资料简介
1
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
一、选择题
1．已知向量 ( ) ( )1,2 , 1, m= = −a b ,若 ⊥a b ,则m 的值为
A． 2− B． 2 C．
1
2
D．
1
2
−
【答案】C
【解析】因为 ⊥a b ，所以 · 1 2 0m= − + =a b ，解得
1
2
m = .
本题选择 C 选项.
2．若向量 ＝（1，2）， ＝（1，－1），则 2 ＋ 与 － 的夹角等于（ ）
A．－
4
B．
3
C．
4
D．
3
4
【答案】C
【解析】由已知 2a+b=(2,4)+(1,-1)=(3,3),a-b=(0,3).
设 2a+b与 a-b的夹角为 θ,
则 cos θ=
( ) ( )2
2
a b a b
a b a b
+ −
+ −
=
9
3 2 3
=
2
2
,
∵0≤θ≤π,∴θ=
π
4
,故选 C.
3．已知向量 =（x，1）， =（1，－2），且 ⊥ ，则| + |=（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【解析】由题意可得 =（x，1） （1，－2）=x－2=0，解得 x=2.
则 + =（x+1，－1）=（3，－1），可得| + |= ，故选 B.
.4．已知 ， ，且 ，则向量 与 夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ， ，且 ，∴ ，
2
∴向量 与 夹角的大小为 ，故选 C.
5．（多选题）（2019·全国高一课时练习）以下选项中，一定是单位向量的有（ ）
A. ( )cos , sina = − ；B. ( )lg 2, lg5b = ；C. ( )2 ,2x xc −= ；D. ( )1 ,d x x= − .
【答案】AB
【解析】 ( ) ( )
2 2 2 2cos sin cos sin 1a = + − = + = ， ( )lg 2 lg5 lg 2 5 1b = + = = ，
( ) ( )
2 2
2 2 4 4 2 4 4 2 1x x x x x xc − − −= + = + = ，
( )
2
2 2 2 1 1 2
1 2 2 1 2
2 2 2
x x x xd x
− + = − + = − +
= .
因此，a 和b 都是单位向量，故选 AB.
6．（多选题）已知 m=(a,b),向量 n与 m垂直,且|m|=|n|,则 n的坐标为( )
A．(b,-a) B．(-a,b) C．(a,-b) D．(-b,a)
【答案】AD
【解析】设向量 n的坐标为（x，y）
∵向量m=（a，b），且向量 m⊥n 且|m|=|n|，
∴ax+by=0 且 a²+b²=x²+y²，
解得：x＝−b ，y＝a 或 x＝b ，y＝−a .
故选 AD。
二、填空题
7．（2019·全国高一课时练习）已知向量 =(1, 3), ( 3,1)=a b ，则 a与 b夹角的大小为_________.
【答案】30 .
【解析】两向量夹角为
2 3 3
cos ,
2 2 2
a b
a b
a b
= = =
,又两个向量夹角范围是 0, ,所以夹角为
6
.
8．（2019·全国高一课时练习）已知 A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，直线 CD⊥AB，且
CB∥AD，则点 D 的坐标是__________
【答案】 (0,1)
【解析】根据题意，设 D（x，y），则CD＝（x﹣3，y） AB ＝（1，3），CB ＝（-1，2）， AD ＝
3
（x﹣1，y+1）；
若 CD⊥AB，则CD AB• ＝（x﹣3）1+3y＝0，①
若 CB∥AD，则CB AD ，则有 2（x﹣1）＝（﹣1）（y+1），②
由①②得 x＝0，y＝1；所以 D 的坐标为（0，1）；
故答案为（0，1）．
9．（2019·全国高一课时练习）设向量 a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则 m=_________.
【答案】-2
【解析】由题意得
2 2 2( 1) +3 1 5 2.m m m+ = + + = −
10．（2019·全国高一课时练习）已知平面向量 a，b 的夹角为 60°， ( )1 3=a , ， 1=b ，则 =a b __；
2a b− =___.
【答案】1 2
【解析】由题意可得： ( )
2
21 3 2a = + = ，则：
2 1 cos60 1a b = = ， ( )
2
2 22 2 4 4 4 4 4 2a b a b a a b b− = − = − + = − + = .
三、解答题
11．（2020·全国高一课时练习）已知 ( )3, 1a = − ， ( )1, 2b = − ，求a b ， a ， b ， ,a b ．
【答案】5， 10 ， 5 ，
4
【解析】 ( ) ( )3 1 1 2 5a b = + − − =
9 1 10a = + = ， 1 4 5b = + =
5 2
cos ,
210 5
a b
a b
a b
= = =
， , 0,a b ,
4
a b
=
12．（2019·全国高一课时练习）已知平面向量 ( )3,4a = ， ( )9,b x= ， ( )4,c y= ，且 //a b ，a c⊥
（1）求b 和 c ；
（2）若 2m a b= − ，n a c= + ，求向量m 与向量n 的夹角的大小.
【答案】（1） ( )9,12b = ， ( )4, 3c = − ；（2）
3
4
.
4
【解析】（1） ( )3,4a = ， ( )9,b x= ， ( )4,c y= ，且 //a b ， a c⊥ ，
3 4 9
3 4 4 0
x
y
=
+ =
，
解得
12
3
x
y
=
= −
，因此， ( )9,12b = ， ( )4, 3c = − ；
（2） ( ) ( ) ( )2 2 3,4 9,12 3, 4m a b= − = − = − − ， ( ) ( ) ( )3,4 4, 3 7,1n a c= + = + − = ，
则 3 7 4 1 25m n = − − = − ， ( ) ( )
2 2
3 4 5m = − + − = ，
2 27 1 5 2n = + = ，
设m 与n 的夹角为 ，
25 2
cos ,
25 5 2
m n
m n
m n
−
= = = −
， 0 ，则
3
4
= .
因此，向量m 与向量n 的夹角为
3
4
.
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