资料简介
高二年级数学上学期期末考试
数 学 试 题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 1 考试时间 1.
注意事项：
1．各题的答案或解答过程均写在答题纸内的指定处，写在试卷上的无效.
2．答题前，考生务必将自己的“姓名”，“班级”和“学号”写在答题纸上.
3．考试结束，只交答题纸.
第Ⅰ卷（选择题 共 48 分）
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．不等式 1 3x
等价于 （ ）
A． 10 3x B． 1 03x x 或 C． 1
3x D． 0x
2．如果直线 2 2 0ax y 与直线3 2 0x y 平行, 那么实数 a 等于 （ ）
A． 6 B． 3 C． 3
2
D． 2
3
3．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连结这个空间四边形各边的中点，所组成的
四边形是 （ ）
A．正方形 B．矩形 C．平行四边形 D．梯形
4．抛物线 2
8
1 xy 的焦点坐标是 （ ）
A．(0,－4) B．(0,－2) C． )0,2
1( D．
0,32
1
5．如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角的大小关系是 （ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定
6．若 , ,l m n 是 互 不 相 同 的 空 间 直 线 ， , 是 互 不 重 合 的 两 个 平 面 ， 则 下 列 命
题 中 为 真 命 题 是 （ ）
A．若 // , ,l n ，则 //l n B．若 , //l m 且 ，则l m
C．若 ,l n m n ，则 //l m D．若 , //l l ，则 //
7．满足方程 2 2( 2) ( 1) 1x y 的 y
x
的最大值是 （ ）
A．
3
3 B．
4
3 C． 3 D．
3
4
8．已知点 ),( yxP 在直线 12 yx 上运动，则 yx 42 的最小值是 （ ）
A． 2 B．2 C．2 2 D．4 2
9．已知 ,a b 是一对异面直线，且 ,a b 成 80角，则在过空间一定点 P 的直线中与 a，b 所成
角均为 80的直线有 （ ）
A．4 条 B．3 条 C．2 条 D． 1 条
10．在△ABC 中，AB=AC=10cm, BC=12cm, PA 平面 ABC，PA = 8cm, 则点 P 到边 BC 的
距离为 （ ）
A．10 cm B．13 cm C．8 2 cm D．12 2 cm
11．关于函数 )0(22 baxaa
by 的叙述不．正确的是 （ ）
A．图象关于 y 轴对称 B．值域是 b，0
C．图象是椭圆的一部分 D．图象是双曲线的一部分
12．直线 2 3y x 与曲线
2 | | 19 4
y x x 的交点个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷（非选择题，共 72 分）
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分）
13．过抛物线 2 8y x 的焦点，倾斜角为 45的直线被抛物线截得的弦长为 ；
14．已知双曲线的虚轴长是实轴长与焦距的等比中项，则此双曲线的离心率是 ；
15．函数 ( ) (4 3) 2 0,1 ( ) 2f x a x b a x f x ， ，若 恒成立， 则 a b 的最大值
为 ；
16．下面有四个命题：
①经过空间一点与两条异面直线都相交的直线有且只有一条；
②经过空间一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；
③经过空间一点与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；
④经过空间一点与两条异面直线都垂直的平面有且只有一个．
其中真命题的序号是_______________（把符合要求的命题序号都填上）.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 56 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步
骤）
17．（本小题满分 8 分）已知直线l 与直线3 4 7 0x y 的倾斜角相等，并且与两坐标轴
1
围成的三角形的面积等于 24，求直线l 的方程．
18．（本小题满分 8 分）长方体 1 1 1 1A B C D ABCD 中， 12, 1, ,AB BC AA E F 分别是
1 1 1A B BB和 的中点，
求： 1EF AD与 所成角的余弦值．
19．（本小题满分 10 分）点 P 为双曲线
2 2
112 4
x y 的渐近线与右准线在第一象限内的交点，
圆 C 与双曲线的两条渐近线都相切，且 P 为切点，求圆 C 的标准方程.
本小题满分 10 分）如图，点 P 是矩形 ABCD 所在的平面外一点， E、F 分别是 AB、PC 的
中点．
（1）求证：EF∥平面 PAD；
（2）若 PA⊥平面 ABCD，且 PA=AD，求证：EF⊥平面 PCD.
21．（本小题满分 10 分）已知动点 ),( yxM 与定点 )0)(0,2( ppF 和定直线
2
px 的距
离相等．
（1）求动点 M 的轨迹 C 的方程；
（2）设 M、N 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点，直线 OM 和 ON 的倾斜角分别为
和 ，当 、 变化，且 90 时. 求证：直线 MN 恒过一定点．
A
E
B C
P
F
D
C1
B
D
D1
E B1
F
C
A1
A
22．（本小题满分 10 分）已知椭圆的中心为坐标原点 O，其中一个焦点坐标为（ 2 ，0），
离心率为
3
6 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）已知向量 (0, 1)OB ，是否存在斜率为 ( 0)k k 的直线 l，l 与曲线 C 相交于 M、
N 两点，使向量 BM
与向量 BN
的夹角为 60 ，且 BM BN
? 若存在，求出 k 值，
并写出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案
BAABD BDCAC DC
13．16 14． 1 5
2
15．
4
17 16．②
17．解：∵直线 3x+4y－7=0 的斜率是
4
3 ，
∴直线 l 的斜率为
4
3 ，设直线 l 的方程为 bxy
4
3 .
