资料简介
高 二 数 学 期 末 测 试 卷
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高二数学上学期期末测试卷
一、选择题（5×12=60）
1．已知实数 a、b、c 满足 b＋c＝6－4a＋3 2a ，c－b＝4－4a＋ 2a ，则 a、b、c 的大小关系是 （ ）．
（A）c≥b＞a （B）a＞c≥b
（C）c＞b＞a （D）a＞c＞b
2．设 a、b 为实数，且 a＋b＝3，则 ba 22 的最小值为 （ ）
（A）6 （B） 24 （C） 22 （D）8
3．如果直线 ax＋2y＋2＝0 与直线 3x－y－2＝0 平行，那么系数 a＝ （ ）
（A）－3 （B）－6 （C）
2
3 （D）
3
2
4．不等式 0|2
2|3
3
xx
x
x
x 且 的解集是 （ ）．
（A） 20| xx （B） 5.20| xx
（C） 60| xx （D） 30| xx
5．直线 0323 yx 截圆 422 yx 得的劣弧所对的圆心角为 （ ）．
（A）
6
π （B）
4
π （C）
3
π （D）
2
π
6．若 ),lg(lg2
1,lglg,1 baQbapba ),2lg( baR 则 （ ）
（A） QPR （B） RQP
（C） RPQ （D） QRP
7．已知两条直线 1L ∶y＝x， 2L ∶ax－y＝0，其中 a 为实数，当这条直线的夹角在 )12
π,0( 内变动时，a 的取值
范围是 （ ）．
（A）（0，1） （B） )3,3
3(
（C） )3,1()1,3
3( （D） )3,1(
8．直线 23
1 xy 的倾斜角是 （ ）．
（A） )3
1arctan( （B）
3
1arctan
（C） )3
1arctan(π （D） )3
1arctan(--π
9．两圆 0222 xyx 与 0422 yyx 的位置关系是 （ ）．
（A）相离 （B）外切 （C）相交 （D）内切
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10． 11lg9lg 与 1 的大小关系是（ ）．
（A） 111lg9lg （B） 111lg9lg
（C） 111lg9lg （D）不能确定
11．已知椭圆的长轴、短轴、焦距长度之和为 8，则长半轴的最小值是 （ ）．
（A）4 （B） 24
（C） )12(4 （D） )12(2
12．过抛物线 )0(2 aaxy 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q ，则
qp
11
等于 （ ）．
（A）2a （B）
a2
1 （C）4a （D）
a
4
二、填空题（4×4=16）
13．不等式 5|2||1| xx 的解集是 ．
14．若正数 a、b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是 ．
15．设双曲线 )0(12
2
2
2
bab
y
a
x 的半焦距为 c，直线过（a，0）、（0，b）两点，已知原点到直线 L 的距离
为 c4
3 ，则双曲线的离心率为 ．
16．过点 P（2，1）的直线 L 交 x 轴、y 轴的正向于 A、B 则 |||| PBPA 最小的直线 L 的方程是 ．
三、解答题
17．解不等式 1|43| 2 xxx ．（12）
18．自点（－3，3）发出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射线所在直线与圆 074422 yxyx
相切，求光线 L 所在直线方程．（12）
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19．已知 )R,10(log)( xaaxxf a 且 ．若 1x 、 R2x 试比较 )]()([2
1
21 xfxf 与 )2( 21 xxf 的大小，
并加以证明．（12）
20．抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴，而且被直线 2x－y＋1＝0 所截弦长为 15 ，求抛物线的方程．（12）
21．在平面直角坐标系中，在 y 轴的正半轴上给定 A、B 两点，在 x 轴正半轴上求一点 C，使∠ACB 取得最大值．（12）
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22．在面积为 1 的 PMN ， ,2
1tan M ,2tan N 求出以 M、N 为焦点且过点 P 的椭圆的方程．（14）
