资料简介
数据的收集与整理
◆【课前热身】
1.一组数据 4，5，6，7，7，8 的中位数和众数分别是（ ）
A．7，7 B．7，6.5 C．5.5，7 D．6.5，7
2.我市统计局发布的统计公报显示，2004 年到，我市 GDP 增长率分别为 9.6%、10.2%、10.4%、
10.6%、10.3%. 经济学家评论说，这 5 年的年度 GDP 增长率相当平稳，从统计学的角度看，
“增长率相当平稳”说明这组数据的 比较小.
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
3.在一次青年歌手大奖赛上，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5， 9.4， 9.6， 9.9，
9.3， 9.7，9.0，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数是（ ）
A．9.2 B．9.3 C．9.4 D．9.5
4.若样本数据 1， 2，3，2 的平均数是 a，中位数是 b，众数是 c，则数据 a，b，c 的标准差
是_______．
【参考答案】
1. D
2. D
3. D
4. 0
◆【考点聚焦】
〖知识点〗
平均数、方差、标准差、方差的简化公式
〖大纲要求〗
了解样本方差、 总体方差、样本标准差的意义，理解加权平均数的概念，掌握它的计
算公式，会计算样本方差和样本标准差，掌握整理数据的步骤和方法.
◆【备考兵法】
1．方差的定义
在一组数据 x1，x2，…，xn 中，各数据与它 们的平均数 x 的差的平方的平均数，叫做
这组数据的方差．通常用“S2”表示，即 S2= 1
n
[（x1－ x ）2+（x2－ x ）2+…+（xn－ x ）2]．
2．方差的计算
（1）基本公式
S2= 1
n
[（x1－ x ）2+（x2－ x ）2+…+（xn－ x ）2]
（2）简化计算公式（Ⅰ）
S2= 1
n
[（x1
2+x2
2+…+xn
2）－n x 2]，也可写成 S2= 1
n
（x1
2+x2
2+…+xn
2）－ x 2，此公式的记
忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
（3）简化计算公式（Ⅱ）
S2= 1
n
[（x`1
2+x`2
2+…+x`n
2）－nx x `2]．
当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一
个与它们的平均数接近的常数 a，得到一组数据 x`1=x1－a，x`2=x2－a，…x`n=xn－a，那么
S2= 1
n
[（x`1
2+x`2
2+…+x`n
2）－n x `2]，也可写成 S2= 1
n
（x`1
2+x`2
2+…+x`n
2）－ x `2．记忆方
法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方．
3．标准差的定义和计算
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示，即
S= 2S = 2 2 2
1 2
1 [( ) ( ) ( )nx x x x x xn
4．方差和标准差的意义
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大
小，我们所研究的权是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况．
方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小．
〖考查重点与常见题型〗
1．考查平均数的求法，有关习题常出现在填空题或选择题中，如：
(1)已知一组数据为 3，12，4，x，9，5，6，7，8 的平均数为 7，则 x＝
(2)某校篮球代表队中，5 名队员的身高如下（单位：厘米）：185，178，184，183，180，
则这些队员的平均身高为（ ）
（A）183 （B）182 （C）181 （D）180
2．考查样本方差、标准差的计算，有关试题常出现在选择题或填空题中，如：
（1）数据 90，91，92，93 的标准差是（ ）（A）2 （B）54 （C）54 （D）52
（2）甲、乙两人各射靶 5 次，已知甲所中环数是 8、7、9、7、9，乙所中的环数的平均数
x2＝8，方差 S2 乙＝0.4，那么，对甲、乙的射击成绩的正确判断是（ ）
（A）甲的射击成绩较稳定 （B）乙的射击成绩较稳定
（C）甲、乙的射击成绩同样稳定 （D）甲、乙的射击成绩无法比较
◆【考点链接】
1．平均数的计算公式___________________________．
2. 加权平均数公式_____________________________．
3. 中位数是___________________________，众数是__________________________．
4．极差是__________________，方差的计算公式_____________________________．
标准差的计算公式：_________________________．
◆【典例精析】
例 1 甲、乙两个学习小组各 4 名学生的数学测验成绩如下（单位：分）
甲组：86 82 87 85 乙组：85 81 85 89
（1）分别计算这两组数据的平均数；
（2）分别计算这两组数据的方差；
（3）哪个学习小组学生的成绩比较整齐？
【分析】应用平均数计算公式和方差的计算公式求平均数和方差．
【答案】（1） x 甲= 1
4
（6+2+7+5）+80=85， x 乙= 1
4
（5+1+5+9）+80=85．
（2）S 甲
2= 1
4
[（86－85）2+（82－85）2+（87－85）2+（85－85）2]=3.5，S 乙
2
= 1
4
[（85－85）2+（81－85）2+（85－85）2+（89－85）2]=8．
（3）∵S 乙
2>S 甲
2，∴甲组学习成绩较稳定．
【点评】方差是反映一组数据波动大小的量．
例 2 在“3．15”消费者权益日的活动中，对甲、乙两家商场售后服务的满意度进行了
抽查．如图反映了被抽查用户对两家商场售后服务的满意程度（以下称：用户满意度），分
为很不满意，不满意，较满意，很满意四个等级，并依次为 1 分，2 分，3 分，4 分．
（1）请问：甲商场的用户满意度分数的众数为_____分；乙商品的用户满意度分数的众
数为_______分．
（2）分别求出甲、乙两商场的用户满意度分数的平均分．（精确到 0.01）
（3）请你根据所学统计知识，判断哪家商场的用户满意度较高，并简要说明理由．
【分析】牢记平均数的计算公式，进而求解.
