资料简介
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高二下学期数学期末考试复习（常考题型）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（题型注释）
1、圆 C ： 与圆 ： 位置关系是（ ）
A．内含 B, 内切 C .相交 D.外切
2、函数 的图象是（ ）
3、抛物线 上点 P 的纵坐标是 4，则其焦点 F 到点 P 的距离为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4、若函数 的图象过第一二三象限，则有（ ）
A． B． ,
C． , D．
5、已知奇函数 f (x)满足 f(x+3)＝f (x), 当 x∈[1，2]时，f (x)＝ －1 则
的值为
A．3 B．－3 C． D．
6、设 成等比数列，其公比为 2，则 的值为（ ）
A． B． C．
D．1
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7、数列{an}的通项公式是 ，若前 n 项和为 10，则项数 n 为（ ）
A．120 B．99 C．110 D．121
8、若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
9、有 5 名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么 5 名同学值
日顺序的编排方案共有
A．12 种 B．24 种 C．48 种 D．120 种
10、 为不重合的直线， 为不重合的平面，则下列说法正确的是（）
A． ，则
B． ，则
C． ，则
D． ，则
11、已知函数 ， ，当 时，方程
的根的个数是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
12、抛物线 的准线方程是（ ）
A．
B． C．
D．
13、已知 对任意 恒成立，则 a 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
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二、填空题（题型注释）
14、已知函数 ，若 时 恒成立，则实数 的取
值范围是 ．
15、已知直线 与曲线 相切于点 ，则实数 的值为
______．
16、 展开式中的常数项是 ．
17、若函数 有三个零点，则正数 的范围
是 .
三、解答题（题型注释）
18、（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 6 分，（Ⅱ）小问 6 分）已知向量
，且 .
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）设 的内角 的对边分别为 ， ，且
，求函数 的值域.
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19、（本小题满分 14 分）如图，已知四棱锥 的底面 是矩形， 、
分别是 、 的中点， 底面 ， ，
（1）求证： 平面
（2）求二面角 的余弦值
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20、如图，已知平面四边形 中， 为 的中点， ， ，
且 ．将此平面四边形 沿 折成直二面角 ，
连接 ，设 中点为 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，请确定点 的位
置；若不存在，请说明理由．
（3）求直线 与平面 所成角的正弦值．
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21、经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞
含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出 条作样本，经检测得各条
鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：
罗非鱼的汞含量（ppm）
《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过 ppm．
（1）检查人员从这 条鱼中，随机抽出 条，求 条中恰有 条汞含量超标的概率；
（2）若从这批数量很大的鱼中任选 条鱼，记 表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以
此 条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求 的分布列及数学期望
．
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22、已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半
轴长为半径的圆与直线 相切．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过点 (2，0)的直线与椭圆 相交于两点 ，设 为椭圆上一点，且满足
（ 为坐标原点），当 ＜ 时，求实数 取值范围．
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23、选修 4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知直线 过点 ，倾斜角 ，再以原点为极点， 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 分别交于 、 两点，求 的值．
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24、选修 4-4：坐标系与参数方程
已知圆 的极坐标方程为 ．以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角
坐标系，取相同单位长度（其中 ， ， ）．
（1）直线 过原点，且它的倾斜角 ，求 与圆 的交点 的极坐标（点 不是
坐标原点）；
（2）直线 过线段 中点 ，且直线 交圆 于 ， 两点，求 的最
大值．
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25、已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）求证： ，不等式 恒成立．
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26、已知函数 在 x=1 处的切线与直线
平行。
（Ⅰ）求 a 的值并讨论函数 y=f(x)在 上的单调性。
（Ⅱ）若函数 ( 为常数)有两个零点 ，
(1)求 m 的取值范围；
(2)求证： 。
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27、已知函数 .
(Ⅰ)若存在 使得 成立,求实数 的取值范围；
(Ⅱ)求证：当 时,在(1)的条件下, 成立．
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28、在 中，角 所对的边分别是 .
（1）求角 ；
（2）若 的中线 的长为 ，求 的面积的最大值.
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29、已知 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，其中 ，
．
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）若 边上的中线长为 ，求 的面积．
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30、已知正项数列 的前 项和 ,且满足 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)设 ,数列 的前 项和 ,证明： .
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31、已知数列 中， ， ．
（I）求证：数列 是等比数列；
（II）求数列 的前 项和为 ．
参考答案
1、A
2、B．
3、C
4、B
5、 A
6、A
7、A
8、A
9、B
10、D
11、B
12、D
13、A
14、 .
