资料简介
5-5-1.带余除法（一）
教学目标
1. 能够根据除法性质调整余数进行解题
2. 能够利用余数性质进行相应估算
3. 学会多位数的除法计算
4. 根据简单操作进行找规律计算
知识点拨
带余除法的定义及性质
1、定义：一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b≠0）,若有 a÷b=q……r，也就是 a＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
(1)当 0r 时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或完全商
(2)当 0r 时：我们称 a 不可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型:如图
这是一堆书，共有 a 本，这个 a 就可以理解为被除数，现在要求按照 b 本一捆打包，那么 b 就
是除数的角色，经过打包后共打包了 c 捆，那么这个 c 就是商，最后还剩余 d 本，这个 d 就是余
数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数
小。
2、余数的性质
⑴ 被除数 除数 商 余数；除数 （被除数 余数） 商；商 （被除数 余数） 除
数；
⑵ 余数小于除数．
3、解题关键
理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数
整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性
问题，那么问题就会变得简单了．
例题精讲
除法公式的应用
【例 1】 某数被 13 除，商是 9，余数是 8，则某数等于 。
【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 2 题，5 分
【解析】125
【答案】125
【例 2】 一个三位数除以 36，得余数 8，这样的三位数中，最大的是__________。
【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 3 题
【解析】因为最大的三位数为 999 ， 999 36 27 27 ，所以满足题意的三位数最大为：
36 27 8 980
【答案】 980
【巩固】【巩固】计算口÷△，结果是：商为 10，余数为▲。如果▲的值是 6，那么△的最小值是_____。
【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 4 题，6 分
【解析】根据带余除法的性质，余数必须小于除数，则有 △的最小值为 7。
【答案】 7
【例 3】 除法算式 □ □= 20 8 中，被除数最小等于 。
【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4 年级，初赛，4 题
【解析】本题的商和余数已经知道了，若想被除数最小，则需要除数最小即可，除数最小是
8 1 9 ，所以本题答案为：20×（8+1）+8=188.
【答案】188
【例 4】 71427 和 19 的积被 7 除，余数是几?
【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第 14 题
【解析】71427 被 7 除，余数是 6，19 被 7 除，余数是 5，所以 71427×19 被 7 除，余数就是
6×5 被 7 除所得的余数 2。
【答案】 2
【例 5】 1013除以一个两位数，余数是12 ．求出符合条件的所有的两位数．
【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】解答
【解析】【解析】1013 12 1001 ，1001 7 11 13 ，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为
“余数小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91。
【答案】13,77,91共三个
【巩固】【巩固】一个两位数除 310，余数是 37，求这样的两位数。
【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】解答
【解析】【解析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整
除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用
被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。
本题中 310-37=273，说明 273 是所求余数的倍数，而 273=3×7×13，所求的两位数约数还
要满足比 37 大，符合条件的有 39，91.
【答案】39 或者 97
【巩固】【巩固】在下面的空格中填上适当的数。
【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 10 题，12 分
【解析】本题的被除数、商和余数已经给出，根据除法的计算公式：被除数 除数 = 商 余
数，逆推计算得到：除数 (20047—13)÷742=27。
【答案】 27
【例 6】 一个两位奇数除 1477，余数是 49，那么，这个两位奇数是多少？
【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】解答
【解析】这个两位奇数能被 1477-49=1428 整除，且必须大于 49,1428=2×2×3×7×17,所以这样的两
位奇数只有 51。
【答案】51
【例 7】 大于 35 的所有数中，有多少个数除以 7 的余数和商相等？
【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】除以 7 的余数只能是 0～6，所以商只能是 0～6，满足大于 7 的数只有商和余数都为 5、
6，所以只能是 40、48。
【答案】40、48
【例 8】 已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是 10，那么这样的自然数共有多少个？
【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。由题意所求的自然数一定是 2008-
10 即 1998 的约数，同时还要满足大于 10 这个条件。这样题目就转化为 1998 有多少个大
