天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 北师大版（2012） / 九年级上册 / 第一章 特殊平行四边形 / 北师版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形
资料简介
特殊的平行四边形
第一章
1 菱形的性质和判定
【学习目标】
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难
点）
前面我们学习了平行四边行 生活中还有
许多特殊的平行四边形．如:
知识回顾
菱形的定义、性质
菱形
菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用
在图案设计上.
图
片
欣
赏
•1.菱形的定义:
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是菱形．
•2.菱形的性质:①菱形的四条边 ，②菱形的对
角线 并且每一条对角线一组 对角.
•3.菱形既是 图形，又是 图形.
•4.四条边都相等的四边形是_____.
•5.对角线_______的平行四边形是菱形.
自主学习
观察以下由火柴棒摆成的图形
:
议一议:(1)三个图形都是平行四边形吗?
(2)与图1相比,图2与图3有什么共同特点?
合作学习
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
平行四边形 邻边相等
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改
变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，
哪些关系没变？哪些关系变了？
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这
个平行四边形成为怎样的四边形？
AB=BC
ABCD
四边形ABCD是菱形
活动
具有平行四边形所有的性质
菱形的性质
菱形还有一些特殊的性质?
用两个全等的等腰(不等边)三角形纸片,拼成一个平行
四边形,有几种拼法?
拼法一
拼法二
与拼法一相比，拼法二所得平行四边形有什
么特点
B D
A
C
菱形是轴对称图形
(2)从图中你能得到哪些结
论?并说明理由.
提示:从边、角、对角线、
面积等方面来探讨
(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗?
它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴?
对称轴之间有什么位置关系?
菱形是中心对称图形
已知：如图在菱形ABCD中，AB=AD.对角线AC与BD相交于
点O。
证明:（1）∵四边形ABCD是菱形
B
A
D
C
O
(2)∵AB=AD
∴△ABD是等腰三角形
又∵四边形ABCD是菱形
∴AB=CD AD=BC（菱形的对边相等）
又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD
∴OB=OD(菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中
∵OB=OD
∴AO⊥BD 即 AC⊥BD
求证：（1）AB=BC=CD=AD； (2) AC⊥BD .
定理：菱形的四条边都相等。
定理：菱形的对角线互相垂直。
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所
有性质.
菱形的性质的研究
B
A
D
C
O
AB=BC=CD=AD
AO⊥BD
相等的线段：
相等的角：
等腰三角形有：
直角三角形有：
全等三角形有：
已知四边形ABCD是菱形
AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
△ABC △ DBC △ACD △ABD
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
B C
D
O
1 2
3
4
5
6
7
8
如图，在菱形ABCD中。对角线AC与BD相交于O
∠BAD=60°.BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。
解：∵ 四边形ABCD是菱形
∴AB=AD(菱形的四条边都相等）
AC⊥BD （菱形的对角线互相垂直）。
A
B
C
DO
OB=OD= BD=6× =3（菱形的对角线互相平分）。
在等腰三角形ABD中
∵∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形。
∴AB=BD=6
2
1
2
1
例
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
∴OA2=OB2+AB2
∴OA=
∴AC=2 OA=6 (菱形的对角线互相平分).
3336 2222 OBAB
3
1.菱形具有而平行四边形不一定有的性质是( )
(A) 对角线互相平分 (B) 四条边都相等
(C) 对角相等 (D) 邻角互补
牛刀小试
1 2
2.已知:如图,在菱形ABCD中,直线AE交边BC于点E
，直线 AF交CD于点F,且BE=DF
求证： 21
B
3cm
60
0
C
C
B
D
A
O
１.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是
______.
２.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝60度，则
∠ABD＝_______.
３.菱形的两条对角线长分别为6cm和
8cm，则菱形的边长是（ ）
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
达标检测
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再
对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道
其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出
一个菱形的纸片？
平行四边形 菱形
1.定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
今天你学到了什么
一组邻边相等
定理1： 菱形的四条边都相等
定理2：菱形的对角线互相垂直
2.性质:
1.1.2 菱形的判定
【学习目标】
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判
定定理．（重点）
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和
计算. （难点）
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
边
对角线
角
菱形的定义
菱
形
的
性
质
菱形
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分。
•通过自学你学会了几种菱形的判定方法？
•试着用几何语言表示菱形的每一种判定方法。
•你会证明它们吗？
•你会画菱形吗？你的依据是什么？
自学指导
定义判定：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分，从菱形的这
一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？
O
B
D
A C
过点O画两条互相垂直的线段AC，
BD，使得OA=OC，OB=OD，
连结AB，BC，CD，DA，则四
边形ABCD是菱形，
老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
5
5
3
4 3
4
5
5
5
5
有一组邻边相等的平
行四边形叫做菱形
对角线互相垂直的平行
四边形是菱形
有四条边相等的四边形是菱形。
3
3
4 4
┍
判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等
的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一
组对角的四边形是菱形．
□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
（2）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。
A B
CD
O
菱
菱
菱形的判定
w定理1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD.
