资料简介
北师大版九年级上册数学第四章测试题及答案
(考试时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 18分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．如果ab＝cd，那么下列式子不成立的是( C )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
2．下列几组图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有( A )
A．2组 B．3组 C．4组 D．5组
3．已知＝＝，则的值是( D )
A．1或－1 B．－1或－2 C．2或1 D．2或－1
4．(重庆中考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，CD＝3 cm，则AF的长为( B )
A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm
第4题图 第5题图
5．(兰州中考)如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高平台DE(DE＝BC＝0.5米，A，C，B三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得GE＝3米，小明身高EF＝1.6米，则凉亭的高度AB约为( A )
A．8.5米 B．9米 C．9.5米 D．10米
6．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①＝；②＝；③＝.其中正确的个数有( B )
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A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
第Ⅱ卷(非选择题 102分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．若x∶y＝1∶2，则＝ － .
8．(南京中考)如图，在平行四边形ABCD中，AD＝10 cm，CD＝6 cm，E为AD上一点，且BE＝BC，CE＝CD，则DE＝__3.6__cm.
第8题图 第11题图 第12题图
9．两个相似多边形的一组对应边为3 cm和4.5 cm，如果它们的面积之和为130 cm2，那么较小的多边形的面积是__40__cm2.
10．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于__(10－10)__厘米．
11．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC，AB相交，交点分别为M，N.如果AB＝4，AD＝6，OM＝x，ON＝y，则y与x的函数关系式是 y＝x .
12．(威海中考)如图，直线y＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点B′的坐标为__(－4，－3)或(2，3)__．
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
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13．已知a，b，c是△ABC的三边，＝＝，且a＋b＋c＝12，试判断△ABC的形状．
解：设＝＝＝k(k≠0)，
则a＝3k－4，b＝2k－3，c＝4k－8，
∵a＋b＋c＝12，∴3k－4＋2k－3＋4k－8＝12，解得k＝3.
∴a＝3k－4＝5，b＝2k－3＝3，c＝4k－8＝4.
∵b2＋c2＝9＋16＝25，a2＝25，
∴△ABC为直角三角形．
14.如图，AB＝25，BC＝40，AC＝20，AE＝12，AD＝15，DE＝24.
(1)判断△ABC与△AED是否相似；
(2)若∠BAC＝100°，∠EAC＝70°，求∠CAD的度数．
解：(1)∵＝，＝，＝，
∴△ABC∽△ADE.
(2)∵△ABC∽△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝100°.
又∵∠EAC＝70°，∴∠CAD＝30°.
15．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3.
(1)若AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长；
(2)若DE∶EF＝2∶3，AB＝6，求AC的长．
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解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴＝＝＝，
∴DE＝EF＝6；
(2)∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，
∴BC＝AB＝× 6＝9，
∴AC＝AB＋BC＝6＋9＝15.
16．已知两个相似多边形的一对对应边的边长分别是15 cm和12 cm.
(1)若它们的周长相差24 cm，求这两个多边形的周长；
(2)若它们的面积差270 cm2，求这两个多边形的面积．
解：(1)设较小多边形的周长为x cm，
则较大多边形的周长为(x＋24)cm，
由题意得＝，解得x＝96，∴x＋24＝120.
所以较小多边形的周长为96 cm，较大多边形的周长为120 cm；
(2)设较小多边形的面积为x cm2，
则较大多边形的面积为(x＋270)cm2，
由题意得＝，解得x＝480，∴x＋270＝750.
所以较小多边形的面积为480 cm2，较大多边形的面积为750 cm2.
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17.(无锡中考)下图小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A1B1C1是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心O；
(2)求△ABC与△A1B1C1的相似比．
解：(1)如图所示；
(2)A1B1＝，AB＝2，则△ABC与△A1B1C1的相似比为2.
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：
(1)△ADQ∽△QCP；
(2)AQ⊥PQ.
证明：(1)设PC＝a，Q是CD的中点．
∵BP＝3PC，∴AD＝4a，QC＝DQ＝2a.
∵＝＝2，＝＝2.
又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP；
(2)∵△ADQ∽△QCP，∴∠1＝∠2，
∵∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠AQP＝180°－(∠1＋∠3)＝180°－90°＝90°，
∴AQ⊥PQ.
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19．如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝4，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F.
(1)求证：＝；
(2)连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．
(1)证明：△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，
∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°，
∴△BCE∽△DCP，∴＝.
(2)解：AC∥BD，理由如下：
∵∠PCE＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°，∴∠PCE＝∠BCD，
又∵＝，∴△PCE∽△DCB，∴∠CBD＝∠CEP＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBD，∴AC∥BD.
20．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B.射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若＝，求的值．
(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
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∴∠ADF＝∠C，又∵＝，
∴△ADF∽△ACG.
(2)解：∵△ADF∽△ACG，∴＝，
又∵＝，∴＝，∴＝1.
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．如图所示，在高5 m的房顶上A处望一幢楼的底部D，视线过小树的顶端E，又从房底部B处望楼顶C，视线也正好过小树顶端E，测得小树的高度为4 m，则你能算出楼CD的高吗？把你的计算过程写出来．
解：由EF∥AB∥CD，∴
∴由①＋②，得＋＝＋＝1，
∴＋＝1，∴DC＝20 m.
22．如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G.
求证：(1)CG＝BH；
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(2)FC2＝BF·GF.
证明：(1)∵BF⊥AE，CG∥AE，∴CG⊥BF.
∵在正方形ABCD中，∠ABH＋∠CBG＝90°，
∠CBG＋∠BCG＝90°，∠BAH＋∠ABH＝90°，
∴∠BAH＝∠CBG，∠ABH＝∠BCG，AB＝BC，
∴△ABH≌△BCG，∴CG＝BH.
(2)∵∠BFC＝∠CFG，∠BCF＝∠CGF＝90°，
∴△CFG∽△BFC，∴＝，即FC2＝BF·GF.
六、(本大题共12分)
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为边CB上的一个动点(点D不与点B重合)，过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD.
(1)求证：△DOB∽△ACB；
(2)若AD平分∠CAB，求线段BD的长；
(3)当△AB′D为等腰三角形，求线段BD的长．
(1)证明：∵DO⊥AB，∴∠DOB＝∠DOA＝90°，
∴∠DOB＝∠ACB＝90°，
又∵∠B＝∠B，∴△DOB∽△ACB.
(2)解：∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，∴DC＝DO，
在Rt△ACD和Rt△AOD中，
∴Rt△ACD≌△Rt△AOD(HL)，
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∴AC＝AO＝6，设BD＝x，则DC＝DO＝8－x，OB＝AB－AO＝4，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得DO2＋OB2＝BD2，
即(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，∴BD的长为5.
(3)解：∵点B′与点B关于直线DO对称，
∴∠B＝∠OB′D，BO＝B′O，BD＝B′D，
∵∠B为锐角，∴∠OB′D也为锐角，∴∠AB′D为钝角，
∴当△AB′D为等腰三角形时，AB′＝DB′，
∵△DOB∽△ACB，∴＝＝＝，
设BD＝5x，则AB′＝DB′＝5x，BO＝B′O＝4x，
∵AB′＋B′O＋BO＝AB，∴5x＋4x＋4x＝10，解得x＝，
∴BD＝.
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