设 x=0, 得 y=b; 设 y=0, 得 x= b3
4 ，
所以 24|||3
4|2
1 bb ， ∴ 6b .
∴直线 l 的方程为 .02443,64
3 yxxy 即
18．解:连结 1 1 1 1, ,BA BC AC ，则 EF ∥ 1,BA 1AD ∥ 1,BC
1 1A BC 即为 EF 与 1AD 所成角或其补角，
且 1 1 1 1 1 1
5 5 8 15, 2 2, cos .2 5 5BA BC AC A BC
19．解：右准线方程为：x=3， 一条渐进线方程为： 3 3, ,3 3y x k o即 倾斜角 =30
1
所以 (3, 3)P
(1) 当圆心 C 在 x 正半轴上时,
2 212 2 3, 2, 4, ( 4) 4OP PC OC x y 则
(2) 当圆心 C 在 y 正半轴上时，
1 1 1 160 , 30 , 4 3, 6o oOCC OC C OC r PC 则
2 2( 4 3) 36x y 圆的方程为：
明：(1)取 PD 的中点 G 联结 AG，GF，
∵G，F 分别是 PD，
PC 的中点∴GF//CD
又∵AB//CD∵AE//GF 且 AE=GF
∴四边形 AEFG 为平行四边形
∴EF//AG∵AG 平面 PAD
∴EF//平面 PAD
(2)∵PA=AD 且 PG=GD∴AG⊥PD,
又∵CD⊥AD, ∵PA⊥平面 ABCD,
∴CD⊥PA∵PA∩AD=A, ∴CD⊥平面 PAD,
∵AG 平面 PAD∴AG⊥CD
∵AG//EF∴EF⊥CD,EF⊥PD
∵PD∩CD=D,∴EF⊥平面 PCD
21．解：（1）由抛物线的定义可知：点 M 的轨迹 C 的方程为抛物线，所以 M 的轨迹 C 的
方程为 )0(22 ppxy 。
（2）方法 1：设 ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN ，由题意得 21 xx ，直线 MN 的斜率存在，
设直线去 x ，得 0222 pbpyky ，由韦达定理知：
k
pbyyk
pyy 2,2
2121
当 90 时， 1tantan ， 01 2121
2
2
1
1 yyxxx
y
x
y
2
2121
2
2
2
1 4022 pyyyyp
y
p
y
可得 pkbpk
pb 242 2 ，因此直线 MN 的方程为： pkkxy 2 ，当 0y 时，
px 2 ，所以，直线 MN 过定点 )0,2( p 。
方法 2：直线 OM 的方程为：y=k1x，直线 ON 的方程为：y=k2x 由 tanαtanβ =1 可得 k1k2=1，
2 2
1 1 2 2 1 2
2 2 2 2 1( , ), ( , ) MN
p p p pM N kk k k k k k
A
E
B C
P
F
D
G
2
1 1 2 1
2 1 2: ( )p pMN y xk k k k
直线 ，
令 y=0，则
2 2
1 2 1 1 2 1
2 2 2
1 1 1 1
2 ( ) 2 2 2 22 2p k k p pk pk k pkpx pk k k k
所以，直线 MN 过定点 )0,2( p 。
22．解：（1）∵
3
6
a
c ， 2c
∴ 3a ， 1b .
∴椭圆 C 的方程为： 1y3
x 2
2
(2)设直线 l 的方程为： mkxy ，
设 )y,N(x),,( 2211 yxM ，
33yx
mkxy
22
，消去 y，得 033m6kmxx3k1 222 )( ，
2
2
21221 3k1
33mxx;
3k1
6kmxx
0]1m3k[12)3k1)(1m(12m36k 222222 ………①
线段 MN 的中点 G )y,x( 00 ，
2
21
0 3k1
3km
2
xxx
； 22
2
00 3k1
mm
3k1
m3kmkxy
，
线段 MN 的垂直平分线的方程为： )
3k1
3kmx(k
1
3k1
my 22
∵ |||| BNBM ，
∴线段 MN 的垂直平分线过 B（点，
∴ 222 3k1
3m
3k1
3km
k
1
3k1
m1-
∴
2
3k1m
2 … ……②
B
x
y
OM
N
G
②代入①，得 01)2
3k1(3k 2
2
2 ，
解得这个不等式，得 .01,k1 k且 ………③
∵△BMN 为等边三角形，∴点 B 到直线 MN 的距离 |MN|2
3d ，
而 2
2
2
2
k12
3
k1
|2
3k11|
k1
|m1|d
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
| MN | 1 k | x x | 1 k (x x ) 4x x
6km 3m 3 1 k1 k ( ) 4 12(3k m 1)1 3k 1 3k 1 3k
1 k 1 3k 1 k12 3k ( ) 1 3 1 k .1 3k 2 1 3k
∴ 2
2
2
2 k1
3k1
k132
3k12
3
，
解得
3
1k 2 ，即
3
3k ，满足③式. 代入②，得 12
11
2
3k1m
2
.
直线 l 的方程为： 1x3
3y .
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