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第4章 图形的初步认识 HS版 从两方面进行比较:一看底面;二看侧面 从两方面进行比较:一看底面;二看侧面 三棱锥 四棱锥 五棱锥 六棱锥 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 1、棱柱分类(按棱数分): 2、棱锥分类(按棱数分): 棱柱 圆柱 柱体 棱锥 圆锥 锥体 多面体 棱柱 棱锥 围成棱柱和棱锥等立体图形的面是平的面,像 这样的立体图形,又称为多面体。 1.说出下列立体图形的名称: 四棱锥 圆柱 三棱柱 三棱锥 圆锥 …棱柱 …棱锥 3.判断下列的陈述是否正确: ⑴柱体的上、下两个面不一样大( ) ⑵圆柱、圆锥的底面都是圆( ) ⑶棱柱的底面不一定是四边形( ) ⑷圆柱的侧面是平面( ) ⑸棱锥的侧面不一定是三角形( ) ⑹柱体都是多面体 ( ) ╳ √ √ ╳ ╳ ╳ 1、学习了柱体、锥体、球体及其分类; 2、明白了柱体与锥体的相同点与不同点; 3、了解了棱柱与棱锥的命名; 4、知道了什么是多面体; 5、根据所学知识能够判定生活中物体的形 状。 1、常见的立体图形有哪些? 2、柱体包括哪些图形?这些图形之间有什么相 同的地方和不同的地方? 3、锥体包括哪些图形?这些图形之间有什么相同 地方和不同的地方? 4、棱柱按棱数怎样分类?棱锥按棱数怎样分类? 5、什么是多面体?本节所学习的图形哪些是多体?   四棱柱 六棱柱 五棱柱 三棱柱 四棱锥 五棱锥 六棱锥 三棱锥      圆锥 棱锥 圆柱 棱柱   柱体 锥体 球体 1.什么叫立体图形? 列举生活中常见的立体图形。 2.什么叫平面图形? 列举生活中常见的平面图形。 题 西 林 壁 ---苏轼 横看成岭侧成峰,远近高低各不同. 不识庐山真面目,只缘身在此山中. 想一想: “横看成岭侧成峰” 一句中,蕴含了怎样的数学道理? T26M坦克实物 摩托车 对于一些立体图形的问题,常把它们转化为平面图形 来研究和处理.从不同方向看立体图形,往往会得到不同形 状的平面图形.在建筑、工程等设计中,也常常用从不同方 向看到的平面图形来表示立体图形. 这是一个工件的立体图,设计师们常常画出从不同方 向看它得到的平面图形来表示它. 阅读课本124页,并回答下列问题: 1.视图来自于————,投影分为————投影和———— 投影。 视图是一种特殊的————投影。 2.从正面得到的投影,称为——————; 从上面得到的投影,称为——————; 从侧面得到的投影,称为——————; 依据投影方向的不同,侧视图分为————视图和 ————视图。 通常将————、——————与————————-------称做 一个物体的三视图。 投影 中心 平行 平行 主视图 侧视图 俯视图 左 右 主视图 俯视图 左(或右)视图 从正面得到的投影 从上面得到的投影 从侧面得到的投影, 立体图形的三视图:主视图、俯视图、侧视图 主视图: 俯视图: 侧视图: 分左视图和右视图 3.(1)正方体的三视图都是——————形, 并且三个————形的大小完全——————。 (2)圆柱体的———图和———图都是———形, 两个———形的大小完全——----。———图是———。 (3)圆锥的———图和———图都是————形, 且这两个———形的大小完全———。俯视图是 带————的————。 正方 正方 一样 主视 侧视 长方 长方 一样 俯视 圆 主视 侧视 三角 三角 一样 圆圆心 阅读课本125—126页,并回答下列问题: 例1 画出如图4.2.7和图4.2.8所 示的正方体和圆柱体的三视图。 图4.2.7 图4.2.8 主 视 图 正方体的三视图都是正方形. 俯 视 图 左 视 图 注意三视图位置 的摆放! 