求证:四边形ABCD是菱形.
w分析:要证明□ABCD是菱形,就要证明
有一组邻边相等即可.
w证明:
∴AO=CO.
∵AC⊥BD,
∴BD是AC的垂直平分线
∴BA=BC
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义）.
D
B
CA
O
菱形的判别方法:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
∵四边形ABCD是平行四边形
BD⊥AC
∴四边形ABCD是菱形
O
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、
D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C
，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一
猜，这是什么四边形？
根据画图，你能得到还有什么方法能判定一个四边
形是菱形吗？
有四条边相等的四边形是菱形。
数学语言:
A
B
C
D
O∵在四边形ABCD中,
AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形.
画一画
菱形的判定
定理2:四条边都相等的四边形是菱形.
已知:如图,在四边形ABCD中,
AB=BC=CD=DA.
w分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四
边形,可使问题得证.
证明:
∵AB=BC=CD=DA,
∴AB=CD,BC=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形..
求证:四边形ABCD是菱形.
∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
C
B
D
A
菱形的判别方法:
四条边都相等的四边形是菱形.
A
B C
D
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
他是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折
，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的
道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出
一个菱形的纸片？
1.如图 ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O
点AB= ，OA=2，OB=1
求证：□ABCD是菱形
A
B
C
D
O
∴□ABCD是菱形.
∵AB= ，OA=2 , OB=1.
解：
222 OBOAAB ∴
∴AC⊥BD
∴△AOB为直角三角形
∠AOB=是直角
在△AOB中
5
5
例
1.如图，已知AD平分∠BAC，DE//AC，
DF//AB,AE=5.
（1）判断四边形AEDF的形状？
（2）它的周长为多少？
A
B C
F
D
E
练 习
2.判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等
的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一
组对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
3.如图:将菱形ABCD沿AC方向平移至A’B’C’D’,
A’D’交CD于E,A’B’交BC于F,请问四边形
A’FCE是不是菱形?为什么?
F
E
B'
D'
C'
B
A
C
D
A'
A D
CB
∟
∟
E
F
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断
重叠部分ABCD的形状吗？
请你动脑筋思 考
菱形的判定
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
定理1:四条边都相等的四边形是菱形.
w定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
w在四边形ABCD中,
w∵AB=BC=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形
w∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD.
∴四边形ABCD是菱形.
C
B
D
A
D
B
CA O
小 结
1.1.3 菱形的有关计算
【学习目标】
1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一
些相关问题,并掌握菱形面积的求法.(重点、难
点)
2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会
数形结合、转化等思想方法.
菱形被它的一条对角线分成两个什么三角形？它们
之间有什么关系？
菱形被它的两条对角线分成四个什么三角形？它们
有什么关系？
菱形的周长=4×边长
【菱形的面积公式】 菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗?
菱形
A
B
C
DO
E S菱形=BC× AE
想一想:已知菱形的两条对角线的长，能求出它
的面积吗?
= S△ABD+S△BCD = AC×BD S菱形ABCD
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角
线BD长10cm.
求:(1).对角线AC的长度;
(2).菱形ABCD的面积
解:(1) ∵四边形ABCD是菱形,AC和BD相交于点E
∴∠AED=900
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
DB
C
A
E
48
（菱形对角线互相垂直）.
（菱形对角线互相平分）.
（菱形对角线互相平分）.
例
=2×△ABD的面积
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
DB
C
A
E
A
B
C
D
1.如图，菱形花坛ABCD的周长为80m， ∠ABC＝
60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD
，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到
0.01m和0.01m ）
O
练一练
.2.在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∠BAC=30°,BD=6. 求菱形的边长和对角线AC的长.
