资料简介
高二数学期末直线与圆复习专题
一、选择题
1.（2010 江西理数）直线 3y kx 与圆 2 23 2 4x y 相交于 M,N 两点，若
2 3MN ，则 k 的取值范围是( )
A.
3 04
，
B.
3 04
， ，
C.
3 3
3 3
，
D.
2 03
，
2.（2010 重庆文数）若直线 y x b 与曲线 2 cos ,
sin
x
y
（ [0,2 ) ）有两个不同的
公共点，则实数b 的取值范围为( )
A． (2 2,1) B.[2 2,2 2]
C.( ,2 2) (2 2, ) D. (2 2,2 2)
3.（2010 重庆理数）直线 y= 3 23 x 与圆心为 D 的圆 3 3 cos ,
1 3sin
x
y
0,2
交与 A、B 两点，则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为( )
A. 7
6
B. 5
4
C. 4
3
D. 5
3
4.（2010 全国卷 1 理数）已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，
那么 PA PB 的最小值为（ ）
A. 4 2 B. 3 2 C. 4 2 2 D. 3 2 2
5．（北京 6）若实数 x y， 满足
1 0
0
0
x y
x y
x
，
，
，
≥
≥
≤
则 2z x y 的最小值是（ ）
A．0 B． 1
2 C．1 D．2
6．(福建 10)若实数 x、y 满足
1 0,
0,
2,
x y
x
x
则 y
x
的取值范围是（ ）
A.（0，2） B.（0，2） C.(2,+∞) D.[2，+∞)
7．(山东 11) 若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4 3 0x y 和 x 轴相切，则
该圆的标准方程是（ ）
A．
2
2 7( 3) 13x y
B． 2 2( 2) ( 1) 1x y
C． 2 2( 1) ( 3) 1x y D．
2
23 ( 1) 12x y
8．(湖北 5).在平面直角坐标系 xOy 中，满足不等式组
1
x y
x
，的点 ( , )x y 的集合用阴 8
表示为下列图中的 (
9.（2011 年高考全国卷文科 11)设两圆 1C 、 2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则
两圆心的距离 1 2C C =（ ）
A．4 B. 4 2 C.8 D.8 2
10．（广东 2011 理）平面内称横坐标为整数的点为“次整点”.过函数 29y x 图象上
任意两个次整点作直线，则倾斜角大于 45°的直线条数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题
11.（2010 江苏卷）9、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 422 yx 上有且仅有四个点到
直线 12x-5y+c=0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是___________
12．（四川文、理科 14）已知直线 : 4 0l x y 与圆 2 2:( 1) ( 1) 2C x y ，则C 上各点
到l 距离的最小值为 ．
13．设圆 2 2 2: 2 2 0(C x y ax y a a 为常数）被 y 轴所截得弦为 AB，若弦 AB 所对
圆心角为
2
，则实数 a 。
14、两圆 042 222 aaxyx 和 0414 222 bbyyx 恰有三条公切线,
若 RbRa , ，且 0ab ，则 22
11
ba
的最小值为
15. 直线方程为(3m＋2)x＋y＋8=0, 若直线不过第二象限，则 m 的取值范围是 .
三、解答题
16.直线l 过点 ( 6,3)P ，且它在 x 轴上的截距是它在 y 轴上的截距的 3 倍，求直线l 的方程.
17. 已知直线 1l 的方程为 2y x ，过点 (2, 1)A 作直线 2l ，交 y 轴于点C ，交 1l 于点 B ，
且 1
2BC AB ，求 2l 的方程.