15、3
16、
17、
18、（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
19、（1）以 点为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴的空间直角坐标系，
如图所示．则依题意可知相关各点的坐标分别是： ， ， ，
， 如下图所
示．……………………………………………………… ……………………（2 分）
所以 点的坐标分别为
…………………………… ……………（3 分）
所以 ， ， ......................... （4
分）
因为 ，所以 ．......................... （6
分）
又因为 ，所以 ..............
（7 分）
所以 平面 ．.......................................................... （8 分）
（2）设平面 的法向量 ，则 ，........................
（9 分）
所以
即 ............................................................. （10 分）
所以
令 ，则
显然， 就是平面 的法向量．.................................. （11
分）
所以 ....................
（12 分）
由图形知，二面角 是钝角二面角........................................ （13
分）
所以二面角 的余弦值为 ．......................................... （14
分）
解：（1）取 的中点 ，连接 ，则
，又 ，所以四点 共面.
因为 ，且 .......... （2 分）]
所以 .
又因为 ，
所以 平面 ..................... （4 分）
所以
所以 平面 ................... （6 分）
易证
所以 平面 ．.................. （8 分）
（2）连接 ，则
所以 .............................................................. （9 分）
同（1）可证明 平面 .
所以 ，且平面 平面 .
明显 ，所以 ........................................... （10 分）
过 作 ，垂足为 ，则 平面 .
连接 ，则 ......................................................... （11 分）
因为 ，
所以 平面 ，
为二面角 平面角的补角. ....................................... （12
分）
在 中， ，所以 .
在 中，
所以 ........................................................... （13 分）
所以二面角 的余弦值为 ．......................................... （14
分）
20、（1）详见解析；（2）点 存在，且为线段 上靠近点 的一个四等分点；
（3） .
21、（1） ，（2）
0 1 2 3
22、（1） ；( Ⅱ) .
23、（1）曲线 C 的极坐标方程为ρ=3，曲线 C 的直角坐标方程 x2+y2=9（2）4
24、（1） ；（2） ．
25、（Ⅰ） 时， 在 上单调递增， 时，当 时， 在
单调递减．
在 单调递增；（Ⅱ）证明见解析．
26、（Ⅰ） ，函数 y=f(x)在 上单调递减; （Ⅱ）（1） ；（2）
见解析.
27、(Ⅰ) ； (Ⅱ)见解析．
28、（1） ；（2） .
29、（I） ；（II） .
30、(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析．
31、（I）详见解析；（II） .
【解析】
1、试题分析：圆 C ： 的圆心为 半径为 3，
圆 ： 的圆心为 ，半径为 1，两个圆心的距离为
所以两个圆内含.
考点：本小题主要考查两个圆的位置关系的判断.
点评：判断两个圆的位置关系，只需要将两个圆的圆心距和两个圆的半径的和与差的关系
即可.
2、试题分析：因为 ,故答案为 ．
考点：分段函数的图像．
3、试题分析：依题意可知抛物线化为抛 ，抛物线的准线方程为 y=-1，∴点 P
到准线的距离为 4+1=5，
根据抛物线的定义可知点 P 与抛物线焦点的距离就是点 P 与抛物线准线的距离，∴点 A
与抛物线焦点的距离为 5
考点：抛物线的简单性质
4、试题分析：函数 的图象过第一二三象限，结合指数函数的图
象，可以得知 ， .
考点：本小题主要考查指数函数的图象和图象的平移，考查学生数学结合数学思想的应用.
点评：函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则.
5、略
6、试题分析：根据题意，由于设 成等比数列，其公比为 2，则
，因此可知 ,故选 A.
考点：等比数列
点评：解决该试题的关键是利用等比数列的性质来得到整体之间的关系，进而得到结论，
运用公比表示，属于基础题。
7、试题分析：由题意知， ，所以
，解得 ，故选 A．
考点：1、数列求和；2、裂项相消法．
【方法点晴】本题主要考查数列求和的方法，属于中档题．由于数列通项
是分式且含有根号，因此采用分母有理化的策略，然后相加相消的方法
求前 项和，注意裂项相消时，消去项及保留项，从而求解．
8、试题分析：
,故选 A．
考点：1、二倍角的余弦公式；2、诱导公式的应用．
9、分析：由题意知，先安排甲有 1 种安排方法，由于其余四人没有限制，故是一个全排
列，由乘法原理求出结果．
解答：解：由题设知本题是一个分步计数问题，
先安排甲，有 1 种安排方法，
由于其余四人没有限制，
故是一个全排列
n=A44=24，
故选 B．
10、试题分析： 时 可平行，可相交，可异面； 时 可平
行，可相交； 时 可平行，可相交，可异面； 时 ，所以
选 D.
