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四川省广元市2021届高三数学（理）5月第三次高考适应性试题（Word版附答案）

2021-05-31
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广元市高 2021 届第三次高考适应性统考数学试卷（理工类）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）．满分 150 分．考试时间 120 分钟．考生作答时，需将答案写在答題卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．第 I 卷（选择题共 60 分）注意事项：必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知集合  0 2A x x   ，  2 1 0B x x   ，则 A B  （） A． 1,2 B． 1,1 C． 1,2 D． 0,1 2．设 i 是虚数单位，则复数 (2 )(1 )i i  在复平面内对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知 : ( 1) 0p x x   ， : 1q x  ，则 p 是 q 的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．非零向量 a ，b  满足向量 a b  与向量 a b  的夹角为 2  ，下列结论中一定成立的是（） A． a b  B． a b  C． a b  D． / /a b  5．执行如图的程序，若输入 3n  ， 3x  ，则输出 y 的值为（） A． 4 B．13 C． 40 D．121 6．已知函数 ( ) ln 4 xf x x   ，则（） A．函数  f x 的图像关于点 2,0 对称 B．函数  f x 的图像关于直线 2x  对称 C．  f x 在 0,4 上单调递减 D．  f x 在 0,2 上单调递减，在 2,4 上单调递增 7．设 m ， n 是两条不同的直线， ，  是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A．若  ， m  ， n  ，则 m n B．若 m  ， / /m n ， / /n  ，则  C．若 m n ， m  ， n  ，则  D．若 / /  ，m  ，n  ，则 / /m n 8．数列 na 满足 1 1a  ，且  * 1 1n na a n n N     ，则 1 na       的前10项和为（） A． 9 11 B． 10 11 C． 20 11 D． 21 11 9． 2 3 9(1 ) (1 ) (1 )x x x      的展开式中 2x 的系数是（） A． 60 B．80 C．84 D．120 10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含一个有趣的数学问题——“将军饮马”即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 2 2 2x y  ，若将军从点  3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为 4x y  ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（） A． 2 5 B． 17 2 C． 17 D．3 2 11．已知定义在 R 上的偶函数  f x ，其导函数为  f x ，若 ( ) 2 ( ) 0xf x f x   ， ( 3) 1f   ，则不等式 ( ) 1 9 f x xx  的解集是（） A． ( , 3) (0,3)   B． 3,3 C． ( 3,0) (0,3)  D． ( , 3) (3, )   12．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b     的左，右焦点分别为 1F ， 2F ，过 2F 作圆 2 2 2:O x y a  的切线，切点为T ，延长 2F T 交双曲线 E 的左支于点 P ．若 2 22PF TF ，则双曲线 E 的离心率的取值范围是（） A． 2, 6 B． 5, C． 2, D． 2, 5 第 II 卷（非选择题共 90 分）注意事项：必须使用 0．5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0．5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷、草稿纸上无效．二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．） 13．已知等差数列 na 满足 2 5 8 15a a a   ，则 3 7a a  ________． 14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______． 15．有 4 名男生、3 名女生排队照相，7 个人排成一排．①如果 4 名男生必须连排在一起，那么有 720 种不同排法；②如果 3 名女生按确定的某种顺序，那么有840 种不同的排法；③如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法；④如果3 名女生中任何两名不能排在一起，那么有1440 种不同排法；则以上说法正确的有_______． 16．