资料简介
2.7
正多边形与圆【知识再现】
常见的正多边形有正三角形、正方形、正六边形,都
是___________图形. 轴对称 【新知预习】阅读教材P83-85,结合等边三角形、正方
形、正五边形、正六边形的特征回答下列问题:
1.正多边形是各边_________,各角也_________的多边
形.
相等 相等 2.正多边形与圆:将一个圆n(n≥3)_________,依次连
接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形,
这个圆是这个正多边形的外接圆,正多边形的外接圆的
圆心叫作这个正多边形的_________.
等分
中心 3.作正n边形的步骤:(1)用圆规作圆;(2)利用量角器将
圆n_________;(3)顺次________________,即可得正n
边形.
4.正多边形都是_______________,一个正n边形的每个
顶点与_____________连线所在的直线都是这个正n边
形的对称轴.
等分 连接n等分点
轴对称图形
它的中心 5.一个正n边形,当n为偶数时,正n边形绕它的中心旋转
180°所得图形与这个正n边形重合.因此正n边形(n为
偶数)也是_________________,它的对称中心就是这个
__________________.
中心对称图形
正n边形的中心 【基础小练】
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1.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的
有( )
①正三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形;⑤线
段;⑥圆;⑦菱形;⑧平行四边形.
CA.3个 B.4个
C.5个 D.6个2.在半径为R的圆上依次截取长度等于R的弦,顺次连接
各分点得到的多边形是 ( )
A.正三角形 B.正四边形
C.正五边形 D.正六边形
D3.若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径
的大小分别为 ( )
A.6,3 B.3 ,3
C.6,3 D.6 ,3
B知识点一 正多边形的相关计算
(P86习题2.7A组第2题拓展)
【典例1】如图,正六边形ABCDEF内接于
☉O,若☉O的内接正三角形ACE的面积为
48 ,试求正六边形的周长.【思路点拨】本题解题关键是正六边形的边长等于其
外接圆的半径,再利用正三角形的特征求解.
【自主解答】略【题组训练】
1.(2019·宜昌伍家岗区期末)从一个半径为10的圆形
纸片上裁出一个最大的正六边形,此正六边形的边长
是 ( )
A.10 B.5 C.5 D.10
A★2.(2019·宁波模拟)如图,☉O是正六边形ABCDEF的
外接圆,P是 上一点,则∠BPD的度数是( )
A.30° B.60° C.55° D.75°
B★★3.(2019·石家庄裕华区月考)如图,
已知☉O的周长等于6π cm,则它的内接
正六边形ABCDEF的面积是 世纪金榜
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正n边形中存在的“三个量”和 “两个等式”
1.与正n边形有关的角.
(1)中心角:每一个中心角度数为______.
(2)内角:每个内角度数为____________.
(3)外角:每个外角的度数为_______. 2.正多边形的半径R、边心距r、边长a的关系:
+r2=______.
3.正n边形周长l与边长a,面积S与边长a、边心距r的关
系:周长l=_______;面积S=______.
R2
na 知识点二 正多边形的作法及应用(P84例题拓展)
【典例2】已知☉O和☉O上的一点A,作☉O的内接正方
形ABCD和内接正六边形.【思路点拨】1.圆的内接正方形的对角线是外接圆的
直径,并且对角线垂直平分,所以我们可以利用尺规作
出圆的内接正方形;
2.内接正六边形的边长等于圆的半径,据此我们可以作
出圆的内接正六边形.【自主解答】如图所示,
作法:①作直径AC;
②作直径BD⊥AC,依次连接AB,BC,
CD,DA,则四边形ABCD是☉O的内接
四边形;③分别以A,C为圆心,OA为半径画弧,交☉O于点
E,H,F,G,顺次连接AE,EF,FC,CG,GH,HA,则六边形
AEFCGH为☉O的内接正六边形.【学霸提醒】
正多边形的作法
在圆中作正多边形,可以采用平分圆周的方法,同时要
结合各正多边形的不同特征进行分析,从而得到所需的
正多边形.【题组训练】
1.已知:如图,P是☉O上的一点,过点P作一个圆的内
接正十二边形.
略★2.在学习圆与正多边形时,嘉嘉、琪琪两位同学设计
了一个画圆的内接正三角形的方法:
(1)作直径AD;
(2)作半径OD的垂直平分线,交☉O于B,C两点;(3)连接
AB,AC,BC,那么△ABC为所求的三角形.请你判断两位同学的作法是否正确,如果正确,请你按
照两位同学设计的画法,画出△ABC,然后给出△ABC是
等边三角形的证明过程;如果不正确,请说明理由.
略★3.如图,用等分圆周的方法在右边方框中画出左图.
略【火眼金睛】
线段AB是圆内接正十边形的一条边,则AB所对的圆周角
的度数是 . 正解:圆内接正十边形的边AB所对的圆心
角∠1=360°÷10=36°,则∠2=360°-36°
=324°,根据圆周角等于同弧所对圆心角
的一半,AB所对的圆周角的度数是36°× =18°或
324°× =162°.
答案:18°或162°【一题多变】
以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的
边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( )A【母题变式】
【变式一】(变换条件)一个圆的内接正六边形的边长
为4,则该圆的内接正方形的边长为 ( )B【变式二】(变换问法)半径相等的圆的内接正三角
形、正方形、正六边形的边长之比为 ( )B
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