资料简介
高二理科数学下学期期末考试
数 学 试 题（理科）
（本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分．答题时间 1， 满分 1）
第Ⅰ卷（选择题，共 48 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分．每小题给出的 4 个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．复数 3
1
iz i
等于 （ ）
A． i21 B． i21 C． i2 D． i2
2．如果复数 )2)(1( ibi 是纯虚数，则
bi
ib
1
32 的值为 （ ）
A． 2 B． 5 C．5 D．15
3．已知函数 1 xy ，则它的导函数是 （ ）
A． 12
1/ xy B．
)1(2
1/
x
xy
C．
1
12/
x
xy D．
)1(2
1/
x
xy
4． dxex x )(cos
0
（ ）
A．1 e B．1 e C． e D． 1e
5．如图，平行四边形 ABCD 中，G 是 BC 延长线上一点， AG 与
BD 交于点 E，与 DC 交于点 F，则图中相似三角形共 有（ ）
A．3 对 B．4 对
C．5 对 D．6 对
6．曲线 2 2 1x y 经过伸缩变换 T 得到曲线
'2 '2
116 9
x y ，那么直线 2 1 0x y 经过伸
缩变换 T 得到的直线方程为 （ ）
A． ' '2 3 6 0x y B． ' '4 6 1 0x y
C． ' '3 8 12 0x y D． ' '3 8 1 0x y
7．圆 5cos 5 3sin 的圆心坐标是 （ ）
A 4( 5, )3
B ( 5, )3
C (5, )3
D 5( 5, )3
8．在极坐标系中与圆 4sin 相切的一条直线的方程为 （ ）
A cos 2 B sin 2
C 4sin( )3
D 4sin( )3
9．设随即变量 服从正态分布 )1,0(N ， pP )1( ，则 )01( P 等于 （ ）
A． p2
1 B． p1 C． p21 D． p
2
1
10．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一
步或最后一步，程序 CB, 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 （ ）
A． 24 种 B．96 种 C．120种 D．144种
11．某盏吊灯上并联着 3 个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是 7.0 则
在这段时间内吊灯能照明的概率是 （ ）
A． 343.0 B． 833.0 C． 973.0 D． 029.1
12．已知 )(xf 是定义在 ),0( 上的非负可导函数，且满足 0)(/ xfxxf ，对任意正
数 ba, ，若 ba ，则必有 （ ）
A )()( abfbaf B )()( bafabf
C )()( bfaaf D )()( afbbf
第Ⅱ卷（非选择题，共 72 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．
13．函数 3 5 4 6y x x 的最大值是 ．
14．由曲线 2xy ， xy ， xy 3 所围成的图形面积为 ．
15．二项式 10)2
11( x
的展开式中含 5
1
x
的项的系数是 ．
16．已知函数 2,2,)( 23 xcbxaxxxf 表示过原点的曲线，且在 1x 处的切
线的倾斜角均为
4
3 ，有以下命题：
① )(xf 的解析式为 2,2,4)( 3 xxxxf ；
② )(xf 的极值点有且只有一个；
③ )(xf 的最大值与最小值之和等于零；
其中正确命题的序号为_ ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 56 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 8 分）设函数 )(xf lg(| 3| | 7 |)x x a ．
（1）当 1a 时，解关于 x 的不等式 0)( xf ；
（2）如果 Rx ， 0)( xf ，求 a 的取值范围．
18．（本小题满分 10 分）设 nnnf
n
11 ，其中 n 为正整数．
（1）求 )1(f ， )2(f ， )3(f 的值；
（2）猜想满足不等式 0)( nf 的正整数 n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．
19．（本小题满分 10 分）经过点
2
3,3A ，倾斜角为 的直线l ，与曲线C ：
sin5
cos5
y
x
（ 为参数）相交于 CB, 两点．
（1）写出直线l 的参数方程，并求当
6
时弦 BC 的长；
（2）当 A 恰为 BC 的中点时，求直线 BC 的方程；
（3）当 8BC 时，求直线 BC 的方程；
（4）当 变化时，求弦 BC 的中点的轨迹方程．
本小题满分 9 分）设在一个盒子中，放有标号分别为 1，2，3 的三张卡片，现从这个盒子中，
有放回地先后抽得两张卡片，标号分别记为 yx, ，设随机变量 xyx 2 ．
（1）写出 yx, 的可能取值，并求随机变量 的最大值；
（2）求事件“ 取得最大值”的概率；
（3）求 的分布列和数学期望与方差．
21．（本小题满分 9 分）如图，已知⊙ 1O 与⊙ 2O 外
切于点 P ， AB 是两圆的外公切线， A ， B 为切
点， AB 与 21OO 的延长线相交于点C ，延长 AP
交⊙ 2O 于 点 D ，点 E 在 AD 延长线上．
（1）求证： ABP 是直角三角形；
（2）若 AEAPACAB ，试判断 AC 与 EC 能否一定垂直？并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若 4AP ，
4
9PD ，求
AC
EC 的值．
D
B
E
CA
1O
2O
P
22．（本小题满分 10 分）已知函数 cbxxaxxf 44 ln)( )0( x 在 1x 处取得极值
