资料简介
1
5.4.2 正弦数、余弦函数的性质
（用时 45 分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
周期函数 1,7
判断奇偶 4,8,10
单调性与值域最值 3,6,9,11,12
对称性 2
综合运用 5,13
基础巩固
1．若函数 ( ) sin
6
f x x
= +
（ 0 ）的最小正周期为
5
,则 =（ ）
A.5 B.10 C.15 D.20
【答案】B
【解析】根据周期公式
2
| |
T
= 以及 0 得
2
10
5
= =
,
故选 B .
2．若函数 ( ) sin(2 )( 0)f x x = + 的图象关于点 ,0
3
对称，则 的最小值为（ ）
A.
12
B.
6
C.
3
D.
5
12
【答案】C
【解析】由 f(x)＝sin（2x+φ），
令 2
3
+φ＝kπ，（k∈z）
得：φ
2
3
k
= − ，（k∈z）
又 φ＞0，所以 k=1 时
则 φmin
3
= ，
故选：C．
3．在 ( )0,2 内使sin cosx x 成立的 x 的取值范围是（ ）
2
A.
3
,
4 4
B.
5 3
, ,
4 2 4 2
C. ,
4 2
D.
5 7
,
4 4
【答案】A
【解析】∵sin cosx x ，∴sin 0x ，∴ ( )0,x .在同一坐标系中画出 siny x= ， ( )0,x 与
cosy x= ， ( )0,x 的图像，如图.
观察图像易得使sin cosx x 成立的
3
,
4 4
x
.
故选 A.
4．函数
3
5sin 2
2
y x
= +
是（ ）
A.最小正周期为 的偶函数 B.最小正周期为 的奇函数
C.最小正周期为 4 的偶函数 D.最小正周期为 4 的奇函数
【答案】A
【解析】依题意 5cos 2y x= − ，所以最小正周期为
2π
π
2
= ，且为偶函数.
故选：A.
5．已知函数 ( ) cos2 ( )f x x x= R ，下面结论错误的是（ ）
A．函数 ( )f x 的最小正周期为 π
B．函数 ( )f x 是偶函数
C．函数 ( )f x 的图像关于直线
π
4
x = 对称
D．函数 ( )f x 在区间
π
0,
2
上是减函数
【答案】C
【解析】由函数 ( ) cos 2f x x= 可得它的最小正周期为 π，且 ( )f x 是偶函数，故 A，B 中结论正确；
3
当
π
4
x = 时， ( ) cos2 0f x x= = ，故 ( )f x 的图像不关于直线
π
4
x = 对称，故 C 中结论错误；
在区间
π
0,
2
上，2 [0,π]x ，函数 ( )f x 是减函数，故 D 中结论正确．
故选 C．
6．比较大小：
47
10
cos
−
______cos（
44
9
− ）
【答案】＞
【解析】cos（
47
10
− π）＝cos（﹣4π
7
10
− ）＝cos（
7
10
− ）＝cos
7
10
，
cos（
44
9
− π）＝cos（﹣4π
8
9
− ）＝cos（
8
9
− ）＝cos
8
9
，
∵y＝cosx 在（0，π）上为减函数，
∴cos
7
10
＞cos
8
9
，
即 cos（
47
10
− π）＞cos（
44
9
− π）．
故答案为：＞．
7．已知函数 ( )f x 是定义在R上的周期为6的奇函数，且 (1) 1f = ，则 (5)f = ___________.
【答案】 1−
【解析】∵函数 ( )f x 是定义在R上的周期为6的奇函数，∴ ( ) ( ) ( ) ( )5 5 6 1 1f f f f= − = − = − .
又∵ ( )1 1f = ，∴ ( )5 1f = − .
8．判断下列函数的奇偶性：
（1）
5
cos 2
2
y x
= −
（2） sin cos3y x x x= +
【答案】（1）奇函数；（2）偶函数
【解析】（1）依题意，
5
cos 2 sin 2
2
y x x
= − =
，故函数
5
cos 2
2
y x
= −
为奇函数.
