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冀教版九年级数学下册《30.2（第3课时）二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》课件
资料简介
30.2
二次函数的图像和性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第
3
课时 二次函数
y
=
ax
²+
bx+c
的图像和性质
第三十章 二次函数
情境引入
学习目标
1.
会用配方法或公式法将一般式
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
化成顶点式
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
.(
难点）
2.
会熟练求出二次函数一般式
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的顶点坐标、对称轴
.
（重点）
导入新课
复习引入
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
a
>0
a
h
时，
y
随着
x
的增大而减小
.
x
=
h
时
,
y
最小
=
k
x
=
h
时
,
y
最大
=
k
抛物线
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
可以看作是由抛物线
y
=
ax
2
经过平移得到的
.
顶点坐标
对称轴
最值
y
=-2
x
2
y
=-2
x
2
-5
y
=-2(
x
+2)
2
y
=-2(
x
+2)
2
-4
y
=(
x
-4)
2
+3
y
=-
x
2
+
2
x
y
=3
x
2
+
x
-6
(0,0)
y
轴
0
(0,-5)
y
轴
-5
(-2,0)
直线
x
=-2
0
(-2,-4)
直线
x
=-2
-4
(4,3)
直线
x
=4
3
?
?
?
?
?
?
讲授新课
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的图像和性质
一
探究归纳
我们
已经
知道
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
的图像和性质，能否利用这些知识来讨论
的图像和性质？
问题
1
怎样将 化成
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
的形式？
配方可得
想一想：配方的方法及步骤是什么？
配方
你知道是怎样配方的吗？
(1)“
提”：提出二次项系数；
(
2
)
“
配”：括号内配成完全平方；
(
3
)“化”：化成顶点式.
提示
:
配方后的表达式通常称为
配方式
或
顶点式
.
问题
2
你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线
x
=6
,
顶点坐标是
（
6
，
3
）
.
问题
3
二次函数
可以看作是由 怎样平移得到的？
答：平移方法
1
：
先向上平移
3
个单位，再向右平移
6
个单位得到的；
平移方法
2
：
先向右平移
6
个单位，再向上平移
3
个单位得到的
.
问题
4
如何用描点法画二次函数
的图像？
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
解
:
先利用图形的对称性列表
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，得到图像如右图
.
O
问题
5
结合
二次函数
的图像，说出其性质
.
5
10
x
y
5
10
x
=6
当
x
6
时，
y
随
x
的增大而增大
.
O
例
1
画出函数 的图像，并说明这个函数具有哪些性质
.
x
···
-2
-1
0
1
2
3
4
···
y
···
···
-
6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4
-6.5
解
:
函数 通过配方可得 ，
先列表：
典例精析
2
x
y
-2
0
4
-2
-4
-4
-6
-8
然后描点、连线，得到图像如下图
.
由图像可知，这个函数具有如下性质：
当
x
＜
1
时，函数值
y
随
x
的增大而增大；
当
x
＞
1
时，函数值
y
随
x
的增大而减小；
当
x
=1
时，函数取得最大值，最大值
y
=-2.
求二次函数
y
=2
x
2
-8
x
+7
图像的对称轴和顶点坐标
.
因此，二次函数
y
=2
x
2
-8
x
+7
图像的对称轴是直线
x=
2
，
顶点坐标为
(2,-1).
解：
练一练
将一般式
y
=
ax
2
+
bx
+
c
化成顶点式
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
二
我们如何用配方法将一般式
y
=
ax
2
+
bx
+
c
（
a
≠0)
化成顶点式
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
？
y
=
ax
²
+
bx
+
c
归纳总结
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的图像和性质
1.
一般地，
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的
可以通过配方化成
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
的形式，即
因此，抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的顶点坐标是：
对称轴是：直线
归纳总结
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的图像和性质
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
如果
a
>0,
当
x
<
时，
y
随
x
的增大而减小；当
x
>
时，
y
随
x
的增大而增大
.
如果
a
时，
y
随
x
的增大而减小
.
例
2
已知二次函数
y
=
－
x
2
＋2
bx
＋
c
，当
x
＞1
时，
y
的值随
x
值的增大而减小，则实数
b
的取值范围是（ ）
A
．
b
≥
－
1 B
．
b
≤
－
1
C
．
b
≥1
D
．
b
≤1
解析：
∵
二次项系数为
－1
＜
0
，∴
抛物线开口向下，在对称轴右侧，
y
的值随
x
值的增大而减小，由题设可知，当
x
＞1
时，
y
的值随
x
值的增大而减小，
∴
抛物线
y
=
－
x
2
＋2
bx
＋
c
的对称轴应在直线
x
=1
的左侧而抛物线
y
=
－
x
2
＋2
bx
＋
c
的对称轴 ，即
b
≤1
，故选择
D
.
