资料简介
高中二年级春季期末检测
数学（理）
一、选择题：
1. 已知，Z 为虚数单位，计算土=(A )・
I
A. 1 — z B. 1 + z C. — 1 + z D. — 1 — /
2. 已知/(兀)=/+兀・ 2@是自然对数的底数),则函数/(x)的导数 f\x) = ( C ).
A. xex'1 - 2x'3 B. ex -x2 C."・ 2x-3 D. ex ・ x'2 In 2
3. 下 Ifli 使用类比推理，得到正确结论的是(C )
A. “若 a ・ 3 = 3 ・ a,则 a = 类推出“若 a ・ O = b ・ O,则 Q =
B•“若(a + b)c = Qc + bc ”类推出 “(a ・ b)c = ac ・ bc”
C. “若(Q + b)c = dc + bc” 类推出“£^2 = ^ + 2(CHO)”
C C C
D. a(ab)n =anbnff 类推出 “ @ + = a"+b" ”
4. 已知随机变量 X 服从正态分和 N(2, 32),且 m 0)在点尸(2,-2 仔)处的切方程；
(II )过点 F(l,0)的直线/交抛物线 y2=4x 于/、B 两点,直线人、化分别切该抛物线于/、B , l{ni2=Mt 求点 M 的
横坐标.
解(I) •/ f (x) = - J2px (p > 0), f\x)=--------------------- 墓
2Qx
所以切线的斜率为广(2)= -也
(II)设直线/的方程为“如 1,设碍,从碍小
12 分
12 分
・••所求切线方程为尹+ 2 你 乎(一 2),即尸-¥"3 莎
由方程组幼+ 1 得，夕 2_4 幼_4 = 0,・・・尹》二—4..................................................................
I y = 4x
因从与儿异号，不妨假定必＞0,儿 v°, 乂 ltt= DH«T2=55-5 X 32= 10, lty= jjiy-n7 y = 120-5 X 3 X 7.2= 12,
Z=1 Z=1
•【解】⑴列表计算如下
同理可求得以 B 为切点的 12 线方程是 y = +
y2 2
山两切线方程得—x + ^=—x + ^,解得 x = ^ = -l
尹 1 2 儿 2 4
所以点 M 的横处标是・ 1. ................................................................12 分
22.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号 1 1 2 3 4 5
储蓄存款只千亿元) 5 6 7 8 10
⑴求尹关于 t 的回归方程 y=b/+a；
(2)丿 IJ 所求回归方程预测该地区 2015 年(/=6)的人民币储蓄存
n ___
一齐 t y
• _ I
AAA A Z A —— A ——
附：回归方程 y=b+o 中，b— , a= y ~b t .
审一〃 t
i=\
由尹=2-x/x 得)/ = 1
石'
I 2
所以过点/的抛物线的切线厶斜率为-7^ =— 所以切线人的方程是
■
1 A X
1 1 5 1 5
2 2 6 4 12
3 3 7 9 21
4 4 8 16 32
5 5 10 25 50
15 36 55 120
1A 15, 亠 一 i 36 这屮.〃=5, t =7》"=〒=3, y =匚以：=〒=7.2.
z=l 」 /=1 」
A / 12 A —— A——
从而=p=1.2, a= y ~b t =7.2—1.2X3=3.6,
A
故所求冋归方程为夕=1.2/+36
A
（2）将/=6 代入|叫归方程可预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款为 p=1.2X6 + 3.6=10.8（千亿元）.
23. 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民主工程和产业建设工程三类，这 三
类工程所含项冃的个数分別占总数的 2,2,2,现在 3 名工人独立地从中任选一个项冃参与建设.
2 3 6
（I） 求他们选择的项冃所加类別互不和同的概率；
（II）记纟为 3 人屮选择的项目属于基础设施工程、民牛工程和产业建设工程的人数，求§的分布列及数学期望.
【解析】记第 i 名工人选择的项目屈于基础设施工程、民牛工程和产业建设工程分别为事件儿卢宀，口, 2,
3.由题意知 4 必相互独立, 也场相互独立，Ci C2C3 相互独立,4 卩,5 （i, j, k=i, 2, 3,且 j, j,
丄 _L _L
k 互不相同）相互独立,且 P （4）门,P （5,） = 3 , P （C«） = 6
他们选择的项 Fl 所加类別互不相同的概率
丄丄丄 1
P=3! P （”込。3）询（4）p（坊）p 宀）=62 3 6 = 6
⑵方法 1 设 3 名工人小选择的项目属于民生工程的人数为，由己知，-B （3, 3）,且子二 3 ・。
故§的分布是
§ 0 1 2 3
P 1 2 4 8
27 9 9 27
_1_ 2 4 _8_
g 的数学期望 E 以=0 27 +i 9 +2 9 +3 27 =2
方法 2 第 i 名工人选择的项日属于基础工程或产业工程分别为事件。,
P (二 3) =P (=0)=
2
9所以 P (^=0) =P (=3) =C3
i=l,2z3 ,由此已知，6 Dr 2 相互独立，且
j_ j_ 2 P (D| ) =p (« + G ) =p ( £ ) +p (G ) =2+6 = 3
故纟的分布列是
0 1 2 3
1 2 4 8
27 9 9 27
24. -人在如图所示景点中的圆环道路上散步.他在交叉路口偏左走的概率为-，偏右走的概率为丄(出口处不
2 2 算交叉路口).