A
B
D
CO
1、四边形ABCD是菱形，O 是两条对角线的交点
。已知AB=5cm，AO=4cm，求对角线BD的长。
随堂练习
变式题（1）：菱形两条对角线长为6和8，菱形
的边长为 ，面积为 。
（2）：菱形ABCD的面积为96，对角线
AC长为16 ，此菱形的边长为 。
（3）:菱形对角线的平方和等于一边平方的 （ ）
A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍
5 4
10
C
1.已知菱形的周长是12，那么它的边长是( ).
2.菱形ABCD中,对角AC=6,
BD=8,则菱形的周长=( ),
面积=( ). O
D
C
B
A
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形
的问题来解决
3.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，
已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC
、BD的长。
学以致用
3． 如图，菱形ABCD的周长为2p，对角线AC、BD
交于O，AC＋BD＝q，求菱形ABCD的面积．
（提示： 利用两数和的平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2与勾股定理）
A D
CB
∟
∟
E
F
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断
重叠部分ABCD的形状吗？
请你动脑筋思 考
1.2.1 矩形的性质
【学习目标】
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区
别与 联系.（重点）
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单
的问 题.（重点、难点）
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的
运用. （重点）
A
B C
D
四边形
ABCD
如果
AB∥C
D
AD∥B
C
B
D
ABC
D
A
C
平行四边形的
性质：
边
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
对角线 平行四边形的对角线互相平分；
知识回顾
矩形：
木门 纸张 电脑显示屏
有一个角是直角的平行四边形。
生活中的矩形图
怎样的平行四边形是矩形呢?
平行四边形 长方形有一个角
是直角 矩
有一个
角是直
角的平
行四边
形叫做
矩形.
★矩形具有平行四边形的一切性质！
已知，如图，四边形ABCD是矩形
∠ABC= 90o ,对角线AC，BD相交于点
O. Ｏ
A
B
D
C
证明:
求证（1）∠ABC=∠BAD=∠BCD
=∠ADC=90°,（2）AC=BD
∴∠ABD=∠ADC,∠BAD=∠BCD.(矩形
的对角相等）
AB∥CD（矩形的对边平行）.
∴∠ABC=∠BAD=∠BCD=∠ADC=90°
（1）∵四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC +∠BCD=180°
又∵∠ABC=90°
∴∠BCD=90°,
（2）∵ 四边形ABCD是矩形.
∴AB=DC(矩形的对边相等）
在△ABC和△DCB中
AB=DC ∠ABC=∠DCB BC=CB
∴△ABC ≌ △DCB
∴AC=DB
A
B C
D
O
矩形有何特征?
矩形特征1：矩形的四个角都是直角
因为四边形ABCD是矩形，
所以 ∠BAD＝∠CDA =∠BCD＝∠ABC ＝90°.
矩形特征2：矩形的对角线相等且互相平分．
因为AC、BD是矩形ABCD的对角线，
所以AC＝BD，OA=OC，OB=OD。
矩形与平行四边形的性质对比
两条对角线相等且互
相平分
两条对角线互相平
分
对角线
每一个角都是90°对角相等角
两组对边平行且相等
两组对边平行且相
等
边
矩形平行四边形性质
邻边：互相垂直
四个角都是直角
互相平分
相 等
（1）边：
（2）角：
（3）对角线：
A
B C
D
对边：平行
相等
O矩形特征
O
D
CB
A
相等的线段：
AB=CD，AD=BC，AC=BD，
OA=OC=OB=OD= AC=
BD. 2
1
2
1
相等的角：
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∠AOB=∠DOC，∠AOD=∠BOC，
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD，
∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB。
等腰三角形有：△OAB，△OBC，△OCD，△OAD。
直角三角形有： Rt△ABC，Rt△BCD，Rt△CDA，Rt△DAB。
全等三角形有： Rt△ABC≌Rt△BCD≌Rt△CDA≌ Rt△DAB，
△OAB≌△OCD，△OAD≌△OCB。
已知四边形ABCD是矩形
例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，
∠AOB=120°,AB=2.5，求这个矩形对角线的长？
D
CB
A
O
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的对角线相等）.
又∵OA=OC= AC，OB=OD= BD
( 矩形的对角线互相平分） ，
2
1
2
1
∴OA=OD.
∵∠AOD=120°，
∴ ∠ ODA= ∠OAD= =30°，2
120180 oo
又 ∵∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角）.
