资料简介
沈阳市铁路第二中学 林琳
4
用尺规作三角形
第三章 三角形
豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分，他想在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形，他该怎么办？
你能帮他画出来吗？
回顾基本作图
解决方法
三角形的基本元素是＿＿＿和＿＿＿。
你会用尺规作一条线段等于已知线段吗？
自己动手试一试！
你会用尺规作一个角等于已知角吗？
边
角
你能利用尺规作一个三角形与已知三角形全等吗？
1
、已知三角形的两角及其夹边，求作这
个三角形。
已知：
∠α
，
∠β
，线段
c
。
求作：
△ABC
，使
∠A=∠α
，
∠B=∠β
，
AB=c
。
α
β
c
你能作出这个三角形吗？
α
β
A
B
C
c
假设这个三角形已作出
1
、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。
对于边和角，你想先作
＿＿
，再作
＿＿
，最后作
＿＿
。
α
β
A
B
C
c
角
角
边
作法：
(1)
作
∠DAF=∠α
；
(2)
在射线
AF
上截取线段
AB=c
；
(3)
以
B
为顶点，以
BA
为一边，作
∠ABE=∠β
，
BE
交
AD
于点
C
。
△ABC
就是所求作的三角形。
D
A
F
B
C
E
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
α
β
A
B
C
c
1
、已知三角形的两角及其夹边，求作这
个三角形。
回顾刚才作三角形的顺序
角
角
夹边
夹边
角
角
还有没有其他的作法？
1
、已知三角形的两角及其夹边，求作这个
三角形。
请按照给出的作法作出图形
对于边和角，你想先作
＿＿
，再作
＿＿
，最后作
＿＿
。
角
角
边
α
β
A
B
C
c
作法：
(1)
作线段
AB=c
；
(2)
以
A
为顶点，以
AB
为一边，作
∠DAB=∠α
；
D
A
B
C
E
α
β
A
B
C
c
你现在能帮助豆豆画出三角形了吗？
以
B
为顶点，以
BA
为一边，作
∠ABE=∠β
，
BE
交
AD
于点
C
。
△ABC
就是所求作的三角形。
(3)
2、
已知三角形的两边及夹角，求作这个
三角形。
已知：线段
a , c , ∠α。
α
a
c
求作：△
ABC，
使
BC=a，AB=c，∠ABC=∠α。
假设这个三角形已作出
B
A
C
α
a
c
2、
已知三角形的两边及夹角，求作这
个三角形。
对于边和角，你想先作
＿＿
，再作
＿＿
，最后作
＿＿
。
α
a
c
B
A
C
a
c
α
边
角
边
请按照给出的作法作出图形
B
C
D
A
作法
:(1)
作一条线段
BC=a
(2)
以
B
为顶点，以
BC
为一边，作角
∠DBC=∠α
(3)
在射线
BD
上截取线段
BA=c
(4)
连接
AC
△ABC
就是所求作的三角形。
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
B
A
C
a
c
α
α
a
c
2、
已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。
回顾刚才作三角形的顺序
边
边
夹角
夹角
边
边
还有没有其他的作法？
2、
已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。
已知：线段
a , c , ∠α
。
α
a
c
求作：△
ABC，
使
BC=a，AB=c，∠ABC=∠α
。
对于边和角，你想先作
＿＿
，再作
＿＿
，最后作
＿＿
。
边
角
边
B
A
C
α
a
c
尝试自己作图，并用语言表述作法
作法
:
(1)
作
∠DBE=∠α
(2)
在射线
BD
、
BE
上分别截取
BA=c
，
BC=a
(3)
连接
AC
△ABC
就是所求作的三角形。
B
E
D
C
A
(1)
作
∠
···
=∠
···
；
(2)
在
···
上截取，使
··· = ···
；
(3)
以
···
为顶点，以
···
为一边，作
∠
···
=∠
···
；
(4)作一条线段
···
=
···
；
(5)连接
··
，
或连接
··
交
··
于点
·
·
；
(6)
分别以
··
，
··
为圆心，以
··
，
···
画弧，两弧交于
···
点；
你知道的常用作图语言有哪些呢？
3.