于 10 的约数， 31998 2 3 37 ，共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16 个约数，其中 1，
2，3，6，9 是比 10 小的约数，所以符合题目条件的自然数共有 11 个。
【答案】11
【巩固】【巩固】写出全部除 109 后余数为 4 的两位数．
【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛，第五届
【解析】109 4 105 3 5 7 ．因此，这样的两位数是：15；35；21．
【答案】两位数是：15；35；21
【例 9】 甲、乙两数的和是1088 ，甲数除以乙数商11余 32 ，求甲、乙两数．
【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】，小升初分班考试
【解析】【解析】(法 1)因为 甲 乙 11 32 ，所以 甲 乙 乙 11 32 乙 乙 12 32 1088 ；
则乙 (1088 32) 12 88 ，甲 1088 乙 1000 ．
(法 2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088 中减掉 32 以后，1056
就应当是乙数的 (11 1) 倍，所以得到乙数 1056 12 88 ，甲数 1088 88 1000 ．
【答案】乙数 1056 12 88 ，甲数 1088 88 1000
【例 10】用某自然数 a 去除1992 ，得到商是 46，余数是 r ，求 a 和 r ．
【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】第五届，小数报，决赛
【解析】【解析】因为1992 是 a 的 46 倍还多 r ,得到1992 46 43......14 ，得1992 46 43 14 ，所以
43a ， 14r ．
【答案】 43a ， 14r
【例 11】当 1991 和 1769 除以某个自然数 n，余数分别为 2 和 1．那么，n 最小是多少？
【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】【解析】如果用 1990 和 1769 去除这个自然数 n 时，余数是 1．而1990 1769 221 13 17 ，我
们不妨取 13n ，再验证一下：1991 13 153 2 ，1769 13 136 1 ，所以 n 最小为
13．
【答案】13
【例 12】有三个自然数 a ， b ， c ，已知 b 除以 a ，得商 3 余 3； c 除以 a ，得商 9 余 11。则 c 除
以 b ，得到的余数是 。
【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，5 年级，初赛，第 4 题，6 分
【解析】 3 3b a
9 11c a
(9 9) 2 3 2c a b
所以应该余 2。
【答案】 2
【例 13】有两个自然数相除，商是17 ，余数是13 ，已知被除数、除数、商与余数之和为 2113，
则被除数是多少？
【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】小学数学奥林匹克
【解析】【解析】被除数 除数 商 余数 被除数 除数+17+13=2113，所以被除数 除数=2083，由于
被除数是除数的 17 倍还多 13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）
=115，所以被除数=2083-115=1968．
【答案】1968
【巩固】【巩固】两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415，则被除数是
_______．
【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】小学数学奥林匹克
【解析】【解析】因为被除数减去 8 后是除数的 4 倍，所以根据和倍问题可知，除数为
415 4 8 8 4 1 79 （ ）（ ） ，所以，被除数为 79 4 8 324 。
【答案】324
【巩固】【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为 40，余数是 16.被除数、除数、商、余数的和是
933，求这 2 个自然数各是多少？
【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】【解析】本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为 x,y，可以得到
40 16
40 16 933
x y
x y
,解方程组得 856
21
x
y
，即这两个自然数分别是 856，21.
【答案】两个自然数分别是 856，21
【例 14】有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的 3 倍。且这个三位数除以 5 余 4，除以
11 余 3。这个三位数是_
【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】【解析】首先个位数不是 4 就是 9，又因为它是百位的 3 倍所以一定是 9，那么百位就是 3,又因为
它被 11 除余 3，因此十位是 9，答案是 399
【答案】399
【例 15】一个自然数，除以 11 时所得到的商和余数是相等的，除以 9 时所得到的商是余数的 3
倍，这个自然数是_________.
【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】2004 年，福州市，迎春杯
【解析】【解析】设这个自然数除以 11 余 a (0 11)a ，除以 9 余 b (0 9)b ，则有
11 9 3a a b b ，即 3 7a b ，只有 7a ， 3b ，所以这个自然数为12 7 84 。
【答案】84
【例 16】盒子里放有编号 1 到 10 的十个球，小红先后三次从盒子中共取出九个球，如果从第二
次起，每次取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一，那么剩下的球的编号为
____。
【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 11 题
【解析】令第 1 次取的编号为 a，第二次取的编号为 2a+1，第三次取的编号为：2（2a+1）
+1=4a+3；还剩下的编号为：55-7a-4=51 7a，当 a 为 6 时，余下的是 9；当 a 为 7 时，
余下的是 2.
