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平行四边形与特殊的平行四边形同步练习

2021-05-26
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-- -- 平行四边形的性质与判定一、总结平行四边形的性质与判定原理：性质原理判定原理边 1、两组对边分别平行； 2、两组对边分别相等； 1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；角 3、对角相等；邻角互补； 4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；线 4、对角线互相平分。 5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。【问题 1】我们学习平行四边形的性质是从哪几个方面来研究的？从“边、角、线”三个方面，其中“线”指的是对角线。【问题 2】判定一个四边形是平行四边形必须有几个条件？必须具备两个条件；注意判定原理 5“对角线互相平分”也是两个等量。二、总结与平行四边形相关的性质：（注意，以下性质只可用来指导解证题，在填空、选择题中可直接使用，但在解答题中不可直接当作原理使用）图 P-01 -- -- 【平行四边形对角线相关性质】 1 平行四边形每一条对角线将其分成两个全等的三角形；平行四边形的对角线将其分成四个面积相等的小三角形；相对的两个小三角形全等；相邻两个三角形的周长之差就等于边长之差。如图 P-01，点 O 是对角线 AC、BD 交点，则ABO、 ADO、CDO、CBO 的面积相等。依据是每相邻两个三角形都是“等底同高”。〖练习〗⒈如图 P-01，点 O 是对角线 AC、BD 交点，若 S⊿ABO=2，则 S⊿ABD= ；S ABCD= ⒉如图 P-01，点 O 是对角线 AC、BD 交点，则图中共有对全等三角形。 ⒊如图 P-01，已知，ABCD 的周长为 28，点 O 是对角线 AC、BD 交点，ABO 的周长比CBO 的周长多 4，则 AB= ，BC= ⒋如图 P-01，点 O 是对角线 AC、BD 交点，已知 AB=8，BC=6，⊿ABO 的周长为 17，则CBO 的周长= 2 在平行四边形内，过对角线交点且两端点在平行四边形边上的线段一定被对角线交点平分；如图 P-02，点 O 是对角线 AC、BD 交点，线段 EF 过点 O，则 OE=OF；证AEO≌CFO 即可〖练习〗⒈如图 P-02，ABCD 中，EF 过对角线交点 O，若 AB=5，BC=4，EO=3，则四边形 CDEF 的周长为图 P-02 -- -- ⒉如图 P-03，ABCD 中有圆 O，请你画一条直线，将此平行四边形及圆 O 的面积分成相等的两部分。 ③ 若设平行四边形两条对角线长分别为 2 a 和 2b (a >b )，则此平行四边形每条边长 x 的取值范围为 ba  < x < ba  〖练习〗⒈如图 P-01，若 AC=8，BD=12，则 AB 的取值范围是 ⒉三角形一边上的中线的取值范围为：大于另两边之差，小于另两边之和。如图 P-04，已知 D 为ABC 中 BC 边上的中点， AB=5，AC=7，求 AD 的取值范围。〖提示〗延长 AD 至 E，使 DE=AD，连结 BE、EC，易证得ABEC；记住此法：倍长中线法，是常用的辅助线作法【四边形四边中点连线性质】 ④ 顺次连结四边形四边中点所得的四边形是平行四边形；如图 P-05，连结 AC，由三角形中位线原理可得： HG、EF 都平行且等于 2 1 AC， ∴HG 平行且等于 EF，得平行四边形注：此性质在学习了菱形、矩形后还有扩充。图 P-05 图 P-03 图 P-04 -- -- 【等腰三角形与平行线相关性质】 ⑤ 从等腰三角形底边上任一点做两腰的平行线，可得一平行四边形和两个小的等腰三角形，且平行四边形的周长等于两腰长之和；如图 P-06，AB=AC，DE∥AC，DF∥AB 易得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠B=∠C， ∴∠1=∠C，∠2=∠B 〖练习〗如图 P-06，ABC 中，AB=AC=6，D 是 BC 上一点，DE∥AC，DF∥AB，求四边形 AFDE 的周长。 ⑥ 一条角平分线与平行线相交时常会出现等腰三角形；如图 P-07，AB∥CD，∠1=∠2，则易证 ∠1=∠3，∴∠2=∠3，得等腰AED 〖练习〗⒈如图 P-08，在 ABCD 中，AB=7，AD=3， ∠DAB 的的平分线交 CD 于 E，交 BC 的延长线于 F，求 CF 长图 P-06 图 P-07 图 P-08 -- -- ⒉ 如图 P-09，ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于点 F，DE∥BC 且过点 F 求证：DE=BD+EC 【中位线相关性质】 ⑦ 三角形中位线原理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半；三角形中位线原理推论：过三角形一边中点且平行另一边的直线必平分第三边。如图 P-10，D、E 分别为 AB、AC 中点，则有： DE∥BC，DE= 2 1 BC；若已知 D 为 AB 中点， DE∥BC，则有：AE=CE 〖练习〗证明三角形中位线原理推论已知：求证：证明：图 P-09 图 P-10 -- -- ⑧ 三角形的三条中位线将原三角形分成的四个小三角形的全等，周长都等于原三角形周长的一半，面积都等于原三角形面积的 1/4。如图 P-11，D、E、F 分别是ABC 三边中点，则图中四个小三角形都全等，且面积都等于ABC 面积的 1/4；周长都等于ABC 周长的 1/2；图中共有 3 个平行四边形。〖练习〗如图 P-11，D、E、F 分别是ABC 三边中点， AB=6，AC=7，BC=10，则DEF 的周长为三、典型题例与解题思路【例 1】如图 P-12，ABCD 中，E、F 为 AC 上两点，且 AE=CF，求证：四边形 DEBF 是平行四边形〖思路分析〗本类题型是在平行四边形中求证某四边形是平行四边形，证题思路较有规律，都是先由原平行四边形得到一些条件，再证得其它条件，或由全等三角形或由平行四边形的判定原理得到所要求证的四边形是平行四边形。在证本类题型时，首先要想清楚自己要选用哪种方法（原理）来证。几何证明题的方法往往有多种，不一定要是最简单的，但在找条件时不能乱，不要所有能用的不用的都写上去。以本题为例，我们要证图 P-11 图 P-12 -- -- BFDE，可以选用的方法有“两组对边分别相等”、 “两组对边分别平行”、 “一组对边平行且相等”、 “对角线互相平分”等方法，选定一种后，就找对应的条件。我们先看第一种方法：两组对边分别相等。要证 DE=BF，BE=DF，我们可以用全等来证，先用AEB≌ CFD 得 BE=DF，再同理得 DE=BF。〖解题格式〗证： ∵有ABCD （已知） ∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形性质） ∴∠1=∠2 （两直线平行，内错角相等）又∵AE=CF （已知）在AEB 和CFD 中： AB=CD ∠1=∠2 AE=CF ∴AEB≌CFD （SAS） ∴BE=DF （全等性质）同理：DE=BF ∴ 有DEBF （两组对边分别相等的四边形是平行四边形）〖同题练习〗 ⒈ 用“一组对边平行且相等”来证： -- -- ⒉ 用“对角线互相平分”来证：〖同类练习〗 ⒈ 如图 P-13，ABCD 中，E、F 分别为 AB、CD 中点， AF、DE 相交于 G，CE、BF 相交于 H。求证：四边形 EHFG 是平行四边形〖思路分析〗可以先用来证 DEBF，从而得 DE∥BF；再同理证得 ∥ ；最终用的原理来证得。〖解题过程〗 ⒉ 如图 P-14，ABCD 中，E、F 分别为 AB、CD 上的图 P-13 -- -- 点，且 DF=BE，求证：AF=CE 〖思路分析〗可以用全等的方法证，也可以直接证AECF，从而得对边相等。