资料简介
高二数学第一学期期末试卷
满分 100 分，考试时间 90 分钟
一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．）
(1)如果直线 022 yax 与直线 023 yx 平行，那么系数 a 等于( )
3. 2A 2. 3B . 3C . 6D
(2)两名同学进行英语听力练习，甲能听懂的概率为 0.8，乙能听懂的概率为 0.5 ,则甲、乙二人
恰有一人能听懂的概率为（ ）
A. 0.4 B. 0.9 C. 0.5 D.0.1
(3)已知 x、y 满足条件
5 0
0
3
x y
x y
x
，则 yxz 42 的最小值为（ ）
A. –6 B. 5 C.10 D.–10
（4） 521 x 的展开式中第四项的系数是（ ）
A.10 B. －80 C. 80 D.－8
（5）抛物线 2 2y px ( 0p )上横坐标为 3 的点到焦点的距离是 4，则 p 等于（ ）
A. ８ Ｂ. 4 C. 2 D.1
（6）已知直线l 的斜率为 2
3
，且过双曲线 149
22
yx 的左焦点，则直线l 与此双曲线的交点
个数为（ ）个
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
（7）五个人排成一排，其中甲、乙、丙三人左、中、右顺序不变（不一定相邻）的排法种数
是（ ）
A．12 B．20 C．36 D．48
（8）已知 1F 、 2F 是椭圆 124
22
yx 的左、右焦点， l 是椭圆的右准线，点 P l 且在 x 轴
上方，则 1 2F PF 的最大值是（ ）
A． 15 B.30 C. 45 D. 60
二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 4 分 ，共 24 分．）
（9）在参加 2006 年德国世界杯足球赛决赛阶段比赛的 32 支球队中，有欧洲队 14 支，美洲
队 8 支，亚洲队 4 支，大洋洲队 1 支，非洲队 5 支，从中选出一支球队为欧洲队或美洲队的
概率为 .
（10）3 个班分别从 2 个风景点中选择 1 处游览，有________ 种不同的选法 .
（11）若点（－２， t ）在不等式 2x－3y+6 0 所表示的平面区域内，则 t 的取值范围是
_________ .
（12） 圆 cos
1 sin
x
y
的（ 为参数）圆心坐标为 ；直线 l 与此圆交于 A、B 两点，
且线段 AB 的中点坐标是 )2
3,2
1( ，则直线 l 的方程为 .
（13）中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为
3
5 ，并且虚轴长为 8 的双曲线标准方程为
__________；若 P 为此双曲线上的一点， 1F 、 2F 分别是此双曲线的左、右焦点，
且 1 2 0PF PF
，则 1 2PF F 的面积为 .
（14）过椭圆
2 2
18 4
x y 的右焦点作 x 轴的垂线交椭圆于 A，B 两点，已知双曲线的焦点在
x 轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过 A，B 两点，则双曲线的离心率 e 为
.
三、解答题：（本大题共 4 小题，共 44 分，）
（15）（本题满分 12 分）已知点 P（2，0）， C： 044622 yxyx .
（Ⅰ）当直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1 时，求直线 l 的方程；
（Ⅱ）设过点 P 的直线与 C 交于 A、B 两点，且 AB CP ，求以线段 AB 为直径的圆的
方程.
（16）（本题满分 10 分）一个小朋友将七支颜色各不相同的彩笔排成一列.
（Ⅰ）求红色彩笔与黄色彩笔相邻的概率;
（Ⅱ）求绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的概率.
（17）（本题满分 12 分）一次小测验共有 3 道选择题和 2 道填空题，每答对一道题得 20 分，
答错或不答得 0 分.某同学答对每道选择题的概率均为 0.8，答对每道填空题的概率均为 0.5.各
道题答对与否互不影响.
（Ⅰ）求该同学恰好答对 1 道选择题和 2 道填空题的概率；
（Ⅱ）求该同学至少答对 1 道题的概率；
（Ⅲ）求该同学在这次测验中恰好得 80 分的概率.
