资料简介
高二数学下学期期末模拟试题
本试卷满分 150 分，答题时间 120 分钟
姓名 班级 分数
一．选择题：（每小题 5 分，共 50 分）
1．设 a、b、c 是三个实数，那么“a>b”是“ 22 bcac ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设向量 , ,a b c
不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（ ）
A． , ,a b a b a
B． , ,a b a b b
C． , ,a b a b c
D． , ,a b c a b c
3．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
A．
9
1 B．
12
1 C．
15
1 D．
18
1
4．当 x∈ R 时，可得到不 等 式 x＋
x
1 2，x＋ 22
4
22
4
x
xx
x
3，由 此可推广为 x＋ nx
P n
＋1，其中 P 等于( )
A． nn B． nn )1( C． 1nn D． nx
5．已知两定点 2,0 , 1,0A B ，如果动点 P 满足 2PA PB ，则点 P 的轨迹所包围的图形
的面积等于（ ）
A． B． 4 C．8 D．9
6．将 1，2，3，…，9 这 9 个数字填在如图中的 9 个空格中，要求每一行从左到右，
每一列从上到下依次增大．当 3，4 固定在图中位置时，填写空格的方法种数是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
7．如图，正方体 AC1 的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H．则以下命题中，
错误．．的命题是（ ）
A．点 H 是△A1BD 的垂心
B．AH 垂直平面 CB1D1
C．AH 的延长线经过点 C1
D．直线 AH 和 BB1 所成角为 45°
8．已知集合 ZxxxP ,81| ，直线 12 xy 与双曲线 122 nymx 有且只有一个公
3
4
共点，其中 Pnm , ，则满足上述条件的双曲线共有（ ）
A．2 条 B．3 条 C．4 条 D．以上答案都不对
9．如果 ∥ ，AB 与 AC 是夹在平面 与 之间的两条线段， AB AC 且 2AB ，直线 AB
与平面 所成的角为30 ，那么线段 AC 长的取值范围是（ ）
A． 2 3 4 3,3 3
B． 1, C． 2 31, 3
D． 2 3 ,3
10．设椭圆 )0(12
2
2
2
＞＞ba
b
y
a
x 的离心率为 e＝
2
1 ，右焦点为 F(c，0)，方程 ax2＋bx－c＝0
的两个实根分别为 x1 和 x2，则点 P (x1，x2) 的位置（ ）
A．必在圆 x2＋y2＝2 内 B．必在圆 x2＋y2＝2 上
C．必在圆 x2＋y2＝2 外 D．以上三种情形都有可能
答 题 卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二．填空题：（每小题 5 分，共 25 分）
11．用一张长宽分别为 8cm、4cm 的矩形硬纸板折成正四棱柱侧面，则四棱柱的对角线长
为___ _ cm
12．已知点 P(x, y)的坐标满足条件
1
4
x
xy
yx
，点 O 为坐标原点，那么|PO|的最小值等于
_________，最大值等于____________。
13．过抛物线 2 2 ( 0)x py p 的焦点 F 作倾角为30 的直线，与抛物线分别交于 A 、B 两点（ A
在 y 轴左侧），则 AF
FB
。
14．一个类似于杨辉三角的三角形数组（如下图）满足：（1）第 1 行只有 1 个数 1；
（2）当 n≥2 时，第 n 行首尾两数均为 n; (3)当 n>2 时，中间各数都等于它肩上两数之和，则第
n 行（n≥2）第 2 个数是______________ _。
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
…………………………………………………………
15．已知 O 为异面直线 a、b 外任一点，给出下列命题：
①过点 O 可以作一条直线与 a、b 都相交； ②过点 O 可以作一个平面与 a、b 都平行；③过
点 O 可以作一条直线与 a、b 都垂直； ④过点 O 可以作一个平面与 a、b 都垂直。
其中真命题的编号是 （写出所有正确命题的编号）。