且三个正方形的大小完全一样 圆柱的主视图和左视图都是长方形,两个长方形 大小完全一样,俯视图是圆。 主视图 左视图 俯视图 注意三视图位 置的摆放! 若是一个横放的 圆柱,三视图又 该怎样呢? 横放圆柱的三视图: 主 视 图 俯 视 图 左 视 图 若是一个平放的 圆柱,三视图又 该怎样呢? 平放圆柱的三视图: 主 视 图 俯 视 图 左 视 图 那么圆锥的 三视图又该 怎样呢? 例2 画出如图4.2.11的圆锥的三视图: 主 视 图 俯 视 图 左 视 图 圆锥的主视图和左视图都是三角形,两个三 角形的大小完全一样。俯视图为带圆心的圆. 若是一个倒放的 圆锥,三视图又 该怎样呢? 倒圆锥的三视图. 主 视 图 左 视 图 俯 视 图 那么三棱锥 的三视图又 该怎样呢? 正三棱锥的三视图: 主 视 图 俯 视 图 左 视 图 注意:画三视图时看得见的线都要画上去. 正四棱锥的三视图: 正 视 图 俯 视 图 左 视 图 注意:棱锥俯视 图正方形两对角 线不能漏! 那么球体的 三视图又该 怎样呢? 主视图 俯视图 左视图 球体的三视图. 球体的三视图为三个 大小完全一样的圆 1.你能画出下列立体图形的三视图吗?. ( ) 2.观察下面三个平面图形分别是下面立体图形的 哪个视图? ( )主视图 俯视图 ( )左视图 3.下面是由四个相同的长方体堆成的物体,指出下 列平面图形分别是此物体的哪个视图. ( ) ( )主视图 俯视图( )左视图 画左视图 画主视图 画俯视图 4.根据要求画出下列立体图形的视图 5.由4个相同的小立方块搭成如图所示的几何体.请画 出它的三视图. 主视图 侧视图 俯视图 从上面看 从左面看 从正面看 主视图 左视图 俯视图 6.画下列立体 图形的三视图 这节课我们主要学习了从不同方向看立体 图形得到平面图形。 回顾学习过程,谈一谈自己有哪些学习成果. 1.什么是三视图? 2.什么是正视图、左视图、俯视图? 3.画三视图的原则是什么? 你还有什么不明 白的地方吗? 甲 丙 乙 丁 画出如图所示正方体的三视图 正 视 图 解:正方体的三视图都是正方形. 俯 视 图 左 视 图 例3 如图所示的是一些立体图形的三视图, 请根据视图说出立体图形的名称。 (1) 正 视 图 左 视 图 俯 视 图 (2) 正 视 图 左 视 图 俯 视 图 下面这种情况你 能解决吗? 正 视 图 左 视 图 俯 视 图 圆柱 四棱锥 正视图 左视图 俯视图 俯视图 正视图左视图 (1) (2) 思考: 下面是一些立体图形的三视图,请根 据视图说出立体图形的名称。 下面所给的三视图表示什么几何体? 读图时,无法根据某一个视图确定其空间 形状,因此必须将有关视图联系起来分析,找 出各个视图之间的关系,从而把握整个立体图 形的形状。 1.一个物体的三视图如下图所示,试举例 说明物体的形状。 正 视 图 左 视 图 俯 视 图 2.如图是一个物体的三视图,试说出物体的形状。 正 视 图 左 视 图 俯 视 图 3.如图是一个物体的三视图,试说出物 体的形状。 正 视 图 左 视 图 俯 视 图 1、如图是一个物体的三视图,试说出 物体的形状 (1) 正视图 左视图 俯视图 (2) 正 视 图 左 视 图 俯 视 图 3、如图所示的三棱柱的三视图是( )。 A、三个三角形 B、两个长方形和一个三角形 C、两个长方形和一个三角形,且长方 形的有一条连接对边中点的线段。 C 正 视 图 左 视 图 俯 视 图 4、下面是某个立体图形的三视图,则该 立体图形的名称是 。三棱柱 1、如图是一个物体的三视图,试描述该 物体的形状。 正 视 图 左 视 图 俯 视 图 2.下面所给的三视图表示什么几何体? 正视图 左视图 俯视图 3.如图是一个物体的三视图,试说出物体的形状。 正 视 图 左 视 图 俯 视 图 正视图 左视图 俯视图 4.下列是一个物体的三视图,请描述出它的形状 3 2 1 5.