〖解题过程〗方法一：用全等的方法方法二：先证AECF ⒊ 求证：平行四边形一条对角线的两个个端点到另一条对角线的距离相等。（要求画图，写出已知、求证并证明）图 P-14 -- -- 【例 2】如图 P-15，O 是ABC 内一点，D、 E、F、G 分别是 AB、AC、OB、OC 的中点求证：四边形 DEFG 是平行四边形〖思路分析〗此类题型是利用中位线原理来证题，要证 DEFG，只要证一组对边平行且相等就可以了；我们可以选定 DE 与 FG 〖解题过程〗证：∵ 在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点 ∴ DE∥BC，DE=1/2BC （三角形中位线性质）同理：FG∥BC，FG=1/2BC ∴ FG=DE （等量代换）FG∥DE ∴ 有DEFG（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）〖练习〗求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。（写出已知、求证并证明）图 P-15 -- -- 菱形的性质与判定一、菱形的性质与平行四边形的性质比较平行四边形菱形变化情况边 1、对边平行 1、对边平行不变 2、对边相等 2、四边相等升级角 3、对角相等 3、对角相等不变线 4、对角线互相平分 4、对角线互相平分且垂直升级 5、每条对角线平分每一组对角新性质二、菱形的性质与判定比较性质判定边 1、对边平行 2、四边相等 1、四条边都相等的四边形是菱形 2、一组邻边相等的平行四边形是菱形 -- -- 角 3、对角相等线 4、对角线互相平分且垂直 3、对角线互相垂直平分的四边形是菱形 4、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 5、每条对角线平分每一组对角三、观察上表，你能发现什么特点？除了上表中的四种判定法之外，你还能找出哪些判定菱形的方法？所有这些方法，你能发现它们的共同点吗？你能不能用一句话说明，到底怎样判定菱形的？上表的特点是：判定菱形，只用到了边与线，而且用边来判定时只用到了“四边相等”的性质；用“线” 来判定时只用到了“互相垂直平分”的性质。另外，如果已知的是四边形，就必须要有三个条件才能证得菱形，如果已知的是平行四边形，那么就只要再有一个条件就可以了。除了表中的四种方法，还可以这样判定菱形：例如，先用“两组对边分别平行”来证一个四边形是平行四边形，再证它的一组邻边相等，或证它的对角线互相垂直……这样就有很多的方法了。如果用一句话来总结，那就是：只要能先证它是平行四边形，再证它一组邻边相等或对角线互相垂直就可以了！四、菱形中的重要解题性质【菱形的面积与对角线关系原理】菱形的面积等于对角线乘积的一半如图 L-01，菱形 ABCD 对角线相交于 O，则图 L-01 -- -- S 菱形 ABCD= 2 1 ACBD 【含 60o 或 120o 内角的菱形相关性质】菱形中若有一内角为 60o 或 120o，则菱形被较短的对角线分成两个等边三角形；较长的对角线等于边长的 3 倍。如图 L-01，∠BAD=60o，则有：等边ABD，等边BDC ， AC= 3 BD= 3 AB 【菱形的一些基本性质】 ⒈菱形的四条边都相等，周长=边长4； ⒉如图 L-01，菱形被两条对角线分成的四个小直角三角形都全等； ⒊如图 L-02，菱形四边中点连线所得四边形是矩形；证明：连结 AC、BD，交点为 O，AC 交 HE 于 P， BD 交 HG 于 Q 由中位线原理可得 HG 和 EF 都平行且等于 1/2AC， ∴HG 与 EF 平行且相等，∴有EFGH 又∵AC⊥BD，AC∥HG，∴HG⊥BD （垂直于平行线中的一条，必垂直另一条） ∴ ∠HQO=90o，同理∠HPO=90o，又∵∠POQ=90o，∴∠QHE=90o， ∴ 有矩形 EFGH ⒋四边形 ABCD 对角线 AC、BD 相交于 O，从以下条件中选取 3 条，可以判定四边形 ABCD 是菱形的方法共有 8 种：①AB=BC，②AB=CD，③BC=AD，④ AO=CO，⑤BO=DO，⑥AC⊥BD，⑦AB∥CD，⑧AD∥ BC ①②③“四条边相等的四边形”或“一组邻边相等的平行四边形” 图 L-02 -- -- ①④⑤、①⑦⑧、①②⑦、①③⑧：“一组邻边相等的平行四边形” ②③⑥、⑥⑦⑧：“对角线互相垂直的平行四边形” ④⑤⑥：“对角线互相垂直且平分的四边形” 五、典型题例与思路分析证一个四边形是菱形，有两种思路：可以先由两个条件证得平行四边形，再加一个条件证得菱形；或者直接由三个条件证得菱形。