（18）(本题满分 10 分普通校学生做，重点校学生不做)已知两点 2,0 , 2,0M N ，动点
,P x y 在 y 轴上的射影为 ,H PH
是 2 和 PM PN 的等比中项.
（I）求动点 P 的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线 1x y 交以点 M、N 为焦点的双曲线 C 的右支于点 Q，求实轴长最长的双曲
线 C 的方程.
（本题满分 10 分重点校学生做，普通校学生不做）
(18)已知椭圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 的左、右焦点分别是 1 2( ,0), ( ,0)F c F c ，Q 是椭圆外的
动点，满足 1| | 2 .FQ a 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且满足
2 20,| | 0.PT TF TF
（I）设 1x 为点 P 的横坐标，求证： 1 1| | cF P a xa
；
（Ⅱ）求点 T 的轨迹 C 的方程；
（Ⅲ）在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，
使△F1MF2 的面积 S= .2b 若存在，求∠F1MF2
的正切值；若不存在，请说明理由.
高二数学学科期末试卷答案
一.选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B C C B B
二.填空题
9. 11
16
10 .8 11. 2
3t 12. （0，1）； 2 0x y 13. 1
169
22
yx ；16
14. 6
2
(注 12，13 小题每空 2 分)
三.解答题
15. （Ⅰ）解：设直线 l 的斜率为 k（若 k 存在），则方程为 )2(0 xky …（2 分）
又 C 的圆心为 C(3,-2) ， r=3,由 1
1
223
2
k
kk
4
3 k ， …… （4 分）
直线 l 的方程为 )2(4
3 xy ，即 0643 yx ………（5 分）
当 k 不存在时，l 的方程为 x=2. ………… （7 分）
（Ⅱ）依题意 AB CP ,得 P 为线段 AB 的中点，即为以 AB 为直径的圆的圆心……（9 分）
已知 C(3,-2) ，P（2,0），由两点间距离公式得 5CP . …… （10 分）
在直角三角形 BCP 中，可求半径 2BP . …………（11 分）
故以 AB 为直径的圆的方程为 4)2( 22 yx . …………（12 分）
16.解：七支彩笔可排列总数为 7
7A ，每一种排列出现的机会是等可能的 …………（3 分）
（Ⅰ）记红色彩笔与黄色彩笔相邻为事件 A，红色彩笔与黄色彩笔相邻的排列有 6
6
2
2 AA 种，
则 P（A）=
7
2
7
7
6
6
2
2
A
AA . ……………… （7 分）
（Ⅱ）记绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的事件为 B，则
绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的概率为
2 1 5
2 5 5
7
7
5( ) 21
A A AP B A
. … （10 分）
（注：学生（1）问求出红色彩笔与黄色彩笔相邻的概率可得满分，未写出是等可能的不扣分）
17. 解：（Ⅰ）该同学恰好答对 1 道选择题和 2 道填空题的概率为
125
35.05.0)2.0()8.0( 2
2
211
3 CCP . ……………… （4 分）
（Ⅱ）该同学至少答对 1 道题的概率为
500
499
2
1
5
11
23
. ……… （8 分）
（Ⅲ）设该同学在这次测验中恰好得 80 分为事件 A，他恰好答对 2 道选择题和
2 道填空题为事件 B1，他恰好答对 3 道选择题和 1 道填空题为事件 B2
则 A=B1+B2，B1，B2 为互斥事件.
1 2( ) ( ) ( )P A P B P B
=
2 2 3 2
2 2 3 1
3 2 3 2
4 1 1 4 1 44( )5 5 2 5 2 125C C C C
……（12 分）
18. A（普通校）
解：（Ⅰ）动点为 ,P x y ，则 0, , ,0 , 2 , , 2 ,H y PH x PM x y PN x y
…………………………… （2 分）
∴ 2 24PM PN x y ，且 2 2PH x
. …………………………… （4 分）
由题意得 2
2PH PM PN ，即 2 2 22 4x x y ，
2 2
18 4
x y . …… （5 分）
PH
是 2 和 PM PN 的等比中项，点 P 不能与点 H 重合， 0x .
