资料简介
1
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（用时 45 分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
给角求值 1,6,8
给值求值 2,5,7,10
给值求角 4,13
二倍角公式 3,11
综合运用 9,12,14
基础巩固
1．cos15的值是（ ）
A．
6 2
2
−
B．
6 2
2
+
C．
6 2
4
−
D．
6 2
4
+
【答案】D
【解析】
( )
2 3 2 1 6 2
cos15 cos 45 30 cos 45 cos30 sin 45 sin 30
2 2 2 2 4
+
= − = + = + = ，故
选：D.
2．已知 为锐角， 为第三象限角，且
12
cos
13
= ，
3
sin
5
= − ，则 ( )cos − 的值为（ ）
A．
63
65
− B．
33
65
− C．
63
65
D．
33
65
【答案】A
【解析】 为锐角，且
12
cos
13
= ，
2 5
sin 1 cos
13
= − = .
为第三象限角，且
3
sin
5
= − ，
2 4
cos 1 sin
5
= − − = − ，
( )
12 4 5 3
cos cos cos sin sin
13 5 13 5
− = + = − + −
2
63
65
= − .故选 A.
3．已知
4
cos( )
5
− = ，则 为第三象限角，则 tan 2 的值等于（ ）
A．
3
4
B．
3
4
− C．
24
7
D．
24
7
−
【答案】C
【解析】∵ ( )
4
5
cos − = = − cosα，∴cosα
4
5
= − ，∵α 为第三象限角，∴sinα
2 3
1
5
cos = − − = − ，
∴tanα
3
4
sin
cos
= = ，
则 tan2α
2
2 24
1 7
tan
tan
= =
−
，
故选：C．
4．若
5
sin
5
A = ，
10
sin
10
B = ，且 A，B 均为钝角，则 A B+ 的值为（ ）
A．
7
3
B．
7
4
C．
3
2
D．
6
5
【答案】B
【解析】 A， B 均为钝角且
5
sin
5
A = ，
10
sin
10
B = ， 2 2 5
cos 1 sin
5
A A = − − = − ，
2 3 10
cos 1 sin
10
B B= − − = − ， ( )
2 5 3 10
cos cos cos sin sin
5 10
A B A B A B
+ = − = − −
5 10 2
5 10 2
− = ①，又
2
A
，
2
B
， 2A B + ②，由①②，知
7
4
A B
+ = .
故选：B
5．已知
1
cos
6 3
x
− = −
，则cos cos
3
x x
+ −
的值为（ ）
A．
3
3
B． 3 C．
3
3
− D． 3−
【答案】C
【解析】因为
1
cos
6 3
x
− = −
，
3
所以
1
cos cos sin sin
6 6 3
x x
+ = −
即
3 1 1
cos sin
2 2 3
x x+ = −
而所求的cos cos
3
x x
+ −
cos cos cos sin sin
3 3
x x x
= + +
3 3
cos sin
2 2
x x= +
3 1
3 cos sin
2 2
x x
= +
3
3
= −
故选：C.
6．计算：sin 23 cos 22 sin 67 sin 22 + = ______________
【答案】
2
2
【解析】 sin 67 sin(90 23 ) cos 23 = − =
2
sin 23 cos 22 sin 67 sin 22 sin 23 cos 22 cos 23 sin 22 sin(23 22 ) sin 45
2
+ = + = + = =
故答案为：
2
2
7．
4
sin( )cos cos( )sin
5
− − − = ，且 是第四象限角，则cos
2
= ______.
【答案】
2 5
5
【解析】由题, sin( )cos cos( )sin − − − = ( )
4
sin sin
5
− − = − = ,
4
sin
5
= −
是第四象限角,
4
3
cos
5
=
2
是第二、四象限角,
( )2 1 1 3 4
cos 1 cos 1
2 2 2 5 5
= + = + =
2 5
cos
2 5
=
本题答案为：
2 5
5
8．不用计算器，求值：
sin 7 cos15 sin8
cos7 sin15 sin8
+
−
。
【答案】2 3−
【解析】
sin 7 cos15 sin8 sin(15 8 ) cos15 sin8 sin15 cos8
tan15
cos7 sin15 sin8 cos(15 8 ) sin15 sin8 cos15 cos8
+ − +
= = =
− − −
3
1
tan 45 tan 30 3tan15 tan(45 30 ) 2 3
1 tan 45 tan 30 3
1
3
−
−
= − = = = −
+
+
9．已知角 的终边过点 ( )4 3P ,− .
