资料简介
《图形中的规律》教学设计
【教案背景】
北师大版小学数学五年级上册第六单元《数学好玩》中的《图形中的规律》。
【教学课题】
图形中的规律
【教材分析】
《图形中的规律》作为一节数学实践活动课，以数学活动为线索安排教材内容，充分体现
学生自主活动、实践探究、合作交流的学习方式。因而在本节活动设计中，教材通过让学生
用小棒操作、列表、观察与发现、交流与讨论等活动，引导学生从不同角度探究图形规律的
活动中，体验探究的方式和方法，积累探究的经验与感受，享受数学活动所带来的学习乐趣。
【教学方法】
引导学进行观察总结，知识的迁移法；尊重学生的主体性，引导学生动手操作，观察发
现，分析证明规律；讨论概括并运用规律解决实际问题。
【教学目标】
1、学生通过摆小棒的直观操作图形，多种角度观察和寻找关系，尝试找出图形中规律。
2、通过观察活动中发现点阵中隐含的规律，培养学生动手操作能力，观察分析能力和抽
象概括能力。
3、在不断的操作观察、观察、讨论、概括和验证的数学活动，探索出一些简单的图形中
拼摆规律，获得一些解决实际问题的策略和方法。
【教学重点】：
在动手、动脑的活动中，初步体会寻找图形中规律的一般方法。
【学习难点】
学生自己用语言描述自己探究发现的过程，交流自己的想法。
【学习准备】
课前预习，动手摆一摆，多媒体课件、练习设计等。
【教学过程】
一、激趣导入，揭示课题
出示课件，找一找两组图形中有什么不一样的地方？
引出课题：图形中的规律
二、组织探究，构建认识
（一）初识分开摆三角形的规律
看大屏幕上的三角形抢答：
摆一个独立的三角形需要几根小棒？ 两个呢？三个呢？10 个呢？n 个呢？
理解“3n”的意义。
小结：三角形个数在增加，所用小棒的根数也跟着相应的增加。
认识新的摆法：除了这样独立摆三角形外，还可以这样摆三角形：课件出示连续摆的三
角形。
质疑：这样和前面的摆法有什么不同？
小结导入新课：小棒的根数是不是真的少了呢？像这样连续摆的三角形个数和小棒根数
之间又有怎样的变化规律呢？今天我们就共同做一次探究活动，探究图形中的规律。（板书课
题）
（二）探究连着摆三角形的规律
1、想一想，我们可以用什么方法研究它们之间的规律？
小结研究规律的方法
2、大屏幕出示小组探究活动的要求：
动手操作的要求：
（1）照着 的样子，摆连续的三角形。
（2）从摆第一个三角形开始，就摆一个记录一次，寻找三角形个数和小棒根数之间的关
系。
（3）当发现了规律后就来推算一下摆 10 个三角形需要多少根小棒。
（4）小组合作，一人填表，一人摆一摆，大家观察讨论。
摆成的图形（草图）
三角形
个数
小
棒
根
数
小棒根数（列算式）
1
2
3
4
...... ......
10
发现规律 n
3、学生以小组为单位，共同摆一摆，填一填。老师参与各个小组进行指导。
4、各个小组反馈交流：
预设一：在第一个三角形的基础上，每多摆一个三角形就增加 2 根小棒。
①本组一名同学展示表格并讲解，一名学生随机在黑板上摆出相应的图形。
②当摆到第二个连续的三角形时，教师追问：小棒怎样变成 5 根？在摆第二个三角形时
增加了几根小棒？
③摆到第三四个三角形同样追问：小棒又增加了几根？教师板书算式。
你发现了什么？
④教师引导学生回顾和描述规律：连续三角形每多摆一个三角形就增加 2 根小棒。
⑤简化算式，并理解算式中各数字及算式的含义，并将三角形个数与小棒根数对应起来。
⑥用同样的方法验证规律：如果摆 10 个三角形需要几根小棒？可以怎样列式？ 计算，
并摆小棒验证结果。
⑦小结发现规律的方法：摆一摆数一数或其它。
预设二：第一个三角形的由 1 根小棒增加 2 根组成，每增加一个三角形就增加 2 根小棒，
①学生分工介绍、摆图形，展示摆的过程和所得规律。教师根据学生的描述板书算式 1
＋2＋2＋2……
②将算式简化乘 1＋2×10，理解算式中各数字及算式的含义。重申发现的规律。
③引导用此方法验证规律。
④小结这种发现规律的方法。
预设三：将第二个独立三角形与第一个三角形连接，去掉共用的一根小棒，同样得到每
增加一个三角形就增加 2 根小棒。