用  T n 表示正整数 n 所有因数中最大的那个奇数，例如： 9 的因数有1， 3 ， 9 ，则  9 9T  ， 10 的因数有 1 ， 2 ， 5 ， 10 ，则  10 5T  ．计算  2021(1) (2) (3) 2 1T T T T      ________．三、解答题：（本大题共 6 小题，第 22（或 23）小题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、计算步骤．） 17．已知 ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别是 a ，b ， c ，若 2sin( ) 8sin 2 BA C  ．（I）求 cos B ；（II）若 6a c  ， ABC 的面积为 2 ，求 b ． 18．广元某中学调查了该校某班全部 40 名同学参加棋艺社团和武术社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加棋艺社团未参加棋艺社团参加武术社团 8 10 未参加武术社团 7 15 （I）能否有 95% 的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关？（II）已知既参加棋艺社团又参加武术社团的8 名同学中，有3 名男同学，5 名女同学．现从这3 名男同学，5 名女同学中随机选5 人参加综合素质大赛，求被选中的女生人数 X 的分布列和期望．附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d       2 0p K k 0.10 0.05 0.025 0k 2.706 3.841 5.024 19．如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA  平面 ABC ， AB AC ， 2AB AC  ， 1 4AA  ，点 D 是 BC 的中点．（I）求证： 1AD C D ；（II）求平面 1ADC 与平面 1 1ABB A 所成二面角的正弦值． 20．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点为 F ．（I）若点  ,1C p 到抛物线准线的距离是它到焦点距离的 3 倍，求抛物线的方程；（II）点  ,1C p ，若线段CF 的中垂线交抛物线于 A ， B 两点，求三角形 ABF 面积的最小值． 21．已知函数 ( ) ln 2( )xf x e ax a R    ．（I）讨论函数  f x 的单调性；（II）当 2a  时，求函数 ( ) ( ) cos ln 2g x f x x   在 ,2      上零点个数．选考题：考生从 22、23 两题中任选一题作答，将选择的题号对应的方框用 2B 铅笔涂黑，多做按所答第一题计分． 22．选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆 : cos sinC     和直线 2: sin ( 0,0 2 )4 2l             ．（I）求圆C 与直线 l 的直角坐标方程；（II）当 (0, )  时，求圆 C 和直线 l 的公共点的极坐标． 23．选修 4-5：不等式选讲已知函数 ( ) | | | 2| ( R)f x x m x m     ，不等式 ( 2) 0f x   的解集为 ,4 ．（I）求 m 的值；（II）若 0a  ， 0b  ， 3c  ，且 2 2a b c m   ，求 ( 1)( 1)( 3)a b c   的最大值．广元市高 2021 届第三次高考适应性统考数学试卷（理工类）参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 1-5：ADBCC 6-10：ABCDB 11-12：AD 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．10 14． 6 3 15．②⑧④ 16． 20214 1 3  三、解答题：本大题共 6 小题，第 22（或 23）小题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分． 17．解：（1）由题意： 2sin( ) sin 8sin 2 BA C B   ， 22sin cos 8sin2 2 2 B B B  ，化简得 1tan 2 4 B  由 2 2 111 tan 15162cos 1 171 tan 12 16 B B B       （II）由（I） 8sin 17B  ，又 1 sin 22ABCS ac B   得 17 2ac  ．由余弦定理： 2 2 2 22 cos ( ) 2 2 cos 4b a c ac B a c ac ac B        所以 2b  18．解．（1）由 2 2 (8 15 7 10) 40 2500 40 0.673415 25 22 18 15 25 22 18K             则 2 3.841K  ，所以没有95% 的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关．（II）由题意： X 可取 2 ，3 ， 4 ，5 ． 2 5 5 8 10( 2) 56 CP X C    ， 2 3 3 5 5 8 30( 3) 56 C CP X C    1 4 3 5 5 8 15( 4) 56 C CP X C    ， 5 5 5 8 1( 5) 56 CP X C    X 的分布列为： X 2 3 4 5 P 5 28 15 28 15 56 1 56 5 15 15 1 25( ) 2 3 4 528 28 56 56 8E X          19．