由几个相同的小立方块搭成的几何体的俯视图如 图所示。方格中的数字表示该位置的小方块的个数. 请画出这个几何体的三视图。 主视图 左视图 俯视图 6.下列是一个物体的三视图,请描述出它的形状 7.一个物体由几块相同的正方体叠成,它的三 个视图如图所示,试 回答下列问题: (1)该物体共有多少层? (2)最高部分位于哪里? (3)一共需要几个小正方体? 正 视 图 右 视 图 俯 视 图 3层 左侧最后一排 13个 怎样根据三视图描述物体的形状呢? 一般先从俯视图结合正视图推测原物 体的大体轮廓,再由侧视图展开联想。要尽 可能准确地运用“长对正,高平齐,宽相等” 的原则,使物体现出庐山真面目! 1.常见的立体图形有那些?常见的平 面图形有那些? 2.生活中很多图案都由简单的几何图 形构成,我们也有能力设计美观、有 意义的图案. 蚊子 ● ● 壁虎 一面长方形的墙壁,壁虎在下方,蚊 子在上方,饥饿的壁虎想尽快的吃掉上 方的蚊子,该走哪条路最近呢? 有一天壁虎在圆桶的下方,发现上方 有一只蚊子,饥饿的它要想尽快吃到蚊 子,应该走哪条路最近呢? ● 蚊子 壁虎 ● ● 壁虎 蚊子 ● ● 蚊子 壁虎 ● 多面体是由平面图形围成的立体图 形,沿着多面体的一些棱将它剪开,可以 把多面体展开成一个平面图形. 下面我们就来讨论一些简单多面体的 展开图。 思考猜测 你还记得下面立体图形的平面展开 图是什么? 展开 圆 柱 展开 圆锥 展开 长方体 长 方 体 长方体的展开图 侧 面 侧 面 侧 面 侧面 底面 底 面 侧 面 侧 面 侧 面 侧 面 底面 底面 发现规律: 1.沿多面体的棱将多面体剪开成平面图形,若 干个平面图形也可以围成一个多面体. 2.同一个多面体沿不同的棱剪开,得到的平面 展开图是不一样的,就是说:同一个立体图形可 以有多种不同的展开图. 下列图形是哪些多面体的展开图? 1) 3)2) 正方体 长方体 四棱锥 三棱柱 试试看:下面4个图是一些多面体的 表面展开图,你能说出这些多面体的 名字吗? 1、观察上面的11种正方体的展开图有没有什么规律? 2、小组讨论这些正方体展开图可以分为几类?哪几号展 开图可以分为一类,为什么? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 分一分: 蓝 黄 红 巧记正方体的展开图口诀 : “一四一”“一三二”, “一”在同层可任意, “三个二”成阶梯, “二个三”“日”相连, 异层必有“日”, “凹”“田”不能有, 掌握此规律,运用定自如。 1、右图需再添上一个面,折叠后才能 围成一个正方体,下面是四位同学补 画的情况(图中阴影部分),其中正 确的是( ) A . B .         C .      D. B 2、如图所示的纸板上有10个无阴影的正方形, 从中选出一个,与图中5个有阴影的正方形一起 折一个正方体的包装盒,有多少种不同的选法。 共有四种不同的选法 l S T P H R U V M N Q Z Y W K 3,如图,这是一个正方体的展开图,如果 将它组成原来的正方体,哪些点与点P重合。 与P点重合的有:V,T 5 6 4 32 FE A B C 1 祝 你前 程似 锦 D 4.下面图形中,哪些是正方体的平面展开图? 5. 如图是一个正方体纸盒的展开图,请在图 中的6个正方形中分别填入1、2、3、-1、-2、-3, 使展开图沿虚线折叠成正方体后相对面上的两个 数互为相反数。 1 2 5 2 1 4 4 6 1 6. 有一正方体木块,它的六个面分别标上数字 1——6,下图是这个正方体木块从不同面所观察 到的数字情况。请问数字1和5对面的数字各是多 少? 5----4 1----3 7. 下面几个图形是一些常见几何体的展开图, 你能正确说出这些几何体的名字么? 圆锥 四棱锥 长方体 三棱柱 三棱锥 三棱柱 正方体 圆柱 本节课你收获了什么? 