考点：线面关系
11、试题分析：由题意得，函数 在 上是奇函数且是反比例函
数， 在 上是奇函数，则
，所以 在 上是减函数，在
上是增函数，在 上是减函数，且 ， ， ，
，所以作出函数 与 在 上的图像，如图所示，结合
图像可知，共有 6 个交点.
故选 B.
考点：根的存在性及根的个数的判断；函数的图像.
12、试题分析：抛物线方程变形为 ，准线为
考点：抛物线方程及性质
13、试题分析：令 ，则 ，在 上
，在 上 ，因此， 在 x=1 处取极小值，也是最小值，即
，∴ ．故选：A．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
14、试题解析：依题由 且 即 且 ，
可得 ，故应填入 .
考点：1.不等式恒成立问题；2.转化与化归思想应用.
15、试题分析：因为 ，由导数几何意义知 ，又
考点：导数几何意义
16、试题分析： 展开式的通项为 ，令
，得 ，所以展开式中的常数项是 ．
考点：二项展开式．
17、试题分析： ，于是函数 在 单
调递增，在 单调递减，在 单调递增，函数 有三个零点，等价于函
数 与 轴有三个交点，于是 ，又 ，
综上：正数 的取值范围是： .
考点：1.函数的单调性与导数；2.函数的零点.
18、试题分析：（Ⅰ）由 得： ，而
将其化为关于 的表达式，然后可求值；
（Ⅱ）首先根据正弦定理，结合条件 得： .从而有
另一方面， ，于是可利用
，结合正弦函数的性质求函数 的值域.
试题解析：解：（Ⅰ）若 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以
6 分
（Ⅱ） 中，
又 得： ，因为 ，所以 .则 .
又 .
所以
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即函数 的值域为 . 12 分
考点：1、平面向量及其数量积；2、三角函数的性质及恒等变换.
19、略
20、试题分析：（1）分别证明 ， 即可；（2）方法一：先以 为
原点， 分别为 轴，建立直角坐标系，写出各点坐标 ，
， ， ， 为 中点，故 ，设点 ，利用
平面 得 ，据此可解出 ；方法二：作
交 于 ，注意到 ，故 与 相似，因此
，于是得 ；（3）方法一：由于 ，即 为平
面 的法向量， ， ，要求直线 与平面 所
成角的正弦值，记直线 与平面 所成角为 ，根据直线与面的夹角正弦正好等于
直线与面的法向量的夹角余弦的绝对值，则知 ，故只需计算
即可，利用余弦公式有 ，故
；方法二：由于 ，所以可以转而考虑 与平面 所成角，为
此需要找到 在平面 内的投影，此投影与 所成角即为线面夹角，然后求 与
平面 所成角的正弦，于是在 中作 ，而平面 平面
，由此 平面 ， 即为 在平面 内的投影， 就等于直
线 与平面 所成角， ，
在 中， ， ，
故 .
试题解析：（1）直二面角 的平面角为 ，又 ，
则 平面 ，所以 ．
又在平面四边形 中，由已知数据易得 ，而 ，
故 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 （4 分）
（2）解法一：由（1）的分析易知， ，则以 为原点建
立空间直角坐标系如图所示．
结合已知数据可得 ， ， ， ，
则 中点 .
平面 ，故可设 ，
则 ，
平面 ， ，
又 ，
由此解得 ，即 ，
易知这样的点 存在，且为线段 上靠近点 的一个四等分点； （8 分）
解法二：（略解）如图所示，
在 中作 ，交 于 ，
因为平面 平面 ，则有 平面 ．
在 中，结合已知数据，利用三角形相似等知识可以求得 ，
故知所求点 存在，且为线段 上靠近点 的一个四等分点； ..（8 分）
（3）解法一：由（2） 是平面 的一个法向量，又
，
则得 ，所以 ，
记直线 与平面 所成角为 ，则知 ，
故所求角的正弦值为 . ..（12 分）
解法二：（略解）如上图中，因为 ，所以直线 与平面 所成角等于直线
与平面 所成角，由此，在 中作 于 ，易证 平面
，
连接 ，则 为直线 与平面 所成角，
结合题目数据可求得 ，故所求角的正弦值为 . ..（12 分）
考点：1、线面垂直、面面垂直的证法；2、线面角的求法；3、空间向量的应用.