（I）证明：由 AB AC ， D 为 BC 的中点， AD BC  ，又 1CC  平面 ABC ， 1AD CC  又 1CC BC C ， AD 面 1 1BCC B ，由 1C D  面 1 1BCC B ， 1AD C D  （II）解：建立以 AB ， AC ， 1AA 为 x ， y ， z 轴的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ， (1,1,0)D ， 1(0,2,4)C 设 ( , , )n x y z 为平面 1ADC 的法向量， (1,1,0)AD  ， 1 (0,2,4)AC  则 1 0 0 AD n AC n          0 2 4 0 x y y z     可得 (2, 2,1)n   又显然 (0,2,0)AC  为平面 1 1ABB A 的法向量，由 2cos , 3| | n ACn AC n AC        ∣ 即平面 1ADC 与平面 1 1ABB A 所成二面角的正弦值为 5 3 ． 20．解：（I）抛物线的准线方程是 2 px   ，焦点坐标为 ,02 pF      ， 2 3 12 2 p pp p        0p  ， 2p  抛物线的方程为 2 2 2y x （II）由题意知线段CF 的中点坐标为 3 1,4 2 pM      ， 1 0 2 2 CFk p pp    ， 2AB pk   直线 AB 的方程为 1 3 2 2 4 p py x      设  1 1,A x y ，  2 2,B x y 由 2 2 1 3 2 2 4 y px p py x            ，得 2 2 34 2 02 py y    1 2 4y y    ， 2 1 2 3 22y y p      2 2 1 2 1 2 1 22 2 6 41 4| | 1 1 4 AB p AB y y y y y yk p p            又 2 2 4| | 12 2 ppCF p           32 2 2 2 6 4 4 41 1 6| | | |2 2 8 8ABF p p p S AB CF p p           令 2 ( 0)t p t  ，则 3( 4)( ) tf t t  ， 2 2 2( 4) ( 2)( ) t tf t t    当 0 2t  时，   0f t  ，  f t 递减，当 2t  时，   0f t  ，  f t 递增， 当 2t  即 2p  时， ABFS 取得最小值，最小值为 6 9 21088 4   ． 21．解：（1）定义域： R ， ( ) xf x e a   ， ①当 0a  时，由   0f x  恒成立，则  f x 在 R 上为增函数： ②当 0a  时，若   0f x  ，则 lnx a ；若   0f x  ，则 lnx a ，  f x 在 ( ,ln )a 上为减函数，在 (ln , )a  上为增函数．综上：当 0a  时，  f x 在 R 上为增函数：当 0a  时，  f x 在 ,ln a 上为减函数，在 ln ,a  上为增函数．（II）当 2a  时， ( ) 2 cosxg x e x x   ，则 ( ) 2 sinxg x e x    ①当 ,02x      时，由  ( ) 1 (sin 1) 0xg x e x      ， ( )g x 在 ,02     上为减函数，又  0 0g  ，  g x 在 ,02     上无零点； ②当 0, 2x     时， ( ) cos 0xg x e x    ， ( )g x 在 0, 2      上为增函数，又 (0) 1 0g    ， 2 1 02g e        ， 0 0, 2x      舍得  0 0g x  ， 0 02 sinxe x  ，当 0x x 时，   0g x  ；当 00 x x  时，   0g x  ； ( )g x 在  00, x 上为减函数，在 0 , 2x      上为增函数．由 (0) 0g  ，  0 0g x  ， 2 02g e         ， ( )g x 在 0, 2      上有两个零点； ③当 ,2x      时， ( ) 2 sinxg x e x    为增函数， ( ) 02g x g        ( )g x 在 ,2     上为增函数，由 2 1 02g e          ， ( )g x 在 ,2     上无零点；综上：  g x 在 ,2      上有两个零点． 22．解：（1）由 : cos sinC     可得 2 cos sin      ，则直角坐标方程为： 2 2x y x y   ，化简得 2 2 0x y x y    ．由 2: sin 4 2l       ， sin cos 1      ，则直角坐标方程为： 1y x  ，所以 : 1 0l x y   （II）联立方程组得 cos sin sin cos 1             ，消元 2 2sin cos cos2 1      ，由 (0, )  ， 2   即圆C 和直线l 的公共点的极坐标为 1, 2      ． 23．解：（1）由题意 ( 2) | (2 ) | | | 0f x x m x      ，则 2 2[ (2 )]x m x   即 22( 2) ( 2)m x m   的解集为 ,4 ，显然 2 0m   不符合条件，则 2 42 m   ， 6m  （II）由题意 2 12a b c   ，则 3 31 1 1 2 2 3 1( 1)(2 2)( 3) 4 322 2 3 2 a b ca b c                查看更多

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