资料简介
初二数学上册三角形知识详解
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三
角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻
两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
2 三角形的表示
三角形 ABC 用符号表示为△ABC，三角形 ABC 的边 AB 可用边 AB 所对的
角 C 的小写字母 c 表示，AC 可用 b 表示，BC 可用 a 表示.三个顶点用大写字
母 A,B,C 来表示。
注意：(1)三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；(2)三角形是一
个封闭的图形；(3)△ABC 是三角形 ABC 的符号标记，单独的△没有意义。3
三角形的分类
(1)按边分类：
(2)按角分类
4 三角形的主要线段的定义
②∠1=∠2=∠BAC.
注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形
的内部且交于三角形内部一点；（注：这一点角三角形的内心。角平分线的性
质：角平分线上的点到角的两边距离相等）③用量角器画三角形的角平分线。
(3)三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点
和垂足之间的线段．
表示法：①AD 是△ABC 的 BC 上的高线②AD⊥BC 于 D③∠ADB=∠
ADC=90°.
注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，
直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在
直线交于一点．这点叫垂心）③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面
积的时候就有三种（因为高底不一样）
5 三角形的主要线段的表示法
三角形的角平分线的表示法：如图 1，根据具体情况使用以下任意一种
方式表示：① AD 是 DABC 的角平分线；② AD 平分ÐBAC，交 BC 于 D；
(图 1)
(2)三角形的中线表示法：如图 1，根据具体情况使用以下任意一种方式
表示：①AE 是 DABC 的中线；②AE 是 DABC 中 BC 边上的中线；
(3)三角线的高的表示法：如图 2，根据具体情况，使用以下任意一种方
式表示：①AM 是 DABC 的高；②AM 是 DABC 中 BC 边上的高；③如果 AM 是
DABC 中 BC 边上高，那么 AM^BC，垂足是 E；
在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图 3，
三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.(2)如图 4，三角形的三
条中线交点一点，交点都在三角形内部.
图 3 图 4
如图 5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三
角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条
高的交点在直角三角形的直角顶点上.
图 5 图 6 图 7
6 三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
注意：(1)三边关系的依据是：两点之间线段是短；(2)围成三角形的条件
是任意两边之和大于第三边．
7 三角形的角与角之间的关系
(1)三角形三个内角的和等于 180°;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻
的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)
直角三角形的两个锐角互余.
8 三角形的内角和定理
定理：三角形的内角和等于 180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。
推理过程：(1)作 CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=180 度，即∠A+
∠B+∠ACB=180 度．(2)作 MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=180
度即∠BAC+∠B+∠C=180 度．
注意：(1)证明的思路很多，基本思想是组成平角．(2)应用内角和定理可
解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．
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三角形的外角的定义
三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.注意：每个
顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.（所以一般我们只研究一个）
如:∠ACD、∠BCE 都是△ABC 的外角，且∠ACD=∠BCE. 所以说一个
三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外
角就只有三个了.
10 三角形外角的性质
(1)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．
(2)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．
注意：(1)它不相邻的内角不容忽视；
(1) 作 CM∥AB 由于 B、C、D 共线
∴∠A=∠1，∠B=∠2
.即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.
11 三角形的稳定性
三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳
定性。
注意：(1)三角形具有稳定性；(2)四边形没有稳定性.
关于三角形会经常遇到的题型：适当添加辅助线，寻找基本图形。
(1)基本图形一，如图 8，在 ABC 中，AB=AC，B,A,D 成一条直线，
图 8
(2) 基本图形二，如图 9，如果 CO 是∠AOB 的角平分线，DE∥OB 交 OA,OC
于 D,E，那么 DOE 是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，
或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的
两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：
角平分线+平行线→等腰三角形.
图 9
(3) 基本图形三，如图 10，如果 BD 是ÐABC 的角平分线，M 是 AB 上一点，
MN^BD，且与 BP,BC 相交于 P,N.那么 BM=BN，即 DBMN 是等腰三角形，
且 MP=NP，即：角平分线+垂线→等腰三角形
.
当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基
本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图 11， 图 12。
12 多边形
在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。(1)多边
形的对角线连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
(2)正多边形各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形
(3)多边形的内角和为（n-2）*180 度多边形的外角和为 360 度注：当求
角度时应该想起 内角和 或者 外角和 或者 一个角的外角 13 密铺
所谓“密铺”，就是指任何一种图形，如果能既无空隙又不重叠的铺在平
面上，这种铺法就叫做“密铺”。用形状、大小完全相同的一种或几种平面图
形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密
铺，又称做平面图形的镶嵌。
可单独密铺的图形①所有三角形与四边形均可以单独密铺。②正多边形
只有正三角形、正四边形、正六边形可以单独密铺。 ③对边平行的六边形
可以单独密铺。平面上有：完全相同的三角形、四边形能密铺（或三角形与
四边形组合）、正多边形密铺时,只有正三、四、六边形可以密铺。
(利用内角和的知识来计算，如：任意三角形内角 180，则三个相同的任
意三角形即可形成∠180，六个就可以密铺；同理，四边形内角 360，四个就
可以密铺；正多边形的顶角的整数倍等于 180 或 360)
曲面像 12 个正五边形和 20 个正六边形可以铺成个球(足球就是)。
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