c 3 ，其中 cba ,, 为常数．
（1）求 ba, 的值；
（2）讨论函数 )(xf 的单调区间；
（3）若对任意 0x ，不等式 02)( 2 cxf 恒成立，求 c 的取值范围．
（注意：本页不交，答案写到答题纸上）
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题 4 分，共 48 分）
1．C 2． B 3． B 4． A 5． D 6．C
7． A 8． A 9． D 10． B 11．C 12． A
二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）
13．5 14．
3
13 15．
8
63 16．①③
三、解答题（共 6 小题，共 56 分）
17．解：（1）当 1a 时，原不等式可变为| 3| | 7 | 10x x ，
可得其解集为{ | 3, 7}.x x x 或 ………………4 分
（2）因| 3| | 7 | 3 ( 7) | 10x x x x ｜ 对任意 x R 都成立．
∴ lg(| 3| | 7 |) lg10 1x x 对任何 x R 都成立．
∵ lg(| 3| | 7 |)x x a 解集为 R ．∴ 1a …………………………8 分
18．解：（1）
27
17)3(,2
1)2(,1)1( fff ………………3 分
（2）猜想： 0)11()(,3 nnnfn n ………………4 分
证明：①当 3n 时， 027
17)3( f 成立 ………………5 分
②假设当 kn ),3( *Nnn 时猜想正确，即 011
kkkf
k
∴ kk
k
11
由于 )1
11()11()1
11()1
11(1
11
1
kkkkk
kk
k
11)1
11( kk
kkkk ………………8 分
∴ 1)1
11( 1 kk
k ，即 0)1(1
111
1
kkkf
k
成立
由①②可知，对 0)11()(,3 nnnfn n 成立 ………………10 分
19．解：（1）l 的参数方程
sin2
3
cos3
ty
tx
（t 为参数）． …………1 分
曲线 C 化为： 2522 yx ，将直线参数方程的 yx, 代入，得
04
55)sincos2(32 tt
∵ 055)sincos2(9 2 恒成立， ………………3 分
∴方程必有相异两实根 21,tt ，且 )sincos2(321 tt ，
4
55
21 tt ．
∴ 55)sincos2(94)( 2
21
2
2121 ttttttBC
∴当
6
时， 3363372
1 BC ． ………………5 分
（2）由 A 为 BC 中点，可知 0)sincos2(321 tt ，
∴ 2tan ，
故直线 BC 的方程为 01524 yx ． ………………7 分
（3）∵ 8BC ，得 855)sincos2(9 2 BC
∴ 0cos3cossin4 2 ,
∴ 0cos 或
4
3tan
故直线 BC 的方程为 3x 或 01543 yx ………………9 分
（4）∵ BC 中点对应参数
2
21 ttt )sincos2(2
3
∴
sin)sincos2(2
3
2
3
cos)sincos2(2
33
y
x
（ 参数 ,0 ），消去 ，得
弦 BC 的中点的轨迹方程为
16
45)4
3()2
3( 22 yx ；
轨迹是以 )4
3,2
3( 为圆心，
4
53 为半径的圆． ………………10 分
：（1） yx, 的可能取值都为 1，2，3．
2,12 xyx ，∴ 3 ，
∴当 3,1 yx 或 1,3 yx 时， 取最大值3 ． ………………3 分
（2）有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数 933 n ，
∴
9
2)3( P ……………………………4 分
（3） 的所有取值为 0，1，2，3，
当 0 时，只有 2,2 yx 这 1 种情况，∴
9
1)0( P ；
当 1 时，只有 1,1 yx 或 1,2 yx 或 3,2 yx 或 3,3 yx ，
共 4 种情况，∴
9
4)1( P ；
当 2 时，只有 2,32,1 yxyx 或 这 2 种情况，∴
9
2)2( P ；
当 3 时，
9
2)3( P ； ………………7 分
∴ 随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
P
9
1
9
2
9
4
9
2
∴ 数学期望
9
14
9
239
429
219
10 E
方差
9
8)9
143(9
2)9
142(9
4)9
141(9
2)9
140(9
1 2222 D ………9 分
21．解：（1）证明：过点 P 作两圆公切线 PN 交 AB 于 N ，由切线长定理得
NBNANP ，∴ PAB 为直角三角形 ………………3 分
（2） ECAC
证明：∵ AEAPACAB ，
∴
AC
AE
AP
AB ，又 EACPAB ，
∴ PAB ∽ CAE
∴ ,900 APBECA 即 ECAC ． ……………6 分
（3）由切割线定理， ADAPAB 2 ，
∴ ,3,5 PBAB ACECPAPB :4:3:
∴
4
3
AC
EC ． ………………9 分
22．解：（1） )4ln4()( 3/ baxaxxf ， 0)1( f ，
∴ 04 ba ，又 cf 3)1( ，
∴ 3,12 ba ； ………………5 分
（2） xxxf ln48)( 3/ （ )0x
∴由 0)(/ xf 得 1x ，
当 10 x 时， 0)(/ xf ， )(xf 单调递减；
当 1x 时， 0)(/ xf ， )(xf 单调递增；
∴ )(xf 单调递减区间为 )1,0( ，单调递增区间为 ),1( ……9 分
（3）由（2）可知， 1x 时， )(xf 取极小值也是最小值 cf 3)1( ，
依题意，只需 023 2 cc ，解得
2
3c 或 1c ………………10 分
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