【答案】（1）3 3
（2）甲商场抽查用户数为：
500+1000+2000+1000=4500（户），
乙商场抽查用户数为：
100+900+2200+1300=4500（户）．
所以甲商场满意度分数的平均值
= 500 1 1000 2 2000 3 1000 4
4500
≈2.78（分）．
乙商场满意度分数的平均值
=100 1 900 2 2200 3 1300 4
4500
≈3.04（分）
答：甲，乙两商场用户满意度分数的平均值分别为 2.78 分，3.04 分．
（3）因为乙商场用户满意度分数的平均值较高（或较满意和很满意的人数较多），所以
乙商场的用户满意度较多．
◆【迎考精练】
一、选择题
1.（吉林省）某校七年级有 13 名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前 6 名参加
决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这 13 名同学
成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．极差
2.(四川内江)今年我国发现的首例甲型 H1N1 流感确诊病例在成都某医院隔离观察，要掌握
他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解这位病人 7 天体温的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数
3.（湖北仙桃）为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买 10 双运动鞋，各种
尺码的统计如下表所示，则这 10 双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ）．
A.25.6 26 B.26 25.5 C.26 26 D.25.5 25.5
4.（甘肃白银）有 19 位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前 10 位同学进入
决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这 19 位同学成绩
的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5.(湖北鄂州)有一组数据如下：3、a、4、6、7，它们的平均数是 5，那么这组数据的方差
是（ ）
A.10 B. 10 C.2 D. 2
6.（湖北孝感）某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表（有两个数
据被遮盖）．
日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温
最低
气温
1℃ －1℃ 2℃ 0℃ ■ ■ 1℃
被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．3℃，2 B．3℃， 6
5
C．2℃，2 D．2℃， 8
5
7.（浙江嘉兴）已知数据：2， 1 ，3，5，6，5，则这组数据的众数和极差分别（ ）
A．5 和 7 B．6 和 7 C．5 和 3 D．6 和 3
8.（天津市）为参加“天津市初中毕业生升学体育考试”，小刚同学进行了刻苦的练习，在
投掷实心球时，测得 5 次投掷的成绩（单位：m）为：8，8.5，9，8.5，9.2．这组数据的众
数、中位数依次是（ ）
A．8.5，8.5 B．8.5，9 C．8.5，8.75 D．8.64，９
9.(浙江湖州)某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价，由单价为 15 元/千克的甲种糖果
10 千克，单价为 12 元/千克的乙种糖果 20 千克，单价为 10 元/千克的丙
种糖果 30 千克混合成的什锦糖果的单价应定为（ ）
A．11 元/千克 B．11.5 元/千克 C．12 元/千克 D．12.5 元/千克
二、填空题
1.（山东滨州）数据 1、5、6、5、6、5、6、6 的众数是 ，中位数是 ，方
差是 ．
2.（浙江杭州）给出一组数据：23，22，25，23，27，25，23，则这组数据的中位数是___________；
方差（精确到 0.1）是_____________．
3.（浙江台州）随机从甲、乙两块试验田中各抽取 100 株麦苗测量高度，计算平均数和方差
的结果为： 13甲x ， 13乙x ， 5.72 甲S ， 6.212 乙S ，则小麦长势比较整齐的试验田是
(填“甲”或“乙”)．
4.（山东济南）“五一”期间，我市某街道办事处举行了“迎全运，促和谐”中青年篮球友
谊赛．获得男子篮球冠军球队的五名主力队员的身高如下表：（单位：厘米）
号码 4 7 9 10 23
身高 178 180 182 181 179
则该队主力队员身高的方差是 厘米 2．
5.（湖南株洲）在一次体检中，测得某小组 5 名同学的身高分别是 170、162、155、160、
168（单位：厘米），则这组数据的极差是 厘米．