∴BD=2AB=2×2.5=5 ( cm ) .
你认为例1还可以怎么去解？
矩形ABCD是轴对称图形吗？
它的对称轴有几条？
矩形是中心对称图形吗？对称中心是？
A B
CD
E
F
G H
.
思 考
A
B C
D
O
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
练一练：如图，在矩形ABCD中：
①AB∥ ，AB= ；
AD∥ ，AD= ;
②∠BAD=∠ =∠ =∠ =90°；
③AC = = 2 = 2 =2 =2 .
问：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是 ，它与斜边的
关系是OB= AC．
问：是不是所有的三角形都有这样的性质? 关键是是不
是任何一个三角形都可以放进一个矩形里?
CD CD
BC BC
ADC BCD ABC
BD AO OC OB OD
OB
A
B C
D
O
⊿ABO是等
边三角形，
AO=AB= 32
AC=2AO=
1. 矩形两条对角线夹角为60°，较短一边长
为 ， 则此矩形对角线长为_______.
练 习
2．（益阳·中考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是
底边上的高，E为AC的中点，则DE＝ ．
【解析】根据直角三角形斜边的中
线等于斜边的一半可得，DE等于
AC的一半，所以DE=4.
答案：4
3 如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别
为AC、AB的中点，点F在BC延长线上，且
∠CDF=∠A，试说明四边形DECF是平行四边形
。
A
B
D
C
E
F
四边形ABCD是矩形
1 若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝ ㎝ OB= ㎝
2 若已知∠CAB=40°，则∠OCB=
∠OBA= ∠AOB= ∠AOD=
3 若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝ ㎝
矩形的面积＝ ㎝2
4 若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC= ㎝
O
D C
BA
5
50°
10
100°40°
12
48
28
80°
试一试
四个角都是直角
互相平分 AO＝CO; BO＝DO
(2)边：
(3)角：
(4)对角线：
对边： (共性)
(共性)
(个性)
(个性)
(共性)
A
B C
D
O
矩形性质
:
平行 AD∥BC; AB∥ CD
相等 AB＝CD; AD＝BC
相 等 AC＝BD
A
B
D
C
O
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝
90°
┒
┒
┒
┒
(1) 对称性：
中心对称图形 (共性)
轴对称图形 (个性)
矩形的四个角都是直角
.
※ 矩形的性质定理1
矩形的对角线相等.
※ 矩形的性质定理2
矩形
定义
：
有一个
角是直
角的平
行四边
形叫做
矩形.
本课小结
1.2.2 矩形的判定
【学习目标】
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌
握矩形的判定定理．（重点）
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难
点)
四边形
平行
四边形
两组对边
分别平行
一个角
是直角 ∟
矩形
四边形集合
平行四边形集合
矩形集合
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
知识回顾
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
你还有其它的判定方法吗？
∠A=900 四边形ABCD是矩形
□ABCD
情境一：工人师傅为了检验两组
对边相等的四边形窗框是否成矩
形，一种方法是量一量这个四边
形的两条对角线长度，如果对角
线长相等，则窗框一定是矩形，
你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
A
B C
D
已知：如图，在 ABCD中，AC=DB
求证： ABCD是矩形。
∴ AB=DC
又∵ AC=BD，BC=CB，
∴ △ABC≌△DCB（SSS）
∴ ∠ABC=∠DCB
又∵ AB∥DC
∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=90°
证明∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ABCD是矩形
定理:对角线相等的平行四边形是矩形.
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
D
B C
A
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明:
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB = ×180°=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义)
又∵AB∥CD.
2
1
1下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形.（ ）
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.（ ）
（3）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形.
（ ）
X
X
√
【跟踪训练】
情境一：李芳同学用“边——直角、边
——直角、边——直角、边”这样四步
，画出了一个四边形，她说这就是一个矩
形，她的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。
你能证明上述结论吗？
矩形的判定
w定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
驶向胜
利的彼
岸
已知:如图,在四边形ABCD中,
∠A=∠B=∠C=900.
w分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四
边形,可使问题得证.
证明:
∵ ∠A=∠B=∠C=900,
∴∠A+∠B=18000,∠B+∠C=1800.
∴AD∥BC,AB∥CD.
求证:四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
B C
A
∴四边形ABCD是矩形.