18．（12 分）已知圆 36)5(: 22 yxM 及定点 )0,5(N ，点 P 是圆 M 上的动点，
点Q 在 NP 上，点G 在 MP 上，且满足 NQNP 2 ， 0 NPGQ ．
（1）求G 的轨迹C 的方程；
（2）过点 )0,2(K 作直线 l ，与曲线C 交于 BA, 两点，O 为坐标原点，设OS OA OB ，
是否存在这样的直线 l ，使四边形OASB 的对角线相等？若存在，求出直线 l 的方程；若不
存在，说明理由．
18（答案）. （1） 6|||||| MPGNGM ，所以椭圆方程为 149
22
yx
（2） ,OBOAOS 四边 形 OASB 为平 行四边 形， 又其对 角线相 等，则
OBOA
当直线的斜率不存在时，四边形的对角线不相等；
当直线的斜率存在时，设直线 ),(),,(),2(: 2211 yxByxAxkyl ，联立
3694
)2(
22 yx
xky
0)1(3636)94( 2222 kxkxk
2
2
212
2
21 94
)1(36,
94
36
k
kxx
k
kxx
0)2)(2( 21
2
212121 xxyyxx ，
整理得 04)(2)1( 2
21
2
21
2 k （*）
x
y
O
C
B
B
A
代入得
2
3,4
9,04
94
72
94
)1(36 22
2
4
2
4
kkk
k
k
k
k
所以存在直线 )2(2
3; xyl
19.（12 分）已知圆 C 经过 P（4，– 2），Q（– 1，3）两点，且在 y 轴上截得的
线段长为 4 3 ，半径小于 5．
（1）求直线 PQ 与圆 C 的方程．
（2）若直线 l//PQ，且 l 与圆 C 交于点 A、B， 90AOB ，求直线 l 的方程．
19．（答案）解：(1) PQ 为 3 23 ( 1) 2 01 4y x x y
即
C 在 PQ 的中垂线 3 2 4 11 ( )2 2y x 即 y = x – 1 上
设 C（n，n – 1），则 2 2 2 2| | ( 1) ( 4)r CQ n n
由题意，有 2 2 2(2 3) | |r n ∴ 2 212 2 6 17n n n
∴ n = 1 或 5，r 2 = 13 或 37（舍）
∴圆 C 为 2 2( 1) 13x y
解法二：设所求圆的方程为 2 2 0x y Dx Ey F
由已知得
2
4 2 20
3 10
4 48
D E F
D E F
E F
解得
2 10
0 8
12 4
D D
E E
F F
或
当
2
0
12
D
E
F
时， 13 5r ；当
10
8
4
D
E
F
时， 37 5r （舍）
∴ 所求圆的方程为 2 2 2 12 0x y x
(2) 设 l 为 0x y m
由 2 2
0
( 1) 13
x y m
x y
，得 2 22 (2 2) 12 0x m x m
设 A（x1，y1），B（x2，y2），则
2
1 2 1 2
121 2
mx x m x x ，
∵ 90AOB ， ∴ 1 2 1 2 0x x y y
∴ 1 2 1 2( )( ) 0x x x m x m
∴ 2 12 0m m ∴ m = 3 或 – 4（均满足 0 ）
∴ l 为 3 0 4 0x y x y 或
20. （2011 年高考全国新课标卷文科 20)（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系中，曲线 与162 xxy 坐标轴的交点都在圆 C 上，
（1）求圆 C 的方程；
（2）如果圆 C 与直线 0 ayx 交于 A,B 两点，且 OBOA ，求 a 的值。
20（答案）.解：（Ⅰ）曲线
)0,223(),0,223(),1,0(,162 轴交点为与轴交点为与 xyxxy
因而圆心坐标为 ),,3( tC 则有 1)22()1(3 2222 ttt
半径为 3)1(3 22 t ，所以圆方程是 9)1()3( 22 yx
（Ⅱ）设点 ),(),,( 2211 yxByxA 满足
9)1()3(
0
22 yx
ayx
解得： 012)82(2 22 aaxax
041656 2 aa
4
41656)28( 2
2,1
aaax
2
12,4
2
2121
aaxxaxx
axyaxyyyxxOBOA 22112121 ,,0,
1,0)(2 2
2121 aaxxaxx
21．（宁夏 20）（本小题满分 12 分）
已知 mR ，直线l ： 2( 1) 4mx m y m 和圆C ： 2 2 8 4 16 0x y x y ．
（Ⅰ）求直线l 斜率的取值范围；
（Ⅱ）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为 1
2
的两段圆弧？为什么？
19（答案）. 解：（Ⅰ）直线l 的方程可化为 2 2
4
1 1
m my xm m
，
直线l 的斜率 2 1
mk m
，················································································ 2 分
因为 21 ( 1)2m m ≤ ，
所以 2
1
1 2
mk m
≤ ，当且仅当 1m 时等号成立．
所以，斜率 k 的取值范围是 1 1
2 2
， ．································································5 分
（Ⅱ）不能．··································································································6 分
由（Ⅰ）知l 的方程为
( 4)y k x ，其中 1
2k ≤ ．
圆C 的圆心为 (4 2)C ， ，半径 2r ．
圆心C 到直线l 的距离
2
2
1
d
k
．··································································9 分
由 1
2k ≤ ，得 4 1
5
d ≥ ，即
2
rd ．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦
所对的圆心角小于 2
3
．
所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为 1
2
的两段弧． 12 分
20.
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