能谈一谈立体图形与平面图形的 关系? 圆锥 四棱锥 长方体 三棱柱 三棱锥 三棱柱 正方体 圆柱 1.观察上面5张图片,你能说出它们的表面形状吗? 2.请观察下面的6张图片,你能说出它们的形状吗? 3.仔细观察下面哪些图形是封闭的? 不是 是 是 是 是 是 请你说一说:以下几个封闭图形由什么线围成的? B C D E A F 由线段围成的封闭图形叫做多边形. 注意:由于圆是由曲线围成的封闭图形, 所以圆不是多边形. 按照组成多边形的边的个数,多边形可分为: 三角形、四边形、五边形、六边形… B C D E A 四边形 三角形 六边形 八边形五边形 思考: 最基本最简单的多边形是 ________。三角形 从多边形的一个顶点出发可把这 个多边形分成几个三角形? 数一数: 四边形: 五边形: 六边形: 从多边形某边上的一点可把这个多边 形分成几个三角形? 探索1: 四边形: 五边形: 六边形: · · · 从多边形上的内部一点出发可把这个 多边形分成几个三角形? 探索2: 四边形: 五边形: 六边形: · · · 三角形 四边形 五边形 六边形 … n边形 从一个顶点出发 … 从某边一点出发 … 从内部一点出发 … 分成 三角形个数 2 31 4 n-2 5432 n-1 n4 5 63 归纳: 本节课我们学习了平面图形这一节内 容,讨论了多边形的识别及分类,并了解 了多边形分割为三角形的规律.通过平面 图形的学习,我们既认识了形形色色的 平面图形,同时学会了如何利用简单图 形设计漂亮的图案,体现了数学的实质 即数学来源于生活,数学服务于生活. 下面平面图形是否是多边形?并说明理由. 判断1: A B C D FE 下面平面图形哪些是四边形?并说明 理由。 判断2: A B C D FE G H 3.一个二十五边形, 从一个顶点出发可以分割成_______ 个三角形; 从内部一点出发可以分割成_______ 个三角形; 4.从十八边形的某边一点出发至少可以分 割成 个三角形. 23 17 25 5.请你画一画: 请你以给定的图形“ ” (两个圆、两个三角形、两条直线)为构 件,构思出独特且有意义的图形,并写出 一两句贴切、诙谐的解说词. 如: 电灯 三毛的哥哥二毛 1.几何图形 2.立体图形 3.平面图形 图(1)城市的位置地图 (2)北斗七星的位置 图(1)城市的位置地图 (2)北斗七星的位置 我们都是用点表示的,通过以上两 副图,我们知道: 点可以用来表示一个物体的位置 1.想一想 日常生活中,哪些物体是给我们点的印 象?哪些是给我们线段的印象? (点A,点B) (线段a)(线段AB) a A B A B 从学生举的例子中可得:线段有两个端点 2.试一试 如图,从A地到B地有三条路径,聪明的你会选 择哪一条? 在实际生活中,我们都希望走的路越短越好,当 然选择笔直的路线。这条路线就是线段AB。也就 是我们平时所说的:两点之间,线段最短。 3 .猜一猜 如图,有一圆筒,蚂蚁在A处,有一食物在B处, 蚂蚁会从哪一条路径去吃它的食物呢? A C A CB D 1、通过线段的学习,我们来学学射线、直 线 (1)举一些实际生活中的例子 (2)它们表示方法 把线段向一方无限延伸所 形成的图形叫做射线。 把线段向两方无限延伸所 形成的图形叫做直线。 2、  如图:射线OA与射线OB是同一条 射线吗?射线OB与射线AB是同一条射线 吗?射线OA与射线AO是同一条射线吗? 在纸上画出一个点A和一个点B,经过A你能画出几条 直线?经过A、B两点画直线,你又可以画出几条? 3.试一试 可得:经过两点有一条直线,并且只有一条直线。 即两点确定一条直线。 思考:在纸上有A、B、C三点, 过其中任意两点画一条直线, 最多可以画几条? 1.总结归纳: 线段、射线、直线的区别和联系 区别: 直线无端点,长度无限,向两方无限延伸.射 线只有一个端点,长度无限,向一方无限延 伸.