四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，下列各组
条件中，不能判定四边形 ABCD 是矩形的为( )C
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝∠180°，∠AOB＝∠BOC
D．∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＝∠B
练一练
例2： □ABCD中,对角线AC和BD相交于O,△AOB是等边三角
形,AB=4.求□ABCD的面积
D
B C
A
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC OB=OD（矩形的对角线相等)
又∵△ABO是等边三角形
∴OB=OA=AB=4
∠BAC=60°
∴OA=OB=OC=OD
=4∴AC=BD=2OA=2×4=8
在Rt△ABC中由勾股定理得
∴S□ABCD=AB×BC
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形
是矩形）
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）
3448 2222 ABACBC
222 ACBCAB
316344
1．（巴中·中考）如图所示，已知□ABCD，下列
条件：
①AC=BD;②AB=AD;③∠1=∠2;④AB⊥BC中，
能说明□ABCD是矩形的有 （填写序号）.
【解析】根据对角线相等的
平行四边形是矩形；矩形的
定义.
答案：① ④
随堂练习
2．（益阳·中考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝
8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE＝
．
【解析】根据直角三角形斜
边的中线等于斜边的一半可
得，DE等于AC的一半，所以
DE=4.
答案：4
3．（聊城·中考）如图，在等边△ABC中，点D是
BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）求
∠CAE的度数.
（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边
形AFCE是矩形．
【解析】
（1）在等边△ABC中，
∵点D是BC边的中点，
∴∠DAC＝30°，
又∵等边△ADE，
∴∠DAE＝60°，
∴∠CAE＝30°.
（2）在等边△ABC中，
∵F是AB边的中点，D是BC边的中点，
∴CF＝AD，∠CFA＝90°，
又∵AD＝AE，
∴AE＝CF，由（1）知∠CAE＝30°，
∴∠EAF＝60°+30°＝90°，
∴∠CFA＝∠EAF，
∴CF∥AE，
∵AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵∠CFA＝90°，
∴四边形AFCE是矩形．
4．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三
角形ABD和BCD组成的，M，N 分别为BC，AD的
中点．
求证：四边形BMDN是矩形．
证明：在正三角形ABD和BCD中，
M，N分别为BC，AD的中点.
∴BN⊥AD，DM⊥BC，
∠DBC=60°，
∠BND=∠DMB=90°，
∠NBD=30°.
∴∠NBM=90°.
∴四边形BMDN是矩形.
5、如图, 在△ABC中, AB=AC, 点M在边BC上, 过点M分别作AB、
AC的平行线, 与AC、AB分别相交于点D、E. 当点M位于BC的什么
位置时, 四边形AEMD是菱形?请给予证明.
M
E
D
CB
A证明：∵EM∥AC,DM∥AB
∴四边形AEMD是平行四边形
若EM=DM,则□AEMD是菱形
∵AB=AC, ∴ ∠B=∠C
又∵EM∥AC,DM∥AB
∴∠BEM=∠EMD=∠MDC
∠B=∠C, ∠BEM=∠CDM, EM=DM
在△BME和△CMD中
∴ △BME≌ △CDM ∴BM=CM
∴当M为BC的中点时，
四边形AEMD是菱形
如图,四边形ABCD的对角线相交于点O, 给出下列条件
:①AB∥CD ②AB=CD ③AC=BD ④∠ABC=90°⑤OA=OC
⑥OB=OD请从这6个条件中选取3个,使四边形ABCD是矩形,并
说明理由.
D
CB
A
O
①②③ ①②④
⑤⑥③ ⑤⑥④
①⑤③ ①⑤④
①⑥③ ①⑥④
可以说明平行四边形的有: ①② ⑤⑥
①⑤ ①⑥
找一找
1．判定一个四边形是矩形的方法与思路是：
2.用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：
(1) 有一个角是直角；(2)是平行四边形．
3．用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足
两个条件：
(1)对角线相等；(2)是平行四边形．
方法规律
∠A= ∠B= ∠C=90°
ABCD
AC = BD
ABCD
∠A=90°
ABCD
是矩形
四边形ABCD
是矩形
谈一谈，今天你有何收获？
思 考
1.3.1 正方形的性质
【学习目标】
1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形 、
矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点)
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
（难点）
(1)平行四边形有哪些性质?菱形与平行四边形比较
有哪些特殊的性质?