三．解答题：
16．（本小题满分 12 分）已知函数
12
1
)( 2c
x
cx
xf )1(
)0(
xc
cx ,且
8
9)( 2 cf ．
（1）求常数 c 的值；（2）解不等式 18
2)( xf 。
17．（本小题满分 12 分）在 1，2，3，，…，30，这 30 个数中。（1）每次取互不相等的 2 个数，
使其积为 7 的倍数，有多少种取法？(2）每次取互不相等的 3 个数，使其和是 4 的倍数，有多少
种取法？
18．（本小题满分 12 分）四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC 底面
ABCD ．已知 45ABC ∠ ， 2AB ， 2 2BC ， 3SA SB ．（Ⅰ）证明 SA BC ；（Ⅱ）
求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小．
19．（本小题满分 12 分）如图，设 ABCDEF 为正六边形，一只青
蛙从顶点 A 开始随机跳动，每次随机地跳到与它所在顶点相邻的
两顶点之一，每次按顺时针方向跳动的概率为
3
2 ．
(1)求青蛙从 A 点开始经过 3 次跳动所处的位置为 D 点概率；
(2)求青蛙从 A 点开始经过 4 次跳动所处的位置为 E 点概率．
A
B C
D
F E
D
BC
A
S
20．（本小题满分 13 分）如图，正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的所有棱长都为 2 ，D 为 1CC 中点 （Ⅰ）
求 证 ： 1AB ⊥ 平 面 1A BD ；（ Ⅱ ） 求 二 面 角
1A A D B 的大小；（Ⅲ）求点C 到平面 1A BD 的
距离
21．（本小题满分 14 分）已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 6
3
，短轴一个端点到右焦
点的距离为 3 ．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于 A B， 两点，坐标原点O 到
直线 l 的距离为 3
2
，求 AOB△ 面积的最大值．
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
湖北省安陆一中高二下学期期末模拟试题参考答案
一．选择题：（每小题 5 分，共 50 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A B A D C D A
二．填空题：（每小题 5 分，共 25 分）
11． 2 6 66或 12． 2, 10 13．
3
1 14． ( 1) 12
n n 15．③
三．解答题：
16．解：（1）因为 10 c 所以 10 2 cc 又由于
8
9)( 2 cf 。所以
8
912 cc 可得
2
1c
（2）由（1）知
)12
1(12
)2
10(12
1
)(
4 ＜
＜＜
x
xx
xf
x
当
2
10 x 时，
4
218
212
1 xx ，因为
2
1
4
2 ，所以 2 1
4 2x
当 12
1 x 时，
8
518
212 4 xx ，所以
8
5
2
1 x
综上得不等式的解集为 2 5| 4 8x x
17．解：（1）被 7 整除的数有 7，14，21，28 四个，不被 7 整除的有 26 个，满足题意的取法共
有 2 1 1
4 4 26C C C ＝6+104=110
（2）记 iA 表示被 4 除余i 的数组成的集合（i ＝0，1，2，3）
}28,24,20,16,12,8,4{0 A 共有 7 个元素， }29,25,21,17,13,9,5,1{1 A 共有 8 个元素
}30,26,22,18,14,10,6,2{2 A 共有 8 个元素， }27,23,19,15,11,7,3{3 A 共有 7 个元素
满足题意的取法：1、在 0A 中取 3 个，有 3
7C ＝35 种。
2、在 0A 中取 1 个、 2A 中取 2 个，有 2
8
1
7CC ＝196 种。
3、在 0A 中取 1 个、 1A 和 3A 中各取 1 个，有 1
7
1
8
1
7 CCC ＝392 种。
4、在 1A 中取 2 个、 2A 中取 1 个，有 1
8
2
8 CC ＝224 种
5、在 2A 中取 1 个、 3A 中取 2 个，有 2
7
1
8CC ＝168 种。故共有 1015 种取法。