①学生分工介绍表格并摆小棒。重点展示出将两个独立的三角形连起来，有共用的边，
因此在共用边的位置上多余一根小棒，需要去掉，即先用 3 根，去掉多余的一根，只用两根，
也就是增加一个三角形，只需增加 2 根小棒。
②学生讲解和展示过程中，教师适时追问：为什么减去 1？摆第三个三角形时为什么减
去 2？
③引导学生的观察不同数量三角形及其小棒根数的关系。
④与前面方法得到的规律比较
⑤用此方法推算 10 个三角形需要小棒的根数，理解算式并验证。
⑥回顾发现规律的该方法。
（三）探究点阵中的规律
1、探究一组正方形点阵的规律。
师：我们一起来看看数学家们当年研究的点阵图，边看边说出各个点阵的点子数。
（依次出示前四个正方形点阵图，并逐步引导学生想像、猜测：下一个点阵图会是什么样子
呢？）
生：第一个是 1 个点；第二个是 4 个点；
师：在心里想第三个、第四个点阵图是什么样子。（示图）与你的想像一样吗？
生 1：一样。就是 9 个点。
生 2：我知道第四个点阵有 16 个点，肯定是的。
（随着点阵图的依次出现，学生的思维逐渐活跃，当第三个点阵图出现的时候，学生不用数，
已经忍不住地说出了点数。说明学生已经发现了这组正方形点阵中的规律。但这时，教师没
有急于让学生发表自己的看法，而是给学生留出了完善自己想法的时间，同时也暗示学生：
规律的呈现不能依靠一个或几个图形来归纳，应该有耐心地继续自己的观察活动。）
师：除了能说出各个点阵的点数之外，仔细观察点阵图：你们还有什么其它的发现？
生 1：第一个点阵是 1 个点，其余的都是正方形的。
生 2：我发现从第一个图开始点子数分别是加 3、加 5、加 7。
生 3：我发现它们的点子数能写成 1×1、2×2、3×3、4×4。
师：你们真了不起！这种形状的点阵就是正方形点阵，大家不但用数字表示每个点阵的点数，
还能用算式来表示这组点阵的规律。根据刚才发现的规律，想一想：第五个点阵是什么样子
呢？自己画出来，并用算式表示点数。
（学生活动：独立画出第五个 5×5 的点阵图，全班交流。）
师：照这样的规律继续画下去，第 9 个点阵的点数如何用算式来表示？第 100 个呢？第 n 个
呢？在小组内交流一下。
生：第九个点阵表示为 9×9；
第 100 个点阵表示为 100×100；
第 n 个点阵就表示为 n×n。
（结合发现的规律，引导学生逐步完善自己的想法，建立总结正方形点阵规律的模型。）
师：那么你们觉得每个正方形点阵的点子总数与什么有关系？在小组内讨论交流。
生 1：点子总数与正方形点阵每一排的点子数有关系。
生 2：就是边长乘边长。
生 3：还与是第几个有关系，第一个就是 1×1，第二个就是 2×2，第三个就是 3×3，一直这
样数下去。
（学会用简单的语言表述自己的想法，使得初步的形象感知得到提升）
师：说得真好！每个正方形点阵的点子总数可以看作是一个相同数字相乘的积，这个数字与
点阵的序号有关，与每个正方形点阵每排的点子数也有关系。
2、同一个点阵的不同划分中的规律。
师：刚才我们研究了一组正方形点阵中隐含的规律，那么对于同一个点阵来说，如果划分的
方法不同，所呈现的规律也就不同。
请大家仔细观察第五个正方形点阵中点的划分方法，你能发现什么规律？与同桌交流你的想
法。
生 1：我发现都是用折线分开的。
生 2：我发现从短的线开始，每条线内的点分别是 1、3、5、7、9。
师：大家的发现真不少！那如果把每条线所包围的点子数记下来，如何用算式来表示？
学生汇报：
第一条线： 1 = 1；
第二条线： 1＋3 = 4；
第三条线： 1＋3＋5 = 9；
第四条线： 1＋3＋5＋7 = 16；
师：你们觉得这组算式有什么特点？
生 1：一个算式比一个算式多加一个数。
生 2：它们的得数正好是刚才那一排点阵的点子数。
生 3：都是连续的奇数在相加。
师：是从几开始的连续奇数呢？
生：是从 1 开始的连续奇数在相加。
师：如果按这样的划分方法划分第六个正方形点阵，它的点数该如何用算式来表示？
生：1＋3＋5＋7＋9＋11 ＝ 36。
师：刚才我们是把这个 5×5 的正方形点阵用折线进行了划分，你们还有哪些不同的划分的方