三、解答题
1.（浙江宁波）宁波市初中毕业生升学体育集中测试项目包括体能（耐力）类项目和速度（跳
跃、力量、技能）类项目．体能类项目从游泳和中长跑中任选一项，速度类项目从立定跳远、
50 米跑等 6 项中任选一项．某校九年级共有 200 名女生在速度类项目中选择了立定跳远，
现从这 200 名女生中随机抽取 10 名女生进行测试，下面是她们测试结果的条形统计图．（另
附：九年级女生立定跳远的计分标准）
（1）求这 10 名女生在本次测试中，立定跳远距离．．的极差和中位数，立定跳远得分．．的众数和
平均数．
（2）请你估计该校选择立定跳远的 200 名女生中得满分的人数．
2.（内蒙古包头）某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力
测试，各项测试成绩满分均为 100 分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下
表所示：
测试项目
测试成绩
甲 乙 丙
教学能力 85 73 73
科研能力 70 71 65
组织能力 64 72 84
（1）如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；
（2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按 5∶3∶2 的比例确定每
人的成绩，谁将被录用，说明理由．
10 名女生立定跳远距离条形统计图
距离（cm）
210
180
150
120
90
60
30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 女生序号
174
196 199 205 201 200 183200 197 189
成绩（cm） 197 189 181 173 …
分值（分） 10 9 8 7 …
九年级女生立定跳远计分标准
（注：不到上限，则按下限计分，满分为 10 分）
3.（山东济宁）作为一项惠农强农应对当前国际金融危机、拉动国内消费需求的重要措施，
“家电下乡”工作已经国务院批准从 12 月 1 日起在我市实施．我市某家电公司营销点自去
年 12 月份至今年 5 月份销售两种不同品牌冰箱的数量如下图：
（1）完成下表：
平均数 方差
甲品牌销售量/台 10
乙品牌销售量/台
3
4
（2）请你依据折线图的变化趋势，对营销点今后的进货情况提出建议．
4.（湖南衡阳）甲、乙两人在相同的条件下各射靶 5 次，每次射靶的成绩情况如图 7 所示．
（1）请你根据图中的数据填写下表：
1 2 3 4 5
8·
7·
5·
6·
4·
3·
2·
1·
0
（环数）
（次）
8·
7·
5·
6·
4·
3·
2·
1·
0
（环数）
（次）
甲 乙
1 2 3 4 5
0
2
4
6
8
10
12
14
销售量/台
月份12 1 2 3 4 5
甲品牌
乙品牌
姓名 平均数（环） 众数（环） 方 差
甲 6
乙 6 2.8
（2）从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩好一些．
【参考答案】
选择题
1. A
2. B
3. D
4. B
5. C
6. A
7. A
8. A
9. B
填空题
1. 6，5.5，2.5
2. 23；2.6
3. 甲
4. 2
5. 15
解答题
1.解：（1）立定跳远距离的极差 205 174 31(cm) ．
立定跳远距离的中位数 199 197 198(cm)2
．
根据计分标准，这 10 名女生的跳远距离得分分值分别是：
7，9，10，10，10，8，10，10，9．
所以立定跳远得分的众数是 10（分），
立定跳远得分的平均数是 9.3（分）．
（2）因为 10 名女生中有 6 名得满分，所以估计 200 名女生中得满分的人数是 6200 12010
（人）．
2. 解：（1）甲的平均成绩为： (85 70 64) 3 73 ，
乙的平均成绩为： (73 71 72) 3 72 ，
丙的平均成绩为： (73 65 84) 3 74 ，
候选人丙将被录用．
（2）甲的测试成绩为： (85 5 70 3 64 2) (5 3 2) 76.3 ，
乙的测试成绩为： (73 5 71 3 72 2) (5 3 2) 72.2 ，
丙的测试成绩为： (73 5 65 3 84 2) (5 3 2) 72.8 ，
候选人甲将被录用．
3. 解：（1）计算平均数、方差如下表：
平均数 方差
甲品牌销售量/台 10
3
13
乙品牌销售量/台 10
3
4
（2）建议如下：从折线图来看，甲品牌冰箱的月销售量呈上升趋势，进货时可多进甲
品牌冰箱．
4. （1）见表
姓名 平均数（环） 众数（环） 方 差
甲 6 6 0.4
乙 6 6 2.8
（2）从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩好些．
解：甲、乙两人射靶成绩的平均数都是 6，但甲比乙的方差要小，说明甲的成绩较为稳
定，所以甲的成绩比乙的成绩要好些．
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