【例 1】如图 L-03，AD 是ABC 的一条角角平分线， DE∥AC 交 AB 于 E，DF∥AB 交 AC 于 F，求证：四边形 AFDE 是菱形。〖思路分析〗本例明显可先证得AFDE，再加上一个条件“邻边相等”即可得菱形。证：∵DE∥AC，DF∥AB ∴DE∥AF，DF∥AE ∴有AFDE ∵AD 是角平分线 ∴∠1=∠2 ∵DE∥AC ∴∠3=∠2 ∴∠1=∠3 ∴AE=DE ∴有菱形 AFDE（一组邻边相等的平行四边形是菱形）〖同类练习〗 ⒈如图 L-04，ABC 中，∠C=90o，AD 是角平分线，ED ⊥BC，DF∥BC 求证：四边形 AEDF 是菱形图 L-03 图 L-04 -- -- ⒉如图 L-05，ABC 中，AB=AC，O 是 BC 中点，OG⊥ AB 于 G，OD⊥AC 于 D，DE⊥AB 于 E，GF⊥AC 于 F， GF、DE 相交于 P 求证：四边形 ODPG 是菱形【例 1】如图 L-06，ABCD 的对角线 BD 的垂直平分线 EF 分别交 AB、CD、BD 于 F、E、O 求证：四边形 DFBE 是菱形。〖思路分析〗本例很显然可以利用对角线互相垂直平分来证菱形，我们可以用全等来证得对角线互相平分。证：∵ 有ABCD ∴ AB∥DC ∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∵ EF 垂直平分 BD ∴ DO=BO ∴DOE≌BOF ∴ OE=OF ∵ EF⊥BD ∴有菱形 DFBE（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）〖同类练习〗 ⒈如图 L-07，过ABCD 的对角线交点 O 作互相垂直的两条直线分别交ABCD 四条边于 E、F、G、H 四点求证：四边形 EFGH 是菱形图 L-05 图 L-06 图 L-07 -- -- 〖综合练习〗 ⒈☆☆☆如图 L-08，ABC 中，∠ACB=90o，AD 是角平分线，DF⊥AB 于 F，CD⊥AB 于 E，求证：四边形 CDFG 是菱形〖提示〗用全等可证 CD=DF，CG=GF，再证∠3=∠4 得 CD=CG，即四条边相等 ⒉☆☆☆如图 L-09，E 为四边形 ABCD 边 AB 上一点，且 AED 和EBC 都是等边三角形，F、G、H、I 分别是四边中点求证：四边形 FGHI 是菱形〖提示〗连结 AC 和 BD，先证AEC≌DEB，得 AC=BD；再由中位线原理可得 HI=FG=1/2AC，EI=HG=1/2BD，即四条边都相等图 L-08 -- -- ⒊如图 L-10，AB∥EF，∠1=∠2，DC=DF，求证：四边形 DCEF 是菱形 ⒋如图 L-11，ABCD 中，EF∥BD，BE=BG，求证：①∠E=∠F ②ABCD 是菱形图 L-09 图 L-10 -- -- 矩形的性质与判定一、平行四边形、菱形、矩形的性质比较平行四边形菱形矩形边 1、对边平行 2、对边相等 1、对边平行 2、四边相等 1、对边平行 2、对边相等角 3、对角相等 3、对角相等 3、四角相等（90o）线 4、对角线互相平分 4、对角线互相垂直平分 5、对角线平分每一组对角 4、对角线互相平分且相等二、矩形的性质与判定比较性质判定边 1、对边平行 2、对边相等角 3、四角相等（90o）1、四个角都是直角的四边形是矩形 -- -- 2、一个角是直角的平行四边形是矩形线 4、对角线互相平分且相等 3、对角线互相平分且相等的四边形是矩形 