线段有两个端点,长度有限. 联系: 射线、线段都是直线的一部分,线段是直线的 有限部分. 2.由学生填写下表,归纳以上知识. 图 形 有几个端点 向几个方向延伸 线段 射线 直线 两个 一个 无 不能延伸 一个 两个 1、图中有三点,按下列语句画图 (1)画直线AB (2)画射线AC (3)连结BC 2、下图的直线上各有哪几条线段 3、按下图填空 (1)点O在直线AB______ (2)点B在射线AB____ (3)点A是线段AB的一个_____ 4、请举出生活中运用“两点之间线段最 短”的几个例子。 5、选做题:在同一平面内的四个点,过 两点画直线最多可以画几条?五个点呢? 你从中得到什么规律? 6.要在墙上钉牢一根木条,至少要钉几 颗钉子?为什么? 1.直线、射线、线段的定义 2.直线、射线、线段之间的关系 3.直线、射线、线段的表示方法 还记得你 和同学是怎 样比较个子 高矮的吗? 请说出你的 想法 问题1: 老师手里的纸上有一条线段,你能在你 的本上作出一条同样大小的线段来吗? a 问题2: 黑板上有两条线段,你能判断一下它们的 长短吗?你有什么方法来验证你的判断? 1.度量法 2.叠合法(叠合法要注意什么问题?) a b A(C) B D 图1 A(C) BD 图2 A(C) B(D) 图3 判断线段AB和CD的大小. (1)如图1,线段AB和CD的大小关系是AB CD; (2)如图2,线段AB和CD的大小关系是AB CD; (3)如图3,线段AB和CD的大小关系是AB CD. < > = 问题3: 如图,线段AB和AC的大小关系是怎样的?线 段AC与线段AB的差是哪条线段?你还能从图中 观察出其他线段间的和、差关系吗? A B C (1) AB<AC (2) AC-AB=BC AC-BC=AB BC+AB=AC 问题4: 如图,已知线段a和线段b,怎样通过作图得到a 与b的和、a与b的差呢? b a BC a b A PB C a b A P AC=a+b CB=a-b 如图,已知线段a,求作线段AB=2a. a B C a A P AC=2a a 把一条线段分成两条相等线段的点,叫做这条 线段的中点。上图中,点B是线段AC的中点,可以 写成AB=BC= AB,或AB=2AC=2BC.2 1 M N 类似于数,线段页可以相加减。 如图,AB=6cm,点C是线段AB的中点,点D是 线段CB 的中点,求线段AD的长度? · A C D B · 如图,已知线段a、b,画一条线段使它等于2a-b. a b (1) (2) (3) 估计下列图形中AB、AC的大小关系,再用刻度 尺或圆规检验你的估计. A B C A AB B C C 这节课你学到了什么? 画一条线段等于已知线段 线段比较大小 线段的和、差、分点(中点) (1)重叠法—从“形”的角度比较 (2)度量法—从“数值”的角度比较 1、线段长度的比较方法: 线段的中点:把一条线段分成两条相等线段的点, 叫做这条线段的中点。 2、线段中点 几何表示法 ABCBAC 2 1  或 AB=2AC=2CB A CB D 解:∵ 点C是线段AD的中点 ∴AD=2AC=10 ∴AB=AD-BD =10-6 =4cm 即 线段AB的长是4cm 练习1:如图,B、C为线段AD上的两点,点C为 线段AD的中点,AC=5cm,BD=6cm,求线段AB的长度? A BM NP 线段PB=________.AM=_______.BM=_______28cm 40cm 40cm 线段PM=________.AP=_______.AN=_______12cm 52cm 66cm 练习2:已知线段AB=80cm,M为AB的中点,P在MB 上,N为PB的中点,且NB=14cm。 2、A、B、C在同一条直线上,若AB=4cm, BC=2cm,求线段AC的长度。 