D
填一填
顶点坐标
对称轴
最值
y
=-
x
2
+
2
x
y
=-2
x
2
-
1
y
=
9
x
2
+
6
x
-5
(
1
,
3
)
x
=1
最大值
1
(0,-
1
)
y
轴
最大值
-1
最小值
-6
(
,
-6
)
直线
x
=
二次函数字母系数与图像的关系
三
合作探究
问题
1
一次函数
y
=
kx
+
b
的图像如下图所示，请根据一次函数图像的性质填空：
x
y
O
y
=
k
1
x
+
b
1
x
y
O
y
=
k
2
x
+
b
2
y
=
k
3
x
+
b
3
k
1
___ 0
b
1
___ 0
k
2
___ 0
b
2
___ 0
＞
＞
＜
＜
k
3
___ 0
b
3
___ 0
＜
＞
x
y
O
问题
2
二次函数 的图像如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a
1
___ 0
b
1
___ 0
c
1
___ 0
a
2
___ 0
b
2
___ 0
c
2
___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，
a
＞
0
对称轴在
y
轴左侧，
x
＜
0
对称轴在
y
轴右侧，
x
＞
0
x
=0
时
，
y
=
c
.
x
y
O
a
3
___ 0
b
3
___ 0
c
3
___ 0
a
4
___ 0
b
4
___ 0
c
4
___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，
a
＜
0
对称轴是
y
轴，
x=
0
对称轴在
y
轴右侧，
x
＞
0
x
=0
时
，
y
=
c
.
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的图像与
a
、
b
、
c
的关系
字母符号
图像的特征
a
＞
0
开口
_____________________
a
＜
0
开口
_____________________
b=
0
对称轴为
_____
轴
a
、
b
同号
对称轴在
y
轴的
____
侧
a
、
b
异号
对称轴在
y
轴的
____
侧
c=
0
经过原点
c
＞
0
与
y
轴交于
_____
半轴
c
＜
0
与
y
轴交于
_____
半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
知识要点
例
3
已知二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图像如图所示，下列结论：
①
abc
＞
0
；
②2
a
－
b
＜
0
；
③4
a
－
2
b
＋
c
＜
0
；
④
(
a
＋
c
)
2
＜
b
2
.
其中正确的个数是
(
)
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
D
由图像上横坐标为
x
＝－
2
的点在第三象限可得
4
a
－
2
b
＋
c
＜
0
，故
③
正确；
由图像上
x
＝
1
的点在第四象限得
a
＋
b
＋
c
＜
0
，由图像上
x
＝－
1
的点在第二象限得出
a
－
b
＋
c
＞
0
，则
(
a
＋
b
＋
c
)(
a
－
b
＋
c
)
＜
0
，即
(
a
＋
c
)
2
－
b
2
＜
0
，可得
(
a
＋
c
)
2
＜
b
2
，故
④
正确．
【解析】
由图像开口向下可得
a
＜
0
，由对称轴在
y
轴左侧可得
b
＜
0
，由图像与
y
轴交于正半轴可得
c
＞
0
，则
abc
＞
0
，故
①
正确；
由对称轴
x
>
－
1
可得
2
a
－
b
＜
0
，故
②
正确；
练一练
二次函数
的图像如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图像是（ ）
解析：由二次函数的图像得知：
a
＜
0
，
b
＞
0
.
故反比例函数的图像在二、四象限，正比例函数的图像经过一、三象限
.
即正确答案是
C
.
C
1.
已知二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的
x
、
y
的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
2
3
y
5
1
-1
-1
1
A
.y
轴
B.
直线
x
=
C.
直线
x
=2 D.
直线
x
=
则该二次函数图像的对称轴为
( )
D
当堂练习
O
y
x
–1
–2
3
2.
已知二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠
0
)
的图像如图所示，则下列结论：
（
1
）
a
、
b
同号；
（
2
）
当
x
=–1
和
x
=3
时，函数值相等；
（
3
）
4
a
+
b
=0
；
（
4
）
当
y
=–2
时，
x
的值只能取
0
；
其中正确的是
.
直线
x
=1
（
2
）
3.
如图是二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a≠
0)
图像的一部分，
x
=-1
是对称轴，有下列判断：
①
b
-2
a
=0；②4
a
-2
b
+
c
y
2
.其中正确的是（ ）
A
．①②③
B
．①③④
C
．①②④
D
．②③④
x
y
O
2
x
=-1
B
4.
根据公式确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标：
直线
x
=3
直线
x
=8
直线
x
=1.25
直线
x
= 0.5
课堂小结
顶点：
对称轴：
y
=
ax
2
+
bx
+
c
（
a
≠0)
(
一般式
)
配方法
公式
法
(
顶点式
)
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