎ C.2 D.4‎ 解析:选A 设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意可知直线y=k(x-2)过抛物线焦点(2,0),所以|PF|=x1+2,|QF|=x2+2,则+=+=.联立直线与抛物线方程消去y,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,可知x1x2=4,故+===.‎ ‎4.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为(  )‎ A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 解析:选C 由已知得抛物线的焦点F,设点A(0,2),抛物线上点M(x0,y0),则=,=.由已知得,·=0,即y-8y0+16=0,因而y0=4,M.由|MF|=5得,+=5,又p>0,解得p=2或p=8,所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.‎ ‎5.(2017·长春模拟)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A,B两点,则的值等于(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A 记抛物线y2=2px的准线为l′,如图,作AA1⊥l′,BB1⊥l′,AC⊥BB1,垂足分别是A1,B1,C,则有cos∠ABB1===,即cos 60°==,由此得=.‎ ‎6.已知抛物线y2=2px(p>0)与圆(x-a)2+y2=r2(a>0)有且只有一个公共点,则(  )‎ A.r=a=p B.r=a≤p C.ra时,易知圆与抛物线有两个公共点,与题意不符;当r=a时,圆与抛物线交于原点,要使圆与抛物线有且只有一个公共点,必须使方程(x-a)2+2px=r2(x≥0)有且仅有一个解x=0,可得a≤p.‎ 二、填空题 ‎7.抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10,则该抛物线的焦点到准线的距离为________.‎ 解析:设抛物线的准线方程为x=-(p>0),则根据抛物线的性质有+6=10,解得p=8,所以抛物线的焦点到准线的距离为8.‎ 答案:8‎ ‎8.(2017·邢台模拟)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为________.‎ 解析:由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过A作AA1⊥l于A1,过B作BB1⊥l于B1,设弦AB的中点为M,过M作MM1⊥l于M1.则|MM1|=.|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥6,则|AA1|+|BB1|≥6,即2|MM1|≥6,所以|MM1|≥3,故M到x轴的最短距离为3-1=2.‎ 答案:2‎ ‎9.(2015·荆门质检)已知F是抛物线y2=4x的焦点,A,B是抛物线上两点,若△AFB是正三角形,则△AFB的边长为________.‎ 解析:由题意可知A,B两点一定关于x轴对称,且AF,BF与x轴夹角均为30°,由于y2=4x的焦点为(1,0),由化简得y2-4y-4=0,解得y=2+4或y=2-4,所以△AFB的边长为8+4或8-4.‎ 答案:8+4或8-4 ‎10.经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A,B两点,如果A,B在抛物线C的准线上的射影分别为A1,B1,那么∠A1FB1为________.‎ 解析:由抛物线定义可知|BF|=|BB1|,|AF|=|AA1|,故∠BFB1=∠BB‎1F,∠AFA1=∠AA‎1F.又∠OFB1=∠BB‎1F,∠OFA1=∠AA‎1F,故∠BFB1=∠OFB1,∠AFA1=∠OFA1,所以∠OFA1+∠OFB1=×π=,即∠A1FB1=.‎ 答案: 三、解答题 ‎11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)若过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.‎ 解:(1)抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.‎ ‎(2)由(1)知点A的坐标是(4,4),‎ 由题意得B(0,4),M(0,2).‎ 又∵F(1,0),∴kFA=.∵MN⊥FA,∴kMN=-.‎ ‎∴FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y=-x+2,‎ 联立解方程组得x=,y=,‎ ‎∴点N的坐标为.‎ ‎12.如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A,M两点,设A(x1,y1),M(x2,y2).‎ ‎(1)若y1y2=-8,求抛物线C的方程;‎ ‎(2)若直线AF与x轴不垂直,直线AF交抛物线C于另一点B,直线BG交抛物线C于另一点N.求证:直线AB与直线MN斜率之比为定值.‎ 解:(1)设直线AM的方程为x=my+p,代入y2=2px得y2-2mpy-2p2=0,‎ 则y1y2=-2p2=-8,得p=2.‎ ‎∴抛物线C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)证明:设B(x3,y3),N(x4,y4).‎ 由(1)可知y3y4=-2p2,y1y3=-p2.‎ 又直线AB的斜率kAB==,‎ 直线MN的斜率kMN==,‎ ‎∴====2.‎ 故直线AB与直线MN斜率之比为定值.‎ 查看更多

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