(I) 求这个人路过的交义路口数最少且走出景点的概率；
(II) 这个人有 3 天散步路过的交叉路口都最少，§表示这个人这 3 天小相同的线路次数，求§的分布列和
数学期昭.
解：(I )由图可知，此人走出景点遇到的最少交叉路口数为 4,共分:①入口 =>向左=> 向左=> 向左=> 向左 =>
出口，②入口 =>向左二> 向右二> 向右=> 向左=> Hi □,③入口 =>向右二> 向左=> 向左二> 向右二> 出口，④
入 口 =>向右=> 向右=> 向右=> 向右=> 出口，一共 4 条线路.设此人选择这 4 条线路分别为事件/、B、C、D, 设
“此人遇到的交叉路口数为 4”为事件 E,则/、B、C、。互斥，且 E 二/ + B + C + D
由题意,P(A) = P(B) = P(C)= P(D) = (-)4 =—,
2 16
・・・ P(E) = P(A + B + C + D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 4x 丄二
16 4
答：这个人路过的交叉路口数最少且走出景点的概率为丄................................................................ 6 分
4
(II)由题意，f = 0,1,2, ......................................................................... 7 分
•••吐° 命 16
25. 椭圆 C：为+幻=1
@>b>0)的离心率为*,
其左焦点到点 P(2,l)的
距离为帧.
7 7 1
严丈既昭 KY(卅严 k =0」23 ・
6_
16 P("1) = C 訂 4x3
4x4x4
9_
16
P(§ = 2)= 4
4x4x4 16
・・・§的分布列为:
13 分
(1)求椭圆 C 的标准方程；
⑵若直线/： y=kx+m 与椭圆 C 相交于 B 两点(/, E 不是左，右顶点)，且以为直径的圆过椭圆 C 的右 顶点.求
证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.
解(1)・・•左焦点(・ c,0)到点 P(2,l)的距离为帧，
・・・ p(2 + c)2+ 1 二帧,解得 c= 1.
又 e = = |,解得 ° 二 2, .••d = 3,
X2 v2
・••所求椭圆 C 的方程为才+ '二 1 ・
⑵设 A(x} , yi) , B(X2 ,力),
得(3 + 4^2)X2 + Smkx + 4(m2 - 3) = 0 , A = 64/HV ・ 16(3 + 4 疋)(〃,・ 3)>0 , 整理得 3 + 4k2>m2.
-Sink 4(/n2 - 3)
9 2
y\y2 = (kx\ + m)(kx2 + m) = k^x\X2 + mk(x\ + %2)+ 〃厂二
•••以为直径的圆过椭圆的右顶点£)(2,0), ^AD^BD 二• ] , • • jq ■ 2X1 - 2 = - 1， ••JM + xix2 - 2(xi + 也)+
4 = 0 ,
3(m2 - 4A2) 4(/n2 - 3) 16rnk .,,、
3 + 4X 3 + 4 十 3 + 4 斥纤 u.
2 丘 整理得 7m2 + 16rnk + 4k? = 0 ,解得 m \ = - 2k , m2
二-〒.
且满足 3 + 4^2 - rn2>0
出〃?二-2&时,I \ y — k(x - 2),直线过疋点(2,0)与已知矛盾； 当加二・〒时，/:尹二 综上可知，直线/过定
点，定点坐标为,())
x
26. 己知 f(x)=—(幺是 H 然对数的底数),
(I)求/(兀)的单调区间： (II)若 fM-k 只有一个零点，求实数&的取值范围;
Ei____ V2
直线过定点
(专,())
(Ill)求证
当 xvl 时,/z(x) > 0, f(x)是单调递增,当 x>l 时，厂(兀)vO, / (兀)是单调递减.
所以/(X)的递增区间是(-00,1],递减区间是[1,4-00). .............................................................. 3 分
2 2k
(II)①当 k0
乂因为直线与椭圆、圆都相交，所以\\m\ 厂 ，解得 05 加 273,
nr -4 m_ _4 V in -4
若设/(卷”)裁花宀)，则西+花=-
于是| AB |=近• J(西+花尸一 4 与 Cj = 4J12-加丄
3
因此久=匸也
\CD\
二西乃
=
又圆心(0,0)到直线/的距离力
4J12-沪
3 丁 8-2 加
$
................................................................................................13 分
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