平行四边形
边:
角:
对角线:
对边平行且相等
对角相等,邻角互补
对角线互相平分
菱形的性质 边: 四条边相等
对角线: 互相垂直平分
分别平分两组对角
角: 对角相等,邻角互补
具有平行四边形一切性质
知识回顾
矩形 角: 四个角是直角
对角线: 对角线相等且互相平分
边: 对边平行且相等
矩形的性质
┓
有一组邻边相等，并且有一个角是直角是正方形.
创设情景
由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩
形，又是有一个角为直角的菱形．如图(1)．
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊
的菱形．
定 义
对 称 性
特 征
正方形是中心对称图形,对称中心为点O
它也是轴对称图形,有4条对称轴
(1)它具有平行四边形的一切性质
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分
(2)具有矩形的一切性质
四个角都是直角，对角线相等
(3)具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
O
A
B C
D
(A)
(B)(C)
(D)
定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.
求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
(2)AB=BC=CD=DA.
分析:因为正方形具有矩形和菱形的所
有性质,所以结论易证.
A
B C
D已知:四边形ABCD是正方形.
定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分.
求证:AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.
已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.
A
B C
D
O
分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,
所以结论易证.
证明:
∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.
∴AC=BD ;
∵四边形ABCD是正方形,
AC⊥BD;
AO=CO,BO=DO;
如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点、F为BC延长线上一
点、，且CE=CF，BE与BF之间又怎样的关系，请说明理由。
C F
A
B
E
D
解（1）∵四边形ABCD是正方形
∴BD=CD.∠BCE=90°（正方形四条边相等，四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°
∵∠BCE=∠DCF，又∵CE=CF
∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF
（2）延长BE交DF于点M
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF
∵∠DCF=90°
∴∠CDF+∠F=90° ∠CBE+∠F=90°
∴∠BMF=90°
∴BE⊥DF
M
如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，
BE=CF，探索图中AE与BF的关系。
A
B C
D
E
FG
应用探究
1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
（A）四条边相等 （B）对角线互相垂直平分（C）对角
线平分一组对角 （D）对角线相等
2、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
（A）四个角相等 （B）对角线互相垂直平分
（C）对角线相等 （D）对角互补
3、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的
周长为 cm。
A
B C
D
E G
F
D
B
7.5
小试牛刀
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分
C.对角线相等 D.对角线平分一组对角
C
2.从四边形内能找一点,使该点到各边距离都相等的
图形可能是 （ ）
A.平行四边形、矩形、菱形 B.菱形、矩形 、正方形
C.矩形、正方形 D.菱形、正方形
D
试一试
3.已知正方形的一条边长为2cm,则这个正方形的
周长为 ,对角线长为 ,面积为 .8cm
4.正方形的对角线和它的边所成的角是 度.45°
5.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的边长
为 ， 面积为 。
6.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任
意一
点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足,则PE+PF= 。
5cm
(2)若AC=4，则正方形边长 ; 正
方形的面积是
四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O,(1)
求∠AOB,∠OAB的度数。
8
解：
（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD ∠AOB=900
∠BAC=∠DAC
∴∠OAB=450
A
B C
D
O
E
F
4㎝
(3)正方形的面积64cm，则对角线交点到正方形一
边的距离
2√2
数一数图中正方形的个数，你发现了什么？
多 多 多
（ ）个（ ）个 （ ）个 （ ）个
第n个图中正方形有 个3n-1
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
√
√
√ √
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）正方形与平行四边形、矩形、菱形之间有什么联
系与区别？它有什么性质？怎样判定？
（3）回忆从平行四边形到矩形、菱形再到正方形的学
习过程，我们研究这些图形的次序是什么？其中
体现了什么思想？
课堂小结
1.3.2正方形的判定
【学习目标】
1．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边
形、矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和
计算 . (难点)
平行四边形、矩形、菱形的判定
5种识别方法
三
个
角
是
直
角
四
条
边
相
等
一
个
角
是
直
角
或
对
角
线
相
等
一
组
邻
边
相
等
或
对
角
线
垂
直
知识回顾
将一张正方形纸片按如图步骤（1）（2），沿虚线
对折两次然后按（3）剪去一个角，展开铺平后的图形
是（ ） D
现在你能不能只用你手中的直尺来检验一下刚才
剪出的孔是否为正方形？
量一量
怎样判定一个矩形是正方形？怎样判定一个菱形是
正方形？
怎样判定一个平行四边形是正方形？
既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
新知探究
怎样判定一个矩形是正方形？怎样判定一个菱形是
正方形？
怎样判定一个平行四边形是正方形？
既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
正方形
矩形 对角线垂直
菱形
有
一
个
角
是
直
角
有一组邻边相等
有一个角是直角
平行四边形
有
一
个
角
是
直
角
有
一
组
邻
边
相
等
对
角
线
相
等
----下列说法对吗?