1、 在直线L上顺次取A B C三点,使得 AB=4cm,BC=3cm,如果O 是线段AC的中点, 求线段OB的长度。 图形 表示方法 端点个数 延伸方向 线段 射线 直线 1.填表: 线段AB 或线段a 射线AB 或射线a 直线AB 或直线a 两个 一个 0个 不向任何一方延伸 向一方无限延伸 向两方无限延伸 2.下图中共有几条线段? 我们知道,线段是一种基本的几何图 形,角也是一种基本的几何图形.在小 学我们已经对角有些粗浅的认识,本节 课在已有的知识基础上,我们将对角作 进一步的研究. 现实有关角的实物 角 是 怎 样 构 成 的? 1.角:有公共端点的两条射线组成的图形叫 做角.公共端点叫角的顶点,两条射 线叫角的边.——角的静态定义. 顶点 射线 射线 边 边 通过以上生活中的实例以及小 学对角的认识,根据你的理解,如 何定义一个角? 2.角也可以看做一条射线绕端点旋转 所组成的图形——角的动态定义。 B B O B 如图,如何表示这个角? (1)用三个大写字母: ∠AOB 或∠BOA ; A O B 注意: 1.用三个大写字母表示时, 中间字母是顶点字母; 2.用一个大写字母表示时, 顶点处只能有一个角. 或用一个大写字母:∠O. 角用符号“∠”来表示. 角的表示: C ∠ BOC能记作 ∠O吗?为什 么? 角的表示: (2)用一个数字加弧线表示: 1 α (3)用一个小写希腊字母加弧线表示: ∠1 ∠α 注意:这两种方法必须在图上标 注后才能使用,并且只能表示单独 的一个角. A O B C1 能把 AOB 记作∠ 1吗? 为什么? O A B 3)射线 OA绕点O 旋转360度后,回到原来的位置 时,所成的角叫做 。 OB A 2)射线 OA绕点O旋转180度后,终边OB和始边 OA 成一直线时,所成的角叫做 ; 3.特殊角的类型 1)射线 OA绕点O 旋转90度 后,终边OB和始边 OA垂直时, 所成的角叫做 。 O A B 平角 直角 周角 4.把一个周角360等分,每一份就是1 度的角,记做1°.除了“度”之外, 还有其它的度量单位吗? 1°的60分之一为1分,记作1′,即1°=60′ 1′的60分之一为1秒,记作1″,即1′=60″ 角的度、分、秒是60 进制的,这和计量时间的 时、分、秒是一样的. 5.如图,已知∠AOB,用量角 器量出它的度数. A O B 1.对中——角的顶点对量角器的中心; 3.读数——读出角的另一边所对的度数. 2.重合——角的一边与量角器的零线重合; 用量角器度量角的方法: 例1 (1)把18°15′化成用度作单位的角。 (2)把93.2°化成用度、分、秒表示。 想一想: 18°15′和18.15°相等吗? (为什么?)哪一个比较大? 6.方位角: 有时以正北、正南方向为基准,描述物 体运动的方向. 表示方向的角(方位角)在航行、测绘 等工作中经常用到. 例2 如图,OA是表示北偏东30°方向的 一条射线。 西 东 北 南 O A 30° 仿照这条射线,画出 表示下列方向的射线。 (1)南偏东25°。 (2)北偏西60°。 25° 60° 角 有公共端点的两条射线 组成的图形 一条射线绕着它的端点 旋转而成的图形 用三个大写字母或 一个大写字表示. 用一个数字表示 用一个希腊字母表示 角的定义 角的表示 方法 1. 判断下面各角的表示方法是否正确. A B C A B C A B C A B C A B C ∠ACB ∠B∠ABC∠CAB ∠A ( ) ( ) ( ) ( ) ( )× × × √ √ 2. 下面表示∠DEF的图是( ) E D E F (1) E D F (2) D E F (3) D EF (4) (3) 3. 请你把图中用数字表示的角改为用 字母表示的角. 4.如图,点O是直线AB上任意一 点,OC、OD、OE是三条射线, 图中共有几个小于平角的角? 9个 1. 1小时= 分, 1分= 秒. 2. 