已知三角形的三条边，求作这个三角形。
已知：线段
a
，
b
，
c
。
求作：
△ABC
，使
AB=c
，
AC=b
，
BC=a
。
a
b
c
尝试自己分析并作出这个三角形、写出作法。
3.
已知三角形的三条边，求作这个三角形。
已知：线段
a
，
b
，
c
。
求作：
△ABC
，使
AB=c
，
AC=b
，
BC=a
。
（
1
）作一条线段
BC=a
；
（
2
）分别以
B
，
C
为圆心，以
c
，
b
为半 径画弧，两弧交于
A
点；
（
3
）连接
AB,AC
。
△ABC
就是所求作的三角形。
a
b
c
B
C
A
作法：
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
经过前面的实践，我们如何来分析作图
题呢？
1、假设所求作的图形已经作出，并在
草稿纸上作出草图；
2、在草图上标出已给的边、角的对应位置；
3、从草图中首先找出基本图形，由此确定作图的起始步骤；
4、在3的基础上逐步向所求图形扩展。
1、你能用尺规作一个直角三角形，使其
两条直角边分别等于已知线段
a，b
吗？并
写出作法。
a
b
分析：先在草纸上画出一个假设的“已作出的三角形”，会发现是“已知两边及夹角求作三角形”，所以按照此方法作图。
已知：直角，线段
a，b
求作：直角三角形
ABC，
使
BC=a，AC=b
作法：
(1)
作
∠DCE=90
°
(2)
在射线
CD
、
CE
上分别截取
CB=a
，
CA=b
(3)
连接
AB
△ABC
就是所求作的三角形。
C
D
E
B
A
2、已知∠
α
和
∠β、
线段
a，
用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠
α，
另一个内角等于
∠β ，
且∠
α
的对边等于
a。
α
a
提示：先作出一个角等于∠
α
+
∠β，
通过反向延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三个内角
∠
γ
。由此转换成已知
∠β
和
∠
γ
及其这两角的夹边
a，
求作这个三角形。
β
α
β
γ
β
γ
a
α
B
C
A
E
F
G
作法：1、作∠
α
+
∠β
的补角
∠
γ
2、作
∠GBE= ∠β
3、在射线
BE
上截取
BC=a
4、以
C
为顶点，
CB
为一边作
∠FCB= ∠
γ
5、射线
BG
与射线
CF
相交于点
A
△ABC
就是所求作的三角形
。
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
已知线段
a，b
和
∠α，
求作
△ABC，
使其有一个内角等于
∠α，
且
∠α
的对边等于
a，
另有一边等于
b。
a
b
α
分析：先在草纸上画出一个假设的“已作出的三角形”；然后在草图上标出已给的边、角的对应位置；再找出边与角，确定作图的顺序。
α
b
a
a
A
B
M
N
C
C
'
作法：
1、作
∠MAN=∠α
2、在射线
AM
上截取
AB=
b
3、以
B
为圆心，以
a
为半径画弧，交
AN
于点
C，
C
'
4、连接
BC
，B
C
'
△ABC
和
△A
B
C
'
就是所求作的三角形。
同样是已知两边及一角，为什么会出现两个三角形呢？
你从中可以感悟到什么？
感悟：已知三角形的两边及一角并不都能只确定一个三角形。当已知两边及夹角时可以确定一个三角形，因此可以用来判定两个三角形全等；而当已知两边及一边的对角时，会画出两个不同的三角形，因此不能用来作为判别两个三角形全等的条件。
a
c
α
两边及夹角
两边及一边的对角
B
E
D
C
A
α
b
a
a
A
B
M
N
C
C
'
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