4、对角线相等的平行四边形是矩形三、平行四边形、菱形、矩形的判定方法比较平行四边形菱形矩形边 1、两组对边分别平行 2、两组对边分别相等 1、四条边都相等的四边形 3、一组对边平行且相等 2、一组邻边相等的平行四边形角 4、两组对角分别相等 1、四个角都是直角的四边形 2、一个角是直角的平行四边形线 5、对角线互相平分 3、对角线互相垂直平分的四边形 3、对角线互相平分且相等的四边形 4、对角线互相垂直的平行四边形 4、对角线相等的平行四边形四、菱形、矩形的比较 -- -- ⒈二者都是特殊的的平行四边形，菱形是将平行四边形的一组邻边相等，矩形是将其一组邻角相等；所以菱形的角方面没有变化，而矩形的边方面没有变化； ⒉菱形四边相等，矩形四角相等；菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线相等； ⒊二者都既是中心对称图形，又是轴对称图形；对称中心都是对角线交点，对称轴都有 2 条，菱形的 2 条是对角线所在直线，矩形 2 条是对边的中垂线； ⒋菱形四边中点连线所得是矩形，矩形四边中点连线所得是菱形； ⒌菱形对角线交点到四边距离相等，矩形对角线交点到四个顶点距离相等； ⒍二者的判定都可以先判定平行四边形再加一个条件就可以了。五、练习 ⒈如图 J-01，四边形 EFGH 是由ABCD 四个内角的角平分线围成的求证：四边形 EFGH 是矩形〖提示〗证∠1+∠2=90o，则∠AED=90o，同理得出另三个角都等于 90o 图 J-01 -- -- ⒉求证：顺次连结矩形四边中点所得四边形是菱形。〖提示〗证四条边都等于对角线长 ⒊如图 J-03，O 为菱形 ABCD 对角线交点，过 O 点作 AD、AB 的垂线，与四边分别相交于 E、F、G、H 求证：四边形 EFGH 是矩形〖提示〗由菱形性质可知∠1=∠2，并由角平分线原理知 OH=OE；同理可得 OE=OF，OF=OG，所以 HF 与 EG 相等且互相平分，得矩形图 J-02 图 J-03 -- -- ⒋求证：①菱形对角线交点到四边的距离都相等；② 矩形对角线交点到四个顶点的距离都相等。 ⒌如图 J-04，矩形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于 O，BE⊥ AC 于 E，CF⊥BD 于 F 求证：BE=CF ⒍如图 J-05，过矩形 ABCD 顶点 A 作 AE∥BD，交 CD 延长线于 E，猜想AEC 的形状并证明图 J-04 图 J-05 -- -- ⒎如图 J-06，点 E 是矩形 ABCD 中 CD 边上一点，F 是 AD 边上一点，EF⊥BE 且 EF=BE，已知矩形周长为 22cm，CE=3cm，求 DE 长正方形的性质与判定一、正方形的性质与判定比较性质判定边 1、对边平行； 2、四边相等； 1、一组邻边相等的矩形；角 3、四角相等（都等于 90o） 2、一个角是直角的菱形；线 4、对角线互相平 3、对角线相等的菱形；图 J-06 -- -- 分、垂直且相等 4、对角线垂直的矩形； 5、对角线互相平分、垂直且相等的四边形二、正方形判定方法 ① 简单地说，要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形；如上表中的判定原理 1—4，都是这种方法； ② 判定正方形需要四个条件，比较平行四边形、菱形和矩形的判定，判定平行四边形只要两个条件，判定菱形和矩形都要三个条件； ③ 也可以先判定一个四边形是平行四边形，再加一个条件判定成菱形（或矩形），最后再加一个条件判定成矩形（或菱形），就成了正方形。