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2014年春季学期八下数学等腰三角形(第4课时)教案和课件 北师大版
2014北师大版八年级下1.1等腰三角形(第4课时)课件+教学设计+拓展资源
资料简介
第一节 等腰三角形(四)
第一章 三角形的证明
(1)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?
(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流．
想一想
分析：有一个角是60°，在等腰三角形中有两种情况：(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角．
定理：
有一个角是60°.的等腰三角形是等边
三角形．
等边三角形的判定定理：
求证：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B，
∴BC=AC(等角对等边)．
又∵∠A=∠C，
∴BC=AB(等角对等边)．
∴AB=BC=CA，
即△ABC是等边三角形．
随堂练习
C
B
A
性质
判定的条件
等腰三角形
(含等边三角形)
等边对等角
等角对等边
“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合
有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形三个角都相等，且每个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形的性质和判定：
用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由．
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能证明你的结论吗?
做一做
D
(
1
)
C
B
A
(
2
)
B
C
A
D
定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC= AB．
C
B
A
D
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
∵∠ACB=90°∴∠ACD=90°
∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
∴BC= BD= AB．
等腰三角形的底角为15°腰长为2a，求腰上的高．
[例题]
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高；
求：CD的长.
C
B
A
D
解：∵∠ABC=∠ACB=15°
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°
∴CD= AC= ×2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．
一个问题“反过来”思考，就可能形成一个真命题．你能举个例子吗?
例如“等边对等角”反过来“等角对等边”也是真命题；“等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°”，反过来“三个角都相等的三角形是等边三角形”．
但有些命题“反过来”就不成立．例“对顶角相等”反过来“相等的角是对顶角”就不成立．
想一想
试一试
命题“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”是真命题吗？如果是，请你证明它．
D
C
B
A
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= AB．
求证：∠BAC=30°
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC．
∴△ACB≌△ACD(SAS)．
∴AB=AD．
∵CD=BC，∴BC= BD．
又∵BC= AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，
即△ABD是等边三角形．
∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
解：
∵
DE
⊥
AC
，
BC
⊥
AC
，∠
A
=
30
°
，
∴
BC
=
AB
，
DE
=
AD
．
又
AD
=
AB
，
∴
DE
=
AD
=
1
.
85
（
m
）
．
∴
BC
=
3
.
7
（
m
）．
答：
立柱
BC
的长是
3
.
7 m
，
DE
的长是
1
.
85 m
．
性质运用
例 如图是屋架设计图的一部分，点
D
是斜梁
AB
的中点，立柱
BC
、
DE
垂直于横梁
AC
，
AB
=
7
.
4 cm
，
∠
A
=
30
°
，立柱
BC
、
DE
要多长？
A
B
C
D
E
等边三角形性质：
等边三角形的各角都相等，
并且每一个角都等于60
°
.
推论1：
三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论⒉
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
定理：
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
课时小结
课时小结
1、等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的证明有意识地渗透分类的思想方法．
+底和腰相等
+有一个角是60°
等腰三角形 等边三角形
三个角相等
三角形 等边三角形
2、推理证明了含30°角的直角三角形的边的关系.
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