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北师大九年级数学下《3.4.2圆周角和直径的关系及圆内接四边形》课件
资料简介
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第三章 圆
3.4
圆周角和圆心角的关系
第
2
课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形
1.
复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识
.
2.
理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用
.
(
重点
)
学习目标
问题
1
什么是圆周角？
导入新课
复习引入
特征：
①
角的顶点在圆上
.
②
角的两边都与圆相交
.
顶点在圆上
,
并且两边都和圆相交的角叫圆周角
.
●
O
B
A
C
D
E
问题
2
什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
.
●
O
A
B
C
●
O
A
B
C
●
O
A
B
C
即
∠
ABC
=
∠
AOC
.
导入新课
情境引入
如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？
直径所对应的圆周角
一
讲授新课
思考：
如图，
AC
是圆
o
的直径，
则∠
ADC
=
，
∠
ABC
=
.
90°
90°
推论：
直径所对的圆周角是
直角
.
反之，
90
°的圆周角所对的弦是直径
.
问题
回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？
利用三角板在圆中画出两个
90
°的圆周角，这样就得到
两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心
.
例
1
：
如图，
⊙
O
的
直径
AC
为
10cm
，弦
AD
为
6cm.
（
1
）
求
DC
的长；
（
2
）
若
∠
ADC
的平分线交
⊙
O
于
B,
求
AB
、
BC
的长．
B
解：
(1)
∵
AC
是直径，
∴ ∠
ADC
=90°.
在
Rt△
ADC
中，
典例精析
在
Rt△
ABC
中
，
AB
2
+
BC
2
=
AC
2
，
(2)∵
AC
是直径
,
∴ ∠
ABC
=90°.
∵
BD
平分
∠
ADC
,
∴
∠
ADB
=∠
CDB
.
又
∵∠
ACB
=∠
ADB
,
∠
BAC
=∠
BDC
.
∴
∠
BAC
=∠
ACB
,
∴
AB
=
BC
.
B
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解
.
归纳
如图，
BD
是
⊙
O
的直径，
∠
CBD
＝
30°
，则
∠
A
的度数为
(
)
A
．
30° B
．
45°
C
．
60° D
．
75°
解析：
∵
BD
是
⊙
O
的直径，
∴∠
BCD
＝
90°.
∵∠
CBD
＝
30°
，
∴∠
D
＝
60°
，
∴∠
A
＝
∠
D
＝
60°.
故选
C.
练一练
C
圆内接四边形及其性质
二
四边形的四个
顶点都在同一个圆上
，像这样的四边形叫做
圆内接四边形
，这个圆叫做
四边形的外接圆
.
思考：
圆内接四边形有什么特殊的性质吗？
如图，四边形
ABCD
为
☉
O
的内接四边形，
☉
O
为四边形
ABCD
的外接圆
.
(2)
当
ABCD
为一般四边形时，
猜想：
∠
A
与
∠
C
,
∠
B
与
∠
D
之间的关系为
.
∠
A
+
∠
C
=180º
，∠
B
+
∠
D
=180º
性质探究
(1)
当
ABCD
为矩形时，
∠
A
与
∠
C
,
∠
B
与
∠
D
之间的关系为
.
∠
A
+
∠
C
=180º
，∠
B
+
∠
D
=180º
试一试
证明：圆内接四边形的对角互补
.
已知，如图，四边形
ABCD
为
☉
O
的内接四边形，
☉
O
为四边形
ABCD
的外接圆
.
求证
∠
BAD+∠BCD=180°.
证明：连接
OB
、
OD.
根据圆周角定理，可知
1
2
由四边形内角和定理可知，
∠ABC+∠ADC=180
°
圆内接四边形的对角互补
.
推论
要点归纳
C
O
D
B
A
∵∠
A
＋
∠
D
CB
＝180°，
E
∠
DC
B
＋∠
D
CE
＝
180°.
∴∠
A
＝∠
D
C
E
.