三、平行四边形、菱形、矩形与正方形性质比较平行四边形菱形矩形正方形边 1、对边平行 1、对边平行 1、对边平行 1、对边平行 2、对边相等 2、四边相等 2、对边相等 2、四边相等角 3、对角相等 3、对角相等 3、四角相等 3、四角相等对角线 4、对角线互相平分 4、对角线互相平分且垂直 4、对角线互相平分且相等 4、对角线互相平分、垂直且相等 -- -- 对称性 5、中心对称图形，对称中心是对角线交点 5、中心对称图形，对称中心是对角线交点 5、中心对称图形，对称中心是对角线交点 5、中心对称图形，对称中心是对角线交点 6、轴对称图形，两条对角线所在直线是对称轴 6、轴对称图形，两条对边的中垂线是对称轴 6、轴对称图形，两条对角线所在直线、两条对边的中垂线共是 4 条对称轴四、例题与练习【例】如图 Z-01，RtABC 中，∠ACB=90o，CD 平分∠ ACB，DE⊥BC 于 E， DF⊥AC 于 F，求证：四边形 CFDE 是正方形。〖思路分析〗如前所述，要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形；或反之亦然。本例我们可以先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；或先证它是菱形，再证它有一个直角。证法一：先证矩形，再证一组邻边相等证： ∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB=90o， ∴∠ACB=∠CFD= ∠CED= 90o， ∴有矩形 CFDE （三个角是直角的四边形是矩形）又∵CD 平分∠ACB， DE⊥BC，DF⊥AC ∴DE=DF（角平分线上的点到两边的距离相等）图 Z-01 -- -- ∴有正方形 CFDE（一组邻边相等的矩形是正方形）证法二：先证菱形，再证一个内角为 90o 证：∵DE⊥BC ∴∠DEB=90o，又∵∠ACB=90o， ∴∠ACB=∠DEB ∴DE∥CF 同理 DF∥CE ∴有CFDE 又∵CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC ∴DE=DF（角平分线上的点到两边的距离相等） ∴有菱形 CFDE 又∵∠DEB=90o ∴有正方形 CFDE（一个角是直角的菱形是正方形）〖练习〗 ⒈如图 Z-02，矩形 ABCD 中，AE 平分∠DAB，交 CD 于 E，EF⊥AB 于 F 求证：四边形 AFED 是正方形〖提示〗用“一组邻边相等的矩形是正方形” ⒉如图 Z-03，在正方形 ABCD 中，AE=BF，AF、ED 相交于 G 图 Z-02 -- -- ①求证：AF=DE ②求证：AF⊥DE 〖提示〗①证ABF≌DAE（SAS） ②证∠2+∠3=90o：由①得∠1=∠3；∠1+∠2=90o ⒊① 如图 Z-04，正方形 ABCD 对角线相交于 O，E 为 AC 上一点，过 A 作于 G，AG 交 BD 于 F，求证：OE=OF 〖提示〗证AOF≌BOE（AAS） ② 如图 Z-05，若点 E 在 AC 的延长线上，AG⊥BE 交 EB 延长线于 G，AG 交 DB 延长线于 F，其它条件不变，OE=OF 还成立吗？请证明你的结论图 Z-03 图 Z-04 图 Z-05 -- -- 【实践题】只给你测量长度的工具，怎样测出一个矩形的物件是否合格？【实践题】不用任何工具，怎样检验一张纸片是正方形？图 Z-04 图 J-11 -- -- 【专题一】纸片折叠题型此类题型的关键在折叠前后的等量关系，要能找到哪些线段和角是不变的，它们是题中的隐含条件，要注意应用。 ⒈☆☆☆如图 ZD-01，将ABCD 纸片沿 EF 折叠，使 C 点正好落在 A 点，D 点落在 G 点，①求证：ABE≌AGF ②判断四边形 AECF 是什么形，并证明〖提示〗①折叠之后的等量关系要清楚： ∠D=∠G，∠BAD=∠BCD，AG=CD，AE=EC 再由ABCD 得∠D=∠B，AB=CD；最后证 ∠1=∠2，三个条件就具备了 ②AE=EC，AE∥EC，可证AECF，由①可知 AE=AF，所以可得它是…… ⒉☆☆☆如图 ZD-02，将一矩形纸片沿 GF 折叠，使点 C 与 A 重合，点 D 落在 E 处，找出并证明图中的全等三角形图 ZD-01 图 ZD-02 -- -- ⒊☆☆如图 ZD-03，两张宽度相同的小纸条叠放在一起，围成一个四边形 ABCD，判断这个四边形的形状并证明〖提示〗宽度相同，即高相等，利用面积法可证得 AB=AD；而ABCD 的证明就…… ⒋☆☆如图 ZD-04，将矩形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，C 点落在 F 处，BF 交 AD 于 E。