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参考答案
一、选择题
ABBCC BCCCC CC
二、填空题
13． ;14| xx 14．［9，＋∞］；15．2；16．x＋y－3＝0．
三、解答题
17．原不等式等价于
（Ⅰ）
.143
,043
2
2
xxx
xx
或（Ⅱ）
.1)43(
,043
2
2
xxx
xx
.31
,41
,15
,14
x
x
xx
xx 或
或
或
.13135 xxxx 且或或
∴ 原不等式的解集为 1.3135| xxxxx 且或或 ．
18．已知圆的标准方程是 ,1)2()2( 22 yx 它关于 x 轴的对称圆的方程是 .1)2()2( 22 yx
设光线 L 所在直线方程是
).3(3 xky
由题设知对称圆的圆心 C′（2，－2）到这条直线的距离等于 1，即 1
1
|55|
2
k
kd ．
整理得 ,0122512 2 kk
解得
3
4
4
3 kk 或 ．
故所求的直线方程是 )3(4
33 xy ，或 )3(3
43 xy ，
即 3x＋4y－3＝0，或 4x＋3y＋3＝0．
19． 2121 loglog)()( xxxfxf aa
2log)2(),(log 121
21
xxxxfxx aa
．
∵ 1x 、 Rx2 ， ∴ 221
21 )2( xxxx ．
当且仅当 1x ＝ 2x 时，取“＝”号．
当 1a 时，有 )2(log)(log 21
21
xxxx aa
．
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∴ )(log2
1
21xxa )2(log 21 xx
a
． )2(log]log[log2
1 21
21
xxxx aaa
．
即 )2()]()([2
1 21
21
xxfxfxf ．
当 10 a 时，有 aa xx log)(log 21 221 )2( xx ．
即 ).2()]()([2
1 21
21
xxfxfxf
20．设抛物线的方程为 axy 2 ，则
.12
,2
xy
axy
把②代入①化简得
01)4(4 2 xax ③
设弦 AB 的端点 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB ，则 1x 、 2x 是方程③的两实根，由韦达定理，得
4
1,4
4
2121 xxaxx ．
∵ 2k ，由公式
2
21
2 )(1 d
∴ 21
2
21 4)(515 xxxx
＝
4
14)4
4(5 2 a ．
化简整理，得 048-8-2 aa ，解得 1a ＝12， 2a ＝－4．故抛物线的方程为 2y ＝12x ，或 2y ＝－4x ．
21．设 BCOACB , ，再设 ),0( aA 、B（0，b）、C（x，0）．则 ,)tan( x
a
x
btan ．
])tan[(tan
21tan)tan(1
tan)tan(
x
ab
x
b
x
a
ab
ba
x
abx
ba
x
abx
ba
22
．
①
②
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当 且 仅 当 ,x
abx ∵ ， ∴ ,时abx tan 有 最 大 值 ， 最 大 值 为
ab
ba
2
，
∴ xy tan 在 )2
π,0( 内为增函数．∴ 角α的最大值为
ab
ba
2
arctan ．此时 C 点的做标为 ).0,( ab
图 1 图 2
22．以 M、N 所在直线为 x 轴，以线段 MN 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系．
设所求椭圆方程为 ,12
2
2
2
b
y
a
x 分别记 M、N、P 的坐标为 M（－c，0）、N（c，0）、P（ 0x ， 0y ）．
∵ )πtan(tan PNM
2
1tan,2)2(tan MPNM ．
则得 cxcycxcy 0000 )(2)(2 和 ．由此
解得 cycx 3
4,3
5
00 ．
又由 ,2|| cMN 求得△MNP 在 MN 上的高为 c3
4 ，从而由 1MNPS 可得
2
3c ，于是 )0,2
3(M 、
)0,2
3(N 、 )3
32,6
35(P ，
易得
3
15||,3
152|| PNPM ．
由椭圆的定义，得 ,2|||| aPNPM
∴
2
15|)||(|2
1 PNPMa ∴
4
152 a ，
易得 32 b ．
故所求椭圆的方程为
315
4 22 yx 1 ．
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