想一想
如图，
∠
DCE
是圆内接四边形
ABCD
的一个外角，
∠
A
与∠
D
C
E
的大小有何关系？
1
．
四边形
ABCD
是
⊙
O
的内接四边形，且
∠
A
=110
°，∠
B
=80
°，
则
∠
C
=
，∠
D
=
.
2
．⊙
O
的内接四边形
ABCD
中，
∠
A
∶∠
B
∶∠
C
=1
∶
2
∶
3
，则
∠
D
=
.
70º
100º
90º
练一练
3.
如图，在
⊙
O
的内接四边形
ABCD
中，
∠
BOD
＝
120°
，那么
∠
BCD
是
(
)
A
．
120° B
．
100°
C
．
80° D
．
60°
解析：
∵∠
BOD
＝
120°
，
∴∠
A
＝
60°
，
∴∠
C
＝
180°
－
60°
＝
120°
，故选
A.
A
例
2
：
如图，
AB
为
⊙
O
的直径，
CF
⊥
AB
于
E
，交
⊙
O
于
D
，
AF
交
⊙
O
于
G
.
求证：
∠
FGD
＝
∠
ADC
.
证明：
∵
四边形
ACDG
内接于
⊙
O
，
∴∠
FGD
＝
∠
ACD
.
又
∵
AB
为
⊙
O
的直径，
CF
⊥
AB
于
E
，
∴
AB
垂直平分
CD
，
∴
AC
＝
AD
，
∴∠
ADC
＝
∠
ACD
，
∴∠
FGD
＝
∠
ADC
.
典例精析
1.
如图，
AB
是
⊙
O
的直径
,
C
、
D
是圆上的两点
,
∠
ABD
=40°,
则∠
BCD
=
＿＿＿
_
.
50
°
A
B
O
C
D
当堂练习
2.
如图，
∠A=50°
，
∠ABC=60 °
，
BD
是
⊙O
的直径，则
∠AEB
等于 （ ）
A.70°
B.110°
C.90°
D.120°
B
A
C
B
O
D
E
3.
在⊙
O
中，∠
CBD
=30°
，∠
BDC
=20°,
求∠
A
.
O
A
B
D
C
解：∵∠
CBD
=30
°，
∠
BDC
=20
°
∴∠
C
=180
°
-∠
CBD
-∠
BDC
=130
°
∴∠
A
=180
°
-∠
C
=50
°
（圆内接四边形对角互补）
变式：
已知∠
OAB
等于
40
°
,
求∠
C
的度数
.
A
B
C
O
D
4.
如图，△
ABC
内接于⊙
O
，
AB
=
BC
，∠
ABC
=120°，
AD
为⊙
O
的直径，
AD
=6，那么
AB
的值为（ ）
A．3 B． C． D．2
A
5.
如图，点
A
、
B
、
D
、
E
在
⊙
O
上，弦
AE
、
BD
的延长线相交于点
C
.
若
AB
是
⊙
O
的直径，
D
是
BC
的中点．
(1)
试判断
AB
、
AC
之间的大小关系，并给出证明；
解：
(1)
AB
＝
AC
.
证明如下：连接
AD
，
∵
AB
是
⊙
O
的直径，
∴∠
ADB
＝
90°
， 即
AD
⊥
BC
.
∵
BD
＝
DC
，
∴
AD
垂直平分
BC
，
∴
AB
＝
AC
；
(2)
在上述题设条件下，当
△
ABC
为正三角形时，点
E
是否为
AC
的中点？为什么？
(2)
当
△
ABC
为正三角形时，
E
是
AC
的中点．
理由如下：连接
BE
，
∵
AB
为
⊙
O
的直径，
∴∠
BEA
＝
90°
，即
BE
⊥
AC
.
∵△
ABC
为正三角形，
∴
AE
＝
EC
，
即
E
是
AC
的中点．
课堂小结
圆周角定理
推论
2
推论
3
圆内接四边形的对角互补
.
直径所所对的圆周
角是直角；
90
°的圆周角所对的弦是直径
见
《
学练优
》
本课时练习
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