资料简介
1. 有 24 个苹果，32 个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数
相同，最多可以装多少盘？
2. 数学兴趣小组有 24 个男同学，20 个女同学，现要分成小组，每个
小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组？每组
至少有多少个男同学？多少个女同学？
3. 有 38 支铅笔和 41 本练习本平均奖给若干个好少年，结果铅笔多
出 3 支，练习本还缺 1 本。得奖的好少年有多少人？
4. 有一包糖，不论分给 8 个人，还是分给 10 个人，都能正好分完。
这包糖至少有多少块？
5. 阜沙市场是 20 路和 21 路汽车的起点站。20 路汽车每 3 分钟发车
一次，21 路汽车每 5 分钟发车一次。这两路汽车同时发车以后，
至少再过多少分钟又同时发车？
6. 中心小学五年级学生，分为 6 人一组，8 人一组或 9 人一组排队做
早操，都刚好分完。这个年级至少有学生多少人？
7. 五年级学生参加植树活动，人数在 30~50 之间。如果分成 3 人一
组，4 人一组，6 人一组或者 8 人一组，都恰好分完。五年级参加
植树活动的学生有多少人？
8. 有一个数，用 4、 5、 6 去除，都能整除，这个数最小是多少？
一些小朋友做游戏，第一次分组每组 4 人余下 2 人，第二次每组 5 人也余下 2 人，第三次分
组每组 6 人还是余下 2 人。问最少多少名小朋友做游戏？
一间浴室长 1.8 米，宽 1.44 米。现在要给浴室地面铺满整块的正方
形瓷砖，正方形瓷砖的边长最长是多少厘米？
有一袋水果糖，8 块 8 块数多 5 块;6 块 6 块数多 3 块；4 块 4 块数多 1 块。这代水果糖最少
有多少块？
一个数被 3 除余 1，被 6 除余 4，被 8 除余 6。这个数最小是几？
王老师买回一些练习本，如果平均分给 5 个班则多出 3 本，如果平均分给 6 个班
则多出 4 本。已知这些练习本在 80——100 本之间，你知道王老师买了多少本练
习本？
工人师傅买了一块长方体木块，体积是 693 立方分米，只知道它的长、宽、高分
别相差 2 分米，你能求出长、宽、高各是多少分米吗？
公约数、公倍数问题，是指用求几个数的（最大）公约数或（最小）公倍数的方法来解答的应用题。这类
题一般都没有直接指明是求公约数或公倍数，要通过对已知条件的仔细分析，才能发现解题方法。解答公
约数或公倍数问题的关键是：从约数和倍数的意义入手来分析，把原题归结为求几个数的公约数问题。例
如：
1、有一个长方体的木头，长 3.25 米，宽 1.75 米，厚 0.75 米。如果把这块木头截成许多相等的小立方体，
并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？
解：根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数的最大公约数。即：（325、175、75）=25
（厘米）
因为 325÷25=13
175÷25=7
75÷25=3
所以 13×7×3=273（个）
答：能分为小立方体 273 个，小立方体的每条棱长为 25 厘米。
2、 有一个两位数，除 50 余 2，除 63 余 3，除 73 余 1。求这个两位数是 多少？
解：这个两位数除 50 余 2，则用他除 48（52－2）恰好整除。也就是说，这个两位数是 48 的约数。同理，
这个两位数也是 60、72 的约数。所以，这个两位数只可能是 48、60、72 的公约数 1、2、3、4、6、12，
而满足条件的只有公约数 12，即（48、60、72）=12。
答：这个两位数是 12。
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。几个数公有的倍
数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
应用最大公因数与最小公倍数方法求解的应用题，叫做公约数与公倍数问题。解题的关键是先求出几个数
的最大公因数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题。
三、考点分析
最大公因数和最小公倍数的性质。
（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。
（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，
（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
四、典型例题
例 1、有三根铁丝，一根长 18 米，一根长 24 米，一根长 30 米。现在要把它们截成同样长的小段。每段
最长可以有几米？一共可以截成多少段？
分析与解：
截成的小段一定是 18、24、30 的最大公因数。先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。
解答：
（18、24、30）＝6
（18+24+30）÷6＝12 段
答：每段最长可以有 6 米，一共可以截成 12 段。
例 2、一张长方形纸，长 60 厘米，宽 36 厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，
截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？
分析与解：
要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正
方形边长一定是 60 和 36 的最大公因数。
解答：
（36、60）＝12
（60÷12）×（36÷12）＝15 个
答：正方形的边长可以是 12 厘米，能截 15 个正方形。
例 3、用 96 朵红玫瑰花和 72 朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数
也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？
分析与解：
要把 96 朵红玫瑰花和 72 朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定
是 96 和 72 的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是 96 和 72 的最大公因数。
解答：
（1）最多可以做多少个花束
（96、72）＝24
（2）每个花束里有几朵红玫瑰花
96÷24＝4 朵
（3）每个花束里有几朵白玫瑰花
72÷24＝3 朵
（4）每个花束里最少有几朵花
4+3＝7 朵
例 4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔 5 分钟发车一次，第二路车每隔 10 分钟发车
一次，第三路车每隔 6 分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？