1.四个角都相等的四边形是正方形.
2.四条边都相等的四边形是正方形.
3.对角线相等的菱形是正方形.
4.对角线垂直的平行四边形是正方形.
5.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
6.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.
7.对角线互相垂直的矩形是正方形.
8.对角线垂直且相等的四边形是正方形.
9.四边相等，有一角是直角的四边形是正方形.
╳
√
╳
╳
√
√
√
╳
√
辨一辨
例2：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
BF∥CE，CF∥BE。求证： 四边形BECF是正方形．
证明∵ BF∥CE，CF∥BE
∴ 四边形BECF是平行四边形
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC＝90° ∠DCB＝90°
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB
∴∠EBC= ∠ABC=45°∠ECB= ∠DCB=45°
∴ ∠EBC∠ECB ∴EB=EC
□ BECF是菱形（菱形的定义）
△EBC中∠EBC=45°∠ECB=45°
∴∠BEC=90°
∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）
2
1
2
1
B
D
F
E
A
C
1. 已知:正方形ABCD中，点E、F 、 G 、 H分别在
AB、BC、CD、DA上，且AE=BF=CG=DH，
试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
练一练
2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形
是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
3、已知：如图，正方形ABCD和正方形CEFG，延长CD到H，
且DH=CE=BK。求证：四边形AKFH是一个正方形
A
B C
D
K
F
H
E
G
4.已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别是AB 、
BC 、CD 、DA的中点,试判断四边形EFGH是正方形吗?
为什么?
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分
别是E,F.
1)求证：DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)
FE
D CB
A
变式探究
如图，四边形ABCD和DEFG都是正方形，
试说明AE=CG
解： 因为四边形ABCD是正方形，
根据正方形的四边相等，得 AD=CD.
又知四边形DEFG也是正方形，
所以DE=DG.
又因为正方形的每个内角为90°，
所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC.
所以∠ADE＝∠CDG.
所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针
旋转 90° 得到。
所以AE=CG.
A
B C
D
E
F
G
知识应用
45°
正方形
12cm
2a+1
1.正方形的一边和对角线的夹角为___________.
2.如果一个四边形既是菱形又是矩形,那么它一定是_________.
3.已知正方形的面积为9cm,它的周长为 _______________.
4.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了__________.
O
A
B C
D
课堂练习
7.正方形ABCD中，M为AD中点，
ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若
ME+MF =8cm，则AC=________.
5.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，
PF⊥BD于F,则PE+PF=______________.5
30°
16cm
P
A
B C
D
E
F
O E
A
B C
D
M
A
B C
D
EF
O
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
平行四边形
矩形
四边形
菱形
正
方
形
1、本节课我们学习了什么？
2、你有什么收获？说出来与大家分享
正方形的判定 1、定义法
2、矩形菱形法
3、对角线法
特殊的平行四边形的判定小结
教学反思
第一章 特殊的平行四边形
复习课
四边形
平行四边形
菱 形
矩 形
一
角
为
90
°
正方形
两组对边分别平行
一角为直角且一组邻边相等
一
组
邻
边
相
等
一
组
邻
边
相
等
一
角
为
90
°
一、四边形的关系图
二、几种特殊四边形的性质
平行
四边形
矩 形
菱 形
正方形
边
对边平行
且相等
对边平行
且相等
对边平行，四
条边都相等
对边平行，
四条边
都相等
角
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角相等,
邻角互补
四个角
都是直角
对 角 线
对角线互相平分
对角线相等且互相平分
对角线互相垂直平分，
每条对角线平分一组对角
对角线互相垂直平分且
相等，每条对角线平分
一组对角
对称性
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
三、特殊四边形的常用判定方法
平行
四边形
（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）两组对角
（4）对角线互相平分； （5）一组对边平行且相等
矩 形
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线相等的平行四边形是矩形。
菱
形
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）四条边都相等的四边形是菱形；
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形 （2）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）有一个角是直角的菱形是正方形。