【答案】 9 或者 2
【例 17】10 个自然数，和为 100，分别除以 3。若用去尾法，10 个商的和为 30；若用四舍五入
法，l0 个商的和为 34．10 个数中被 3 除余 l 的有________个．
【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 13 题
【解析】由题意，“用去尾法，10 个商的和为 30；用四舍五入法，l0 个商的和为 34”可知，10
个数中除以 3 余 2 的数有 34-30=4（个），又知道 10 个自然数的和为 100，设除以 3 余 1
的数有 x 个，那么根据用去尾法后十个商的和与 10 个自然数的和，可得关系式：
2 4 100 303 3 3
x ，解得， 2x 。
【答案】 2
【例 18】 3782 除以某个整数后所得的商恰好是余数的 21 倍，那么除数最小可能是 。
【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，4 年级，第 2 题
【解析】设除数为 a ，商为 b ，余数为 c ，则 3782 a b c ，且 21b c 。可以将除式转化为
21 3782a c c ，所以 21 1 3782c a （ ） ，所以 c 和 21 1a （ ）是 3782 的约数，
3782 2 31 61 ，在 3782 的约数中只有 31 61 1891 被 21 除所得的余数为1，所以
21 1 1891a ， 90a 。
【答案】 90
【例 19】在大于 2009 的自然数中，被 57 除后，商与余数相等的数共有______个.
【考点】除法公式的应用 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第 10 题
【解析】根据题意，设这样的数除以 57 所得的商和余数都为 a（a﹤57），则这个数为
57×a+a=58a。所以 58a﹥2009，得到 a﹥2009÷58= 3734 58
，由于 a 为整数，所以 a 至
少为 35.又由于 a﹤57，所以 a 最大为 56，则 a 可以为 35，36，37，…，56.由于每
一个 a 的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有 56-35+1=22
个。
【答案】 22
【例 20】用 1、9、8、8 这四个数字能排成几个被 11 除余 8 的四位数？
【考点】除法公式的应用 【难度】5 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第 14 题
【解析】用 1、9、8、8 可排成 12 个四位数，即 1988，1898，1889，9188，9818，9881，
8198，8189，8918，8981，8819，8891
它们减去 8 变为 1980，1890，1881，9180，9810，9873，8190，8181，8910，
8973，8811，8883 其中被 11 整除的仅有 1980，1881，8910，8811，即用 1、9、8、
8 可排成 4 个被 1 除余 8 的四位数，即 1988，1889，8918，8819.
【又解】什么样的数能被 11 整除呢？一个判定法则是：比较奇位数字之和与偶位数
字之和，如果它们之差能被 11 除尽，那么所给的数就能被 11 整除，否则就不能
够．
现在要求被 11 除余 8，我们可以这样考虑：这样的数加上 3 后，就能被 11 整除了．
所以我们得到“一个数被 11 除余 8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将
奇位数字相加再加上 3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被 11 除尽，那么这
个数是被 11 除余 8 的数；否则就不是．
要把 1、9、8、8 排成一个被 11 除余 8 的四位数，可以把这 4 个数分成两组，
每组 2 个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作 A；另外一组作为百位
和个位数，它们之和加上 3 记作 B．我们要适当分组，使得能被 11 整除．现在只有
下面 4 种分组法：
经过验证，第（1）种分组法满足前面的要求：A＝1＋8，B＝9＋8＋3＝20，B－A＝
11 能被 11 除尽．但其余三种分组都不满足要求．
根据判定法则还可以知道，如果一个数被 11 除余 8，那么在奇位的任意两个数字互
换，或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被 11 除也余 8．于是，上面第
（1）分组中，1 和 8 中任一个可以作为千位数，9 和 8 中任一个可以作为百位数．
这样共有 4 种可能的排法：1988，1889，8918，8819．
答：能排成 4 个被 11 除余 8 的数
【答案】 4
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