（1）求
( )
( )
tan 3
sin 5 cos
2
+
− − +
的值；
（2）若 为第三象限角，且
4
tan
3
= ，求 ( )cos − 的值.
【答案】（1）
5
8
− ；（2）0.
【解析】（1）因为角 的终边过点 ( )4 3P ,− ，
所以
3
sin
5
= ，
4
cos
5
= − ，
所以
( )
( )
sin
tan 3 1 5cos
sin sin 2cos 8
sin 5 cos
2
+
= = = −
+
− − +
.
5
（2）因为 为第三象限角，且
4
tan
3
= ，
所以
4
sin
5
= − ，
3
cos
5
= − .
由（1），知
3
sin
5
= ，
4
cos
5
= − ，
所以 ( )
4 3 3 4
cos cos cos sin sin 0
5 5 5 5
− = + = − − + − =
.
能力提升
10．已知 ( )
3
cos
5
− = ，
5
sin
13
= − ，且 0,
2
， ,0
2
−
，则cos =（ ）
A．
33
65
B．
56
65
C．
33
65
− D．
56
65
−
【答案】B
【解析】
0
2
0
2
−
， 0 − .又 ( )
3
cos
5
− = ，
( ) ( )2 4
sin 1 cos
5
− = − − = . 0
2
− ，
5
sin
13
= − ，
12
cos
13
= ，
( ) ( ) ( )
56
cos cos cos cos sin sin
65
= − + = − − − = .
故选：B
11．设
1
sin
3
= ，2 3 ，则sin cos
2 2
+ =（ ）
A．
2 3
3
− B．
2 3
3
C．
4
3
D．
3
3
−
【答案】A
【解析】
1
sin
3
= ,先将sin cos
2 2
+ 平方得：
2
2 2 4
sin cos sin 2sin cos cos 1 sin
2 2 2 2 2 2 3
+ = + + = + =
.
又 2 3 ,
3
2 2
在第三象限,
则 sin 0,cos 0
2 2
,
6
2 3
sin cos
2 2 3
+ = − .
故选:A
12．已知 tan 、tan 是关于 x 的一元二次方程 2 4 5 0x x − =+ 的两实根，则
sin( )
cos( )
+
=
−
________.
【答案】1
【解析】
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
+ +
=
− +
,上下同时除以cos cos 得
tan tan
1 tan tan
+
+
,
又 tan 、 tan 是关于 x 的一元二次方程 2 4 5 0x x − =+ 的两实根,
故 tan tan 4, tan tan 5 + = − = − ,所以
tan tan 4
1
1 tan tan 1 5
+ −
= =
+ −
,即
sin( )
1
cos( )
+
=
−
.
故答案为：1
13．已知
3
2
，
3
2
，
5
sin
5
= − ，
10
cos
10
= − ，求 − 的值.
【答案】
4
−
【解析】由于
3
2
，
3
2
，
5
sin
5
= − ，
10
cos
10
= − ，所以
2 2 5
cos 1 sin
5
= − − = − ， 2 3 10
sin 1 cos
10
= − − = − ，所以
( )
5 10 3 10 2 5 2
sin
5 10 10 5 2
− = − = − ，由于 ,
2 2
− −
，所以
4
− = − .
素养达成
14．已知函数 ( ) ( )sin 2 cos cos 2 sin ,0f x x x x = + R ，
3
4 2
f
=
.
7
（1）求 ( )f x 的解析式；
（2）若
5
2 3 13
f
− =
， ,
2
，求sin
4
+
的值.
【答案】（1） ( ) sin 2
6
f x x
+
=
； （2）
7 2
26
.
【解析】（1）由
3
4 2
f
=
，可得
3
sin cos cos sin
2 2 2
+ = ，所以
3
cos
2
= .
又0 ，所以
6
π
= ，
所以 ( ) sin 2 cos cos 2 sin sin 2
6 6 6
f x x x x
= + = +
.
（2）由
5
2 3 13
f
− =
，可得
5
sin 2
2 3 6 13
− + =
，
即
5
sin
2 13
− =
，所以
5
cos
13
= − .
又 ,
2
，所以
2
2 5 12
sin 1 cos 1
13 13
= − = − − =
，
所以
12 2 5 2 7 2
sin sin cos cos sin
4 4 4 13 2 13 2 26
+ = + = − =
.
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