18．解：（Ⅰ）作 SO BC⊥ ，垂足为O ，连结 AO ，由侧面 SBC ⊥底面 ABCD ，得 SO⊥底面
ABCD ．因为 SA SB ，所以 AO BO ，又 45ABC ∠ ，故 AOB△ 为等腰直角三角形，
AO BO⊥ ，由三垂线定理，得 SA BC⊥ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 SA BC⊥ ，依题设 AD BC∥ ，
故 SA AD⊥ ，由 2 2AD BC ， 3SA ， 2AO ，得 1SO ， 11SD ．
SAB△ 的 面 积
2
2
1
1 1 22 2S AB SA AB ．连结 DB ，
得 DAB△ 的面积 2
1 sin135 22S AB AD
设 D 到 平 面 SAB 的 距 离 为 h ， 由 于
D SAB S ABDV V ，得
1 2
1 1
3 3h S SO S ，解得 2h ．
设 SD 与平面 SAB 所成角为 ，则
2 22sin 1111
h
SD
．所以，直线 SD 与平面 SBC 所成的我为 22arcsin 11
．
解法二：（Ⅰ）作 SO BC⊥ ，垂足为 O ，连结 AO ，
由 侧 面 SBC ⊥ 底 面 ABCD ， 得 SO⊥ 平 面
ABCD ． 因 为 SA SB ， 所 以 AO BO ． 又
45ABC ∠ ， AOB△ 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，
AO OB⊥ ．如图，以O 为坐标原点，OA 为 x 轴正
向 ， 建 立 直 角 坐 标 系 O xyz ， ( 2 0 0)A ，， ，
(0 2 0)B ， ， ， (0 2 0)C ， ， ， (0 01)S ，， ，
( 2 0 1)SA ，， ， (0 2 2 0)CB ， ， ， 0SA CB
，所以 SA BC⊥ ．
（Ⅱ）取 AB 中点 E ， 2 2 02 2E
， ， ，连结 SE ，取 SE 中点G ，连结 OG ， 2 2 1
4 4 2G
， ， ．
O
D
BC
A
S
D
B
C
A
S
O E
G
y
x
z
2 2 1
4 4 2OG
， ， ， 2 2 12 2SE
， ， ， ( 2 2 0)AB ， ， ． 0SE OG ， 0AB OG ，
OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE ， AB 垂直．所以OG 平面 SAB ，OG 与 DS 的夹角记为
， SD 与平面 SAB 所成的角记为 ，则 与 互余． ( 2 2 2 0)D ， ， ， ( 2 2 21)DS ， ， ．
22cos 11
OG DS
OG DS
， 22sin 11
，
所以，直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 22arcsin 11
．
19．解：设青蛙顺时针跳动 1 次为事件 A，逆时针跳动 1 次为事件 B，则， P(A)＝
3
2 ，P(B)
＝1－P(A)＝
3
1 。
青蛙从 A 点开始经过 3 次跳动到达 D 点有两种方式：顺时针跳动 3 次或逆时针跳动 3 次，故
所求概率为 P(A·A·A)＋P(B·B·B)＝
3
1)3
1()3
2( 33
(2)青蛙从 A 点开始经过 4 次跳动到达 E 点有两种方式：逆时针跳动 4 次，或顺时针跳动 3
次而逆时针跳动 1 次，逆时针跳动 4 次的概率为 4)3
1( ，顺时针跳动 3 次而逆时针跳动 1 次的概
率为 )3
1()3
2( 33
4C 。故所求概率为
27
11)3
1()3
2()3
1( 33
4
4 C ．
20．解法一：（Ⅰ）取 BC 中点O ，连结 AO
ABC△ 为正三角形， AO BC ⊥
正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，平面 ABC ⊥平面 1 1BCC B ，
AO ⊥ 平面 1 1BCC B 连结 1B O ，在正方形 1 1BB C C 中，
O D， 分别为 1BC CC， 的中点， 1B O BD ⊥ ， 1AB BD ⊥
在正方形 1 1ABB A 中， 1 1AB A B⊥ ， 1AB ⊥平面 1A BD
（Ⅱ）设 1AB 与 1A B 交于点G ，在平面 1A BD 中，作 1GF A D⊥ 于 F ，连结 AF ，由（Ⅰ）得 1AB ⊥
平面 1A BD
1AF A D ⊥ ， AFG∠ 为二面角 1A A D B 的平面角