法？如何用算式表示？在小组内研究一下。
学生汇报：
生 1：我们是用横线划分的，算式是：5＋5＋5＋5＋5＋5 ＝ 25。
生 2：还可以用竖线划分，算式也是：5＋5＋5＋5＋5＋5 ＝ 25。
生 3：这些都可以写成是 5×5 ＝ 25。
生 4：我们的方法不一样。我们是用斜线划分的，用算式表示就是 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2
＋1。
师：这种划分方法有新意！仔细观察这个算式，你们发现了什么？
生 1：算式里最大的数是 5。
生 2：这个算式是从 1 开始加到 5 再加回到 1。
生 3：这个算式的两边是对称的，5 在中间。
生 4：这个点阵的点数是就中间那个数字 5 乘 5 的积。
师：照这样的规律类推，第六个正方形点阵的点数如何表示？第 9 个呢？第 n 个呢？
生 1：第六个点阵的点数是 1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1。
生 2：第九个点阵的点数是 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1。
生 3：第 n 个点阵的点数是……，我说不完。
师：说不完，我们可以借助什么来表示？
生：用省略号，这样表示：1＋2＋3＋……＋n＋……＋3＋2＋1。
师：你太聪明了，帮我们解决了一个大难题，谢谢你。
（在这里让学生寻找正方形点阵的不同划分方法，把教材分散处理的关于正方形点阵的不同
划分方法集中探究，便于学生思维的延续和拓展，不至于出现思维上的断层。这样设计既符
合学生的探究心理和学习习惯，又给学生提供了自主探究的空间，体现了学生学习的自主性，
还用另一种方式解读了“练一练”中的第一题。培养了学生从不同的角度去发现问题，总结
概括规律的能力。）
三、应用规律，概括提升
出示课件：聪明屋
第一关：有关点阵的知识
第二关：有关摆三角形的规律
小结：通过刚才我们的研究，你认为当许多图形排列在一起时，我们应如何去寻找规律？
（我们要从最简单的图形开始，摆一摆，数一数，记一记，从中观察寻找其规律）
四、综合运用，陶冶情操
出示：请你欣赏———数学美
五、课堂总结
在今天的实践活动中你有哪些收获？
六、板书：
图形中的规律
摆三角形 点阵中的规律
三角形小棒的根数：2n+1 1 = 1*1=1=1
4=2*2=1 ＋
3=1+2+1
9=3*3=1＋3＋5 =1+2+3+2+1
16=4*4=1 ＋ 3 ＋ 5 ＋
7=1+2+3+4+3+2+1
【教材反思】
我执教的是北师大版五年级上册第六单元之后的综合实践活动《图形中的规律》。图形中
的规律这个专题旨在让学生经历一个直观操作、探索发现的过程，体验发现规律的方法，对
于具体所涉及到的规律是什么，在此不作具体要求。
回顾教学过程，本节课的核心活动就是让学生动手摆连续的三角形。课堂上，以学生熟
悉的用小棒摆三角形为思维起点，给了学生充足的时间和空间，让学生在小组合作中摆连续
的三角形，并边摆边填写表格，其中就隐含着图形中的规律，学生有图可依、有表可据；要
求他们说出解决问题的办法，学生通过数图中小棒的根数和看表中数据的规律，这一环节看
似简单操作，但学生的摆、填、数、看中有思考，是规律悟出的基础，我以为不应因满足于
得出答案而过早地将具体的规律抽象化，这样的经历是不可或缺的。于是我又组织学生在汇
报时重现发现规律的过程就是让学生在黑板上亲自摆一摆，一边摆一边说，一边记录数字。
图形、数形的结合，使学生很快就发现了规律，这就将其过程开放化了，让大家看到的是完
整的过程，学生们不仅发现了规律，也共享了方法，将抽象的结论具体化，学生的汇报操作
就代替了老师枯燥的讲解，而且让学生对发现规律的方法和规律一目了然，虽然这个过程很
慢，但是很有必要，这是展示学生学习个性的过程，是学生思考的过程，也是学生互相学习
的过程，更为学生积累学习方法奠定了基础，将全体学生的思考由感性引向了深刻、理性。
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