21、试题分析：（1）古典概型求概率问题，需正确计数.从这 条鱼中，随机抽出
条，共有 种基本事件; 条中恰有 条汞含量超标事件就是从 5 条汞含量超标中选出
1 条，且从 10 条汞含量不超标中选出 2 条，即包含 种基本事件,因此所求概率为
.（2）从这批数量很大的鱼中任选 条鱼，可以看作 3 次独立重复试
验，每次选出汞含量超标的概率按以此 条鱼的样本数据来估计，即为 ，
因此
试题解析：解：（1）记“ 条鱼中任选 条恰好有 条鱼汞含量超标”为事件 ，则
，
条鱼中任选 条恰好有 条鱼汞含量超标的概率为 . 4 分
（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 ， 5 分
可能取 ， ， ， 6 分
则 ， ，
， ．10 分
其分布列如下：
0 1 2 3
12 分
所以 . 13 分
考点：古典概型求概率，概率分布，数学期望
22、试题分析：（1）由题意知 ，所以 ．由此能求出
椭圆 C 的方程．（2）由题意知直线 AB 的斜率存在．设 AB：y=k（x-2），A（x1，
y1），B（x2，y2），P（x，y），由 得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-
2=0 再由根的判别式和嘏达定理进行求解．
解：（1）由题意知 ， 所以 ．
即 ． 2 分
又因为 ，所以 ， ．
故椭圆 的方程为 ． 4 分
（2）由题意知直线 的斜率存在.
设 ： ， ， ， ，
由 得 .
， . 6 分
， .
∵ ，∴ ， ，
.
∵点 在椭圆上，∴ ，
∴ . 8 分
∵ ＜ ，∴ ，∴
∴ ，
∴ ，∴ . 10 分
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ 或 ，∴实数 t 取值范围为 ．（12
分）
考点：1. 椭圆的方程；2.直线与椭圆的方程.
23、试题分析：（Ⅰ）由题意可得直线 l 的参数方程： （t 为参数），曲
线 C 的极坐标方程为ρ=3，利用 即可得出曲线 C 的直角坐标方
程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入 ，得 ，利用直线参数
方程中参数 t 的几何意义可得|PM|•|PN|=| |即可得出
试题解析：（4-2 极坐标）（1）直线 的参数方程： （ 为参
数）， 3 分
曲线 C 的极坐标方程为ρ=3，可得曲线 C 的直角坐标方程 x2+y2=9 5 分
（2）将直线的参数方程代入 x2+y2=9，得 ， 7 分
设上述方程的两根为 t1，t2，则 t1t2=﹣4 8 分
由直线参数方程中参数 t 的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|=4． 10 分
考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程
24、试题分析：（1）首先根据条件求得直线 上的点的极角，然后代入圆的极坐标方程
即可求得点 的极坐标；（2）首先求得 的直角坐标和圆的直角坐标方程，然后将直线
的参数方程代入圆的直角坐标方程中，从而利用参数的几何意义求解．
试题解析：（1） 直线 的倾斜角 ， 直线 上的点的极角 或 ，
代入圆 的极坐标方程为 得 或 （舍去），
直线 与圆 的交点 的极坐标为： ．
（2）由（1）知线段 的中点 的极坐标为 ，
的直角坐标为 ，
又圆 的极坐标方程为 ，
圆 的直角坐标方程 ．
设直线 的参数方程为 （ 为参数），
代入 得 ，
．
设 ， 点的参数分别为 ， ，则 ， ，
，
，此时直线 的倾斜角 ．
考点：1、直角坐标与极坐标的互化；2、直线的参数方程．
25、试题分析：（Ⅰ）要讨论单调性，首先求得导数 ，接着研究
的正负，为此按 的正负分类；（Ⅱ）要证的不等式，可等价转化为
，这样我们可设 ，进而去求
的最小值，由于 ，由（Ⅰ）的证明知， （在
（Ⅰ）中当 时的情形），从而得 单调性，完成证明．
试题解析：（Ⅰ） 的定义域为 ，
①若 ， 在 上单调递增
②若 ，当 时， ， 在 单调递减．
当 时， ， 在 单调递增．
（Ⅱ） 等价于
令 ，则
由（Ⅰ）知，当 时 ， ，即 .
所以 ，则 在 上单调递增，所以
即
考点：利用导数研究函数的单调性、极值、最值及分类讨论、转化与化归的数学思想．
【名师点睛】用导数研究函数的单调性有两种方法：
1．确定定义域，求出导数 ，解不等式 确定增区间，解不等式
确定减区间；
2．确定定义域，求出导数 ，解方程 ，此方程的解把定义域分段，然后列
表表示 的符号与 的单调性．
26、试题分析：（Ⅰ）求导数，由在 x=1 处的切线知 ，即可求 a 的值，根据导数
讨论单调性即可；
（Ⅱ）由函数有两个零点结合（Ⅰ）可知 ，由
，构造 ，求导证明.
试题解析：
（Ⅰ）
，令 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，所以 时，
，即 时， ，
所以函数 y=f(x)在 上单调递减。
（Ⅱ） (1)由条件可知， ，
在, ，
要使函数有两个零点，则 2m
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