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人教A版（2019）必修一同步练习题5.8 章末复习课(1)

2021-06-25
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章末复习课 [网络构建] [核心归纳] 1.任意角与弧度制 (1)与角 α 终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}. (2)角度与弧度的互化：1°＝ π 180 rad，1 rad＝( 180 π )°. (3)弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S＝ 1 2 lr＝ 1 2 |α|r2. 2.任意角的三角函数设任意角 α 的终边上任意一点 P(x，y)，r＝ x2＋y2，则 sin α＝ y r ，cos α＝ x r ，tan α ＝ y x (x≠0). 3.同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1； sin α cos α ＝tan α. 4.诱导公式 (1)记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. (2)功能：将 k· π 2 ±α(k∈Z)的三角函数值化为 α 的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用. 5.三角函数的图象 (1)正弦曲线： (2)余弦曲线： (3)正切曲线： 6.三角函数的性质(表中 k∈Z) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定义域 R R {x|x∈R，且 x≠ π 2 ＋ kπ} 单调性增区间：[－ π 2 ＋ 2kπ， π 2 ＋2kπ]，减区间：[ π 2 ＋ 2kπ， 3π 2 ＋2kπ] 增区间：[－π＋ 2kπ，2kπ]，减区间：[2kπ， π＋2kπ] 增区间：(－ π 2 ＋kπ， π 2 ＋kπ) 周期性 2π 2π π 图象的对称轴 x＝ π 2 ＋kπ x＝kπ 无图象的对称中心 (kπ，0) ( π 2 ＋kπ，0) ( 1 2 kπ，0) 7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α±β)＝cos αcos β sin αsin β sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan(α±β)＝ tan α±tan β 1 tan αtan β 8.倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α 9.辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)(其中 φ为辅助角且 tan φ＝ b a )(或 asin x＋bcos x ＝ a2＋b2cos(x－φ)，tan φ＝ a b ) 要点一任意角三角函数的定义利用定义求三角函数值的两种方法： (1)先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值. (2)取角 α 的终边上任意一点 P(a，b)(原点除外)，则对应的角 α 的正弦值 sin α＝ b a2＋b2 ，余弦值 cos α＝ a a2＋b2 ，正切值 tan α＝ b a .当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 【例 1】已知角 α 的终边经过点 P(3m－9，m＋2). (1)若 m＝2，求 5sin α＋3tan α 的值； (2)若 cos α≤0，且 sin α>0，求实数 m 的取值范围. 解 (1)若 m＝2，则 P(－3，4)，所以 x＝－3，y＝4，r＝5，所以 sin α＝ 4 5 ，cos α＝－ 3 5 ，tan α＝－ 4 3 ，故 5sin α＋3tan α＝5× 4 5 ＋3×      － 4 3 ＝4－4＝0. (2)由题意知，cos α＝ x r ≤0，sin α＝ y r >0，即 x≤0，y>0，所以   3m－9≤0， m＋2>0，所以－20，∴m2＝ 1 4 ，∴m＝ 1 2 .故选 B. 答案 B 要点二同角三角函数基本关系式的应用同角三角函数基本关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现 α 的正弦、余弦的转化，利用 sin α cos α ＝tan α 可以实现角 α 弦切互化. (2)关系式的逆用与变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α， (sin α＋cos α)2＝(sin α－cos α)2＋4sin αcos α. (3)sin α，cos α 的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 sin α，cos α 的齐次式或含有 sin2α，cos2α 及 sin αcos α 的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解. 【例 2】 (1)已知 tan α＝ 1 2 ，α∈       0， π 2 ，则 sin α－cos α＝________. 解析因为 tan α＝ 1 2 ＝ sin α cos α ，由   sin α cos α ＝ 1 2 ， sin2α＋cos2α＝1，解得   sin α＝ 5 5 ， cos α＝ 2 5 5 ，所以 sin α－cos α＝ 5 5 － 2 5 5 ＝－ 5 5 . 答案－ 5 5 (2)已知 α 是三角形的内角，且 sin α＋cos α＝ 1 5 . ①求 tan α 的值； ②把 1 cos2α－sin2α 用 tan α 表示出来，并求其值. 解 ①由 sin α＋cos α＝ 1 5 ，得 1＋2sin αcos α＝ 1 25 ，所以 sin αcos α＝－ 12 25 ，因为 α是三角形的内角，所以 sin α>0，cos α 查看更多

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