3.3小时= 小时 分, 2小时30分= 小时. 3. 1°= ′,1′= ″. 4. 0.75°= ′= ″, 34.37°= ° ′ ″. 5. 1800″= °,39°36′= °. 60 60 3 18 2.5 60 60 45 34 22 12 0.5 39.6 2700 5.填一填: 3. 如图,已知线段AB、CD,你有哪些办法 比较它们的大小? 1.叠合法 2.度量法 1.角是怎样形成的图形? 2.请同学们回忆一下,前面我们学习了 线段的哪些内容? 类比线段大小的比较,你认为该如何比较两个 角的大小?试着画图来解决. 1.度量法 ∠ABC >∠DEF B C A FE D 70° 30° 2.叠合法 步骤: 1. 将两个角的顶点及一边重合, 2. 两个角的另一边落在重合一边的同侧, 3.由两个角的另一边的位置确定两个角的 大小. A D(B) C P(O) 如图,∠AOB和∠CPD的大小 关系就明显了,可记为: ∠AOB< ∠CPD 或∠CPD > ∠AOB 想一想:在放大镜下,一个角变大了吗? 30°、45°、60°、90°、15°、75°、 105°、120°、135°、150°、 180° 3.如图,借助三角尺画出15°,75°的 角。  利用三角板 还可以画出哪 些度数的角? 4.操作: 如图,∠AOB是已知角,试用圆规 和直尺准确地画一个角等于∠AOB。 O A B O ∠AOC=∠AOB ∠BOC+ O A C B 5.角的和差 如图,图中共有几个角?它们之间有 什么关系? ∠AOB=∠AOC ∠BOC- ∠BOC= ∠AOC ___∠AOB- D C B AO ∠AOC=∠AOB+∠__ ∠BOD=∠COD+∠__ ∠AOC=∠AOD-∠__ ∠BOD=∠__-∠__ BOC BOC COD AOBAOD 填空 6.角平分线 如图,如果∠AOB=∠BOC, A B C O 从角的顶点引出的一条射线,把这个 角分成两个相等角,这条射线叫做这个 角的平分线. 类似地,还有角的 三等分线等…… αα α A B C D O OB、OC是∠AOD的三等分线。 那么射线OB叫做∠AOC的角 平分线。 例1.如图,OB平分∠COD,∠AOB=90°, ∠AOC=125°,求∠COD的度数。 ∠BOC= ∴∠BOD=∠BOC =35° ∴∠COD=35°×2=70° D B C O A∠AOC-∠AOB =125°-90° 解: =35° ∵OB平分∠COD 例2.如图,OC平分∠AOD,∠BOD=2∠AOB.若 ∠AOD=114°,求∠BOC的度数? A B C DO =57°-38°=19° 解:  57 2 1 AODAOC  38 3 1 AODAOB AOBBOD  2 AODOC 平分 AOBAOCBOC  如图∠AOB=∠COD=900, ∠AOD=1460,∠BOC= .340 O D C B A 练习一 如图,OD平分∠AOC,OE平分∠COB, ①如∠AOC=70°,∠COB=40°,∠DOE= . ②如果∠DOE=n°,则∠AOB= . D B AO C E (2n)° 55° 练习二 已知O为直线AB上一点,OE平分∠AOC, OF平分 ∠COB,则∠EOF= . A B E C F O 练习三 90° O A BC D 如图:∠AOC=∠BOD=90° ⑴已知∠BOC=20 °,则∠AOD= .160 ° ⑵已知∠AOD=150 °,则∠BOC= .30 ° 练习四 图中∠1=∠2,试判断∠BAD和∠EAC的大小, 并说明 理由. AB C D E 1 2 ∠BAD=∠EAC解: 理由是: ∵∠1=∠2 ∴∠1+∠3=∠2+∠3 即∠BAD=∠EAC 3 练习五 1.角的大小比较方法(叠合、度量)。 2.角的和差关系。 3.角的平分线的性质。 4.画一个角等于已知角 本节课你有什么收获? 1.你能用一副三角板画出哪些角? 2.