在 1AA D△ 中，由等面积法可求得 4 5
5AF ，又 1
1 22AG AB ，
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
F
G
o
2 10sin 44 5
5
AGAFG AF
∠ 所以二面角 1A A D B 的大小为 10arcsin 4
（Ⅲ） 1A BD△ 中，
11 15 2 2 6A BDBD A D A B S △， ， ， 1BCDS △ 在正三棱柱中，
1A 到平面 1 1BCC B 的距离为 3 设点C 到平面 1A BD 的距离为 d
由
1 1A BCD C A BDV V 得
1
1 133 3BCD A BDS S d △ △ ，
1
3 2
2
BCD
A BD
Sd S
△
△
点C 到平面 1A BD 的距离为 2
2
解法二：（Ⅰ）取 BC 中点O ，连结 AO
ABC△ 为正三角形， AO BC ⊥ 在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，平面 ABC ⊥ 平面
1 1BCC B ， AD ⊥平面 1 1BCC B 取 1 1B C 中点 1O ，以 O 为原点， OB
， 1OO
， OA
的方向为
x y z， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 (1 0 0)B ，， ， ( 11 0)D ，， ， 1(0 2 3)A ，， ， (0 0 3)A ，， ，
1(1 2 0)B ，， ， 1 (1 2 3)AB ，， ， ( 21 0)BD ，， ， 1 ( 1 2 3)BA ，，
1 2 2 0 0AB BD
， 1 1 1 4 3 0AB BA
， 1AB BD ⊥ ， 1 1AB BA
⊥ 1AB ⊥
平面 1A BD
（Ⅱ）设平面 1A AD 的法向量为 ( )x y z ， ，n ( 11 3)AD ，， ， 1 (0 2 0)AA ，，
AD
⊥n ， 1AA
⊥n ，
1
0
0
AD
AA
，
，
n
n
3 0
2 0
x y z
y
，
，
0
3
y
x z
，
．
令 1z 得 ( 3 01) ，，n 为平面 1A AD 的一个法向量 由（Ⅰ）知 1AB ⊥平面 1A BD ，
1AB 为平面 1A BD 的法向量 cos n ， 1
1
1
3 3 6
42 2 2
ABAB
AB
n
n
二面角 1A A D B 的大小为 6arccos 4
（Ⅲ）由（Ⅱ）， 1AB
为平面 1A BD 法向量， 1( 2 0 0) (1 2 3)BC AB
，，， ，，
点C 到平面 1A BD 的距离 1
1
2 2
22 2
BC AB
d
AB
A
B
C
D
x
A
1
B
1
C
1
O
1
o
z
y
21．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c ，依题意
6
3
3
c
a
a
，
，
， 1b ，所求椭圆方程为
2
2 13
x y ．
（Ⅱ）设 1 1( )A x y， ， 2 2( )B x y， ．（1）当 AB x⊥ 轴时， 3AB ．
（2）当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y kx m ．
由 已 知
2
3
21
m
k
， 得 2 23 ( 1)4m k ． 把 y kx m 代 入 椭 圆 方 程 ， 整 理 得
2 2 2(3 1) 6 3 3 0k x kmx m ， 1 2 2
6
3 1
kmx x k
，
2
1 2 2
3( 1)
3 1
mx x k
．
2 2 2
2 1(1 )( )AB k x x
2 2 2
2
2 2 2
36 12( 1)(1 ) (3 1) 3 1
k m mk k k
2 2 2 2 2
2 2 2 2
12( 1)(3 1 ) 3( 1)(9 1)
(3 1) (3 1)
k k m k k
k k
2
4 2
2
2
12 12 123 3 ( 0) 3 419 6 1 2 3 69 6
k kk k k k
≤ ．
当且仅当 2
2
19k k
，即 3
3k 时等号成立．当 0k 时， 3AB ，
综上所述 max 2AB ．当 AB 最大时， AOB△ 面积取最大值 max
1 3 3
2 2 2S AB ．
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