分析与解：
这个时间一定是 5 的倍数、10 的倍数、6 的倍数，也就是说是 5、10 和 6 的公倍数，“最少多少时间”，那
么，一定是 5、10、6 的最小公倍数。
解答：
［5、10、6］＝30
答：最少过 30 分钟再同时发车。
例 5、某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成 3 个；第二道工序每个工人
每小时可完成 12 个；第三道工序每个工人每小时可完成 5 个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时
至少安排几个工人最合理？
分析与解：
安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工
序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小
公倍数。
解答：
（1）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？
［3、12、5］＝60
（2）第一道工序应安排多少人
60÷3＝20 人
（3）第二道工序应安排多少人
60÷12＝5 人
（4）第三道工序应安排多少人
60÷5＝12 人
例 6、有一批机器零件。每 12 个放一盒，就多出 11 个；每 18 个放一盒，就少 1 个；每 15 个放一盒，就
有 7 盒各多 2 个。这些零件总数在 300 至 400 之间。这批零件共有多少个？
分析与解：
每 12 个放一盒，就多出 11 个，就是说，这批零件的个数被 12 除少 1 个；每 18 个放一盒，就少 1 个，就
是说，这批零件的个数被 18 除少 1；每 15 个放一盒，就有 7 盒各多 2 个，多了 2×7＝14 个，应是少 1 个。
也就是说，这批零件的个数被 15 除也少 1 个。
解答：
如果这批零件的个数增加 1，恰好是 12、18 和 15 的公倍数。
1、刚好能 12 个、18 个或 15 个放一盒的零件最少是多少个
［12、18、15］＝180
2、在 300 至 400 之间的 180 的倍数是多少
180×2＝360
3、这批零件共有多少个
360-1＝359 个
例 7、公路上一排电线杆，共 25 根。每相邻两根间的距离原来都是 45 米，现在要改成 60 米，可以有几
根不需要移动？
分析与解：
不需要移动的电线杆，一定既是 45 的倍数又是 60 的倍数。要先求 45 和 60 的最小公倍数和这条公路的全
长，再求可以有几根不需要移动。
解答：
1、从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？
［45、60］＝180（米）
2、公路全长多少米？
45×（25-1）＝1080（米）
3、可以有几根不需要移动？
1080÷180+1＝7（根）
例 8、两个数的最大公因数是 4，最小公倍数是 252，其中一个数是 28，另一个数是多少？
分析与解：
根据“两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。”先求出 4 与 252 的乘积，再用
积去除以 28 即可。
4×252÷28=1008÷28=36
【模拟试题】
1、24 的因数共有多少个？36 的因数共有多少个？24 和 36 的公因数是哪几个？其中最大的一个是？
2、一个长方形的面积是 323 平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）
3、两个自然数的乘积是 420，它们的最大公因数是 12，求它们的最小公倍数。
4、两个自然数相乘的积是 960，它们的最大公因数是 8，这两个数各是多少？
5、两个数的最小公倍数是 126，最大公因数是 6，已知两个数中的一个数是 18，求另一个数。
6、有一种长 51 厘米，宽 39 厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？
7、有三根铁丝长度分别为 120 厘米、90 厘米、150 厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，
每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
8、有两个不同的自然数，它们的和是 48，它们的最大公因数是 6，求这两个数。
9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得 3 个碗或 4 个碗或 5 个碗，都正好分完，这些碗
最少有多少个？
10、有 A、B 两个两位数，它们的最大公因数是 6，最小公倍数是 90，则 A、B 两个自然数的和是多少？
【试题答案】
1、24 的因数共有多少个？36 的因数共有多少个？24 和 36 的公因数是哪几个？其中最大的一个是？
答：24 的因数共有 8 个，36 的因数共有 9 个，24 和 36 的公因数是 1、2、3、4、6、12。其中最大的一
个是 12。
2、一个长方形的面积是 323 平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）
答：长方形的长是 19 厘米，宽是 17 厘米。
3、两个自然数的乘积是 420，它们的最大公因数是 12，求它们的最小公倍数。
答：它们的最小公倍数是 35。
4、两个自然数相乘的积是 960，它们的最大公因数是 8，这两个数各是多少？
答：这两个数分别是 24 和 40。
5、两个数的最小公倍数是 126，最大公因数是 6，已知两个数中的一个数是 18，求另一个数。
答：另一个数是 42。
6、有一种长 51 厘米，宽 39 厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？
答：至少需要 221 块水泥板。
7、有三根铁丝长度分别为 120 厘米、90 厘米、150 厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，
每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
答：每段最长 30 厘米，一共可以截成 12 段。
8、有两个不同的自然数，它们的和是 48，它们的最大公因数是 6，求这两个数。
答：这两个数是 42 和 6 或 18 和 30。
9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得 3 个碗或 4 个碗或 5 个碗，都正好分完，这些碗
最少有多少个？
答：这些碗最少有 60 个。
10、有 A、B 两个两位数，它们的最大公因数是 6，最小公倍数是 90，则 A、B 两个自然数的和是多少？
答：A、B 两个自然数的和是 48。
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