已知 AB=4，BC=8，求 DE 长〖提示〗设 DE= x ，则 AE=8- x ；易证∠1=∠3 得 BE=DE= x ，在 RtABE 中，用勾股定理列出方程即可解得 x 图 ZD-03 图 ZD-04 -- -- ⒌如图 ZD-05，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠后，点 B 到达 B的位置， BC 与 AD 交于点 E，求证： BD ∥AC 〖提示〗易证等腰ACE 与等腰BDE，则∠1=∠2，∠ 4=∠5，又由于∠AEC=∠BED，则∠1=∠2=∠4=∠5，得证平行。 ⒍如图 ZD-06，将矩形纸片沿 AE、EF 折叠，使 C 点落在 G 处，B 点落在 H 处；已知∠2=30o，AB= 3 ，求 BC 长图 ZD-06 图 ZD-05 -- -- ⒎如图 ZD-07，在矩形纸片 ABCD 中，AB=3 3 ，BC=6，沿 EF 折叠后，点 C 落在 AB 边上的 P 处，点 D 落在 G 处，AD 与 PG 交于 H，∠1=30o ①求 BE、DF 的长 ②求四边形 PEFH 的面积〖提示〗设 BE= x ，则 EC=6- x =EP，由∠1=30o 得 BE=1/2PE 求出 x 及 PB、PA、PH、 HG，再证∠1=∠3=∠4=30o 可求出 GF，而 DF=GF；各条线段求出后，四边形 PEFH 的面积就等于矩形总面积减去两个三角形及一个梯形面积，或者用梯形面积减去FGH 的面积 ⒏ ☆☆☆☆☆如图 ZD-08，已知矩形纸片 ABCD，AB=2，AD=1，图 ZD-07 -- -- 将其沿 FG 折叠，使 A 点落在 CD 边上 E 点处，连结 AE，交 FG 于 M，过 M 作 MN∥AB 交 BC 于 N，若 MN=ME，求 MN 的长〖提示〗由折叠含义可知：FG 垂直平分 AE，所以 MN=ME=1/2AE，连结并延长 EN，交 AB 延长线于 P，由中位线原理推论可得 N 为 PE 中点，且可证得 EC=BP， MN=1/2AP，所以AP=AE；设EC= x ，则DE=2- x ，AE=AP=2+ x ，在 RtADE 中，用勾股定理可得方程：12+（2- x ）2=（2+ x ）2，最后答案为 MN=17/16 【专题二】动点问题题型 ⒈如图 D-01，四边形 ABCD 中，AD∥CB，且 AD>BD， BC=6cm，动点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，P 以 1cm/s 图 ZD-08 图 D-01 -- -- 的速度由 A 向 D 运动，Q 以 2cm/s 的速度由 C 向 B 运动，几秒后四边形 ABQP 是平行四边形？ ⒉如图 D-02，在ABC 中，点 O 是 AC 边上一动点，过 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠ACB 的平分线于 E，交 ∠ACB 的外角平分线于 F， ①求证：OE=OF ②当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？证明你的结论〖提示〗易证∠1=∠2=∠3，得 OE=OC 同理 OF=OC，得证 OE=OF ⒊如图 D-03，矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 向 B 以 2cm/s 的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 向 A 以 1cm/s 的速度移动；如果 P、Q 同时出发，t(s)表示移动时间（0 查看更多

平行四边形与特殊的平行四边形同步练习

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