∴
2 2
18 4
x y （ 0x ）为所求点 P 的轨迹方程. ………………………… （6 分）
（Ⅱ）当直线 1x y 与双曲线 C 右支交于点 Q 时，而 2,0N 关于直线 1x y
的对称点为 1, 1E ，则 QE QN
∴双曲线 C 的实轴长 2 10a QM QN QM QE ME （当且仅当
Q，E，M 共线时取“=”），此时，实轴长 2a 最大为 10 ；……………… （8 分）
所以，双曲线 C 的实半轴长为 10
2
又∵ 1 22c MN ，∴ 2 2 2 3
2b c a
∴双曲线 C 的方程为
2 2
15 3
2 2
x y . …………………………… （10 分）
18.B（重点校）
解：（Ⅰ）证明：设点 P 的坐标为 1 1( , ).x y 椭圆的左准线方程为
c
ax
2
.
由椭圆第二定义得 1
2
1
| |
| |
F P c
a ax c
，即 2
1 1 1| | | | | |.c a cF P x a xa c a
由 1 1, 0cx a a x c aa
知 ，所以 1 1| | .cF P a xa
…………… 3 分
（Ⅱ）解法一：设点 T 的坐标为 ).,( yx
当| 0||0| 2 TFPT 且 时，由 0|||| 2 TFPT ，
得 2TFPT .又由椭圆定义得 aPFPF 221 ，如图可得 aPQPF 21
则 |||| 2PFPQ ，所以 T 为线段 F2Q 的中点.
在△QF1F2 中， aQFOT ||2
1|| 1 ，所以有 .222 ayx ………5 分
当 0|| PT 时，点（ a ，0）和点（－ a ，0）在轨迹上.
综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是 .222 ayx …………………6 分
解法二：设点 T 的坐标为 ).,( yx
当| 0||0| 2 TFPT 且 时，由 02 TFPT ，得 2TFPT .
又 |||| 2PFPQ ，所以 T 为线段 F2Q 的中点.
设点 Q 的坐标为（ yx , ），则
.2
,2
yy
cxx
因此
.2
,2
yy
cxx ①
由 aQF 2|| 1 得 .4)( 222 aycx ②
将①代入②，可得 .222 ayx ………………5 分
当 0|| PT 时，点（ a ，0）和点（－ a ，0）在轨迹上.
综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是 .222 ayx ………………6 分
（Ⅲ）解法一：C 上存在点 M（ 00 , yx ）使 S= 2b 的充要条件是
.||22
1
,
2
0
22
0
2
0
byc
ayx
由③得 ay || 0 ，由④得
2
0| | .by c
所以，当
c
ba
2
时，存在点 M，使 S= 2b ；
当
c
ba
2
时，不存在满足条件的点 M. …………………8 分
当
c
ba
2
时， ),(),,( 002001 yxcMFyxcMF ，
由 2222
0
22
021 bcaycxMFMF ，
212121 cos|||| MFFMFMFMFMF ，
2
2121 sin||||2
1 bMFFMFMFS ，得 .2tan 21 MFF ……10 分
解法二：
由上解法当
c
ba
2
时，存在点 M，使 S= 2b ；
当
c
ba
2
时，不存在满足条件的点 M. ………………………8 分
当
2ba c
时，
1
0
0
F M
yk x c
，
2
0
0
F M
yk x c
，由 1 2 2F F a ，知 1 2 90F MF ，
所以
0 0
2
0 0 0
1 2 2 2 2
0
2 2
0
2 2tan 2
1
y y
x c x c cy bF MF y b b
x c
. ………10 分
③
④
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