（2）令 ( ) sin cos3x xf x x+= ，函数的定义域为R ，且 ( ) ( )sin cos3f x x x x f x− = + = ，故函
数为偶函数.
4
能力提升
9．设 cos
12
a
= ，
41
sin
6
b
= ，
7
cos
4
c
= ，则（ ）
A. a c b B. c b a
C. c a b D.b c a
【答案】A
【解析】
41 5 5
b sin sin 6 sin sin cos
6 6 6 6 3
= = + = = =
,
7
c cos cos
4 4
= =
因为
3 4 12
，且 y cos 0 ,
2
x
= 在（ ， ）是单调递减函数，所以a c b ，故选 A
10．函数 sin 2 ( )
3
y x R
= + −
为偶函数，则 | | 的最小值为__________．
【答案】
6
【解析】因为函数 sin 2 ( )
3
y x R
= + −
为偶函数，所以 ( )
3 2
k k
− = + Z ，
5
( )
6
k k
= + Z∴ ， min| |
6
=∴
故答案为：
6
11．函数 ( ) sin 2 , [0, ]
3
f x x x
= −
的单调递减区间为_______________.
【答案】
5 11
0, , ,
12 12
【解析】依题意 ( )
π
sin 2
3
f x x
= − −
，对于函数
π
sin 2
3
y x
= −
，由
π π π
2 π 2 2 π
2 3 2
k x k− − + ，
解得
π 5π
π π
12 12
k x k− + ，令 0,1k = ，得到函数
π
sin 2
3
y x
= −
区间 0,π 上的单调递增区间为
5π
0,
12
和
11π
,π
12
.也即求得 ( )
π
sin 2
3
f x x
= − −
的单调递减区间为
5π
0,
12
和
11π
,π
12
.
故填：
5 11
0, , ,
12 12
.
5
12．已知函数 ( ) 2 cos 2
4
f x x
= −
.
（Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调区间；
（Ⅱ）求函数 ( )f x 在区间[ , ]
8 2
− 上的最小值和最大值.
【答案】（Ⅰ） ( )f x 的递调递增区间为
3
,
8 8
k k
− +
， k Z ；单调递减区间为
5
,
8 8
k k
+ +
， k Z .（Ⅱ）最小值和最大值分别为-1， 2 .
【解析】（Ⅰ）令2 2 2
4
k x k
− − ， k Z ，得
3
8 8
k x k
− + ， k Z ，
令 2 2 2
4
k x k
− + ， k Z ，得
5
8 8
k x k
+ + ， k Z ，
故函数 ( )f x 的递调递增区间为
3
,
8 8
k k
− +
，k Z ；单调递减区间为
5
,
8 8
k k
+ +
，
k Z .
（Ⅱ）当 ,
8 2
x
−
时，
3
2 ,
4 2 4
x
− −
，
∴当2 0
4
x
− = ，即
8
x
= 时， ( )f x 取得最大值， max( ) 2f x = ，
当
3
2
4 4
x
− = ，即
2
x
= 时， ( )f x 取得最小值， min
3
( ) 2 cos 1
4
f x
= = − ，
∴函数 ( )f x 在区间 ,
8 2
−
上的最小值和最大值分别为-1， 2 .
素养达成
13．已知关于 x 的方程 ( )22cos sin 0x x a+ − + = 有实数解，求实数a 的取值范围．
【答案】
17
,1
8
−
【解析】由 ( )22cos sin 0x x a+ − + = ，得 22cos sin 0x x a− + = ，即 22sin sin 2 0x x a+ − − = ．
令 sin x t= （ 1 1t− ），则关于 t 的方程 22 2 0t t a+ − − = 在区间 1,1− 上有实数解．
6
则
2
2 1 17
2 2 2
4 8
a t t t
= + − = + −
，因为
17
1,1 1
8
t a − −
故实数a 的取值范围是
17
,1
8
−
．
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