什么叫做角的平分线? 如左图所示,打台球时,选择适当的方向用白 球击打红球,反弹后的红球会直接入袋,此时 ∠1=∠2.这个问题可以简单地表示为右图.其中 ∠EDC=90º,那么各个角与∠1有什么关系? 1 2 A C B E D F 1 2 有的角与∠1的和等于90º,例如( ) ∠ADC 有的角与∠1的和等于180º,例如( ) ∠ADF 1 一.余角和补角定义: 1. 如果两个角的和等于90º(直角), 就说这两个角互为余角,简称互余。 即其中每一个角是另一个角的余角. 如果两个角的和等于180º(平角),就 说这两个角互为补角,简称互补。 即其中一个角是另一个角的补角. 1).定义中的“互为”是什么意思? 2).把下图中∠1与∠ADF分离并多次变换位置,如 图,这两角还是互为补角吗? 1 A D F 11 即每一个角都是另一个角的余角(补角) 2.定义剖析: (1)若∠1与∠2互补,则∠1+∠2=______. (2) ∠1=90º-∠2,则∠1与∠2的关系 为___________. 180° 互为余角 3.定义应用 (3)图中给出的各角中,哪些互为余角? 哪些互为补角? (1)已知∠1与∠2,∠3都互为补角.那么∠2 和∠3的大小有什么关系? 由∠1与∠2和∠3都互为补角, 那么 ∠2=180º-∠1, ∠3=180º-∠1, 所以∠2=∠3. 余角和补角的性质 (2)已知∠1与∠2互补,∠3与∠4互补.若 ∠1=∠3,那么∠2和∠4 相等吗?为什么? 由∠1与∠2互补,得∠1+∠2=180º, 所以 ∠2=180º-∠1. 由∠3与∠4互补,得∠3+∠4=180º, 所以∠4=180º-∠3. 又因为∠1=∠3,180º-∠1=180º-∠3, 所以∠2=∠4. 1 2 3 4 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等 余角的性质 补角的性质 例3 已知:∠A=50°17′, 求:∠A的余角和补角。 解: ∠A的余角=90°- 50°17′=39°43′ ∠A的补角=180°-50°17′=129°43′ 例 如图,A,O,B在同一直线上,射 线OD和射线OE分别平分∠AOC和 ∠BOC,图中哪些角互为余角? 所以∠COD +∠COE= ∠AOC+ ∠BOC 解:因为A,O,B在同一直线上, 所以∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OE 分别平分∠AOC∠BOC, 2 1 2 1 = (∠AOC+ ∠BOC) 2 1 =90° 所以, ∠COD 和∠COE互为余角, 同理, ∠AOD +∠BOE, ∠AOD +∠COE , ∠COD +∠BOE也互为余角. 互为余角 互为补角 对应图形 数量关系 性 质 12 1 2 ∠1+ ∠2 = 90 °∠1+ ∠2 = 180 ° 同角或等角 的余角相等. 同角或等角 的补角相等. (1)若∠1与∠2互余,∠2与∠3互余, 则 _____=______,根据是________ . (2)若∠3与∠4互补,∠6与∠5互补,且∠3= ∠6, 则_____=______,根据是________ __. 同角的余角相等 等角的补角相等 ∠1 ∠3 ∠4 ∠5 填空 2.一个角是70º39′,求它的余角和补角 解:它的余角是90º-70º39′=19º21′, 它的补角是180º-70º39′=109º21′. 3.∠α的余角是它的3倍,∠α是多少度? 解:根据题意得,90°- ∠α=3 ∠α 解得, ∠α=22.5° 4.(选做题)一个角的余角比这个角的补 角的 还小10°,求这个角的余角及这个角 的补角的度数.(用两种方法求解) 3 1 查看更多

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