分别相等;
（1）有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；
要使 ABCD成为矩形，需增加的条件是______
要使 ABCD成为菱形，需增加的条件是______
要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是____
要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是____
要使 ABCD成为正方形，需增加的条件是______
三、抢 答：
1下列说法不正确的是_______
A、一组邻边相等的平行四边形是菱形。
B、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
C、一组邻边相等且一个角为直角的四边形是正方形。
D、对角线平分一个内角的矩形是正方形。
2、若菱形两条对角线的长分别为6cm和8cm，这个菱形的周长为
_______cm，面积为__________cm2。
3、现将一张矩形的纸对折后再对折，然后沿着图中的虚线剪下
，打开，得到的是（ ）
A、平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形
分组探究
4、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O
，过点D作DP∥OC，且 DP=OC，连结CP，试
判断四边形CODP的形状．
A B
D C
O
P
结论：四边形CODP是菱形
证明： ∵ DP∥OC， DP=OC，
∴ 四边形CODP是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形 ，
∴CO=DO．
∴四边形CODP是菱形 ．
如果题目中的矩形变为菱形，结论会变为什么？
图一 图二
A B
D C
O
P
5、如图，矩形ABCD的对角线AC、
BD交于点O，过点D作DP∥OC，且
DP=OC，连结CP，试判断四边形
CODP的形状．
1）、一组对边平行，另一组对边相等的的四边形是平行四边形
。（ ）
2）、两条对角线相等的四边形是矩形。（ ）
3）、一组邻边相等的的矩形是正方形。（ ）
4）、对角线互相垂直的四边形是菱形。（ ）
5）、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。（ ）
√
x
√
6.判断题
x
x
7,△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线M
N∥BC，设M N交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角
平分线于点F．
(1)求证：EO=FO
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明
你的结论． A
B C
D
M
NE F
O
A
B C D
M NE F
O
(2)当O为AC的中点时,
四边形AECF是矩形
∵ OA=OC OE=OF
∴ 四边形AECN是平行四边形
∵ OE=OC=OF
∴ AC=EF
∴ 四边形AECN是矩形
8、菱形纸片ABCD中，两条对角线AC= ，BD= 4
。
34
（1）求菱形ABCD的面积；
（3） 求∠ADC的度数。
（2）求菱形ABCD的周长；
A
B
C
D
o
9.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、
BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH
为菱形，并说明理由。
解：添加的条件__________ AC＝BD
我想到：三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且
等于第三边的一半.
H
G
F
E
A
D
CB
我发现：
顺次连接对角线既不相等也不垂直的四边形各边中
点得
顺次连接对角线相等但不垂直的四边形各边中点得
顺次连接对角线互相垂直但不相等的四边形各边中
点得
顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点
得
平行四边形；
菱形；
矩形；
正方形.
10.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对
角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交
AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是 .
2.5
我想到：平行四边形被对角线分成的四个三角形面积
相等.
11.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，
四边形ADFE是平行四边形.
（1）当∠BAC等于 时，四边形ADFE是矩形；
（2）当∠BAC等于 时，平行四边形ADFE不存在；
（3）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形
.
B C
A E
F
D
解:（3) AB=AC时且∠BAC≠60° ，
平行四边形ADFE时菱形。
AB=AC且∠BAC=150°时，平行四边形ADFE是正方形。
150°
60°
60°
60°
12, 如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘
米，现将A、C重合，使纸片折叠压平，
设折痕为EF。试确定重叠部分△AEF的面积。
A
B
E
C
D
F
G
13.如图，在正方形ABCD中 如图（1）AE⊥BF .
AE与BF相等吗？
F
A
B C
D
E
G
G
A
B C
D
E
F
H
A
B C
D
E
FG
H
M
（1） （2） （3）
如图（2）AE⊥HF ，AE与HF相等吗？
如图（3）ME⊥HF ， ME与HF相等吗？
14、如图所示是一块在电脑屏幕上出现矩形色块图，由6个颜
色不同的正方形组成，若中间最小的一个正方形边长为1，你能
求出这个矩形色块的面积吗？
a
a
a-1
a-1
a-2
a-2 a-3 a-3
a-3
由(a-1)+ a
= (a-2)+2(a-3)
得a= 7
故s= 143
15.在菱形ABCD中，∠ABC=60°,有一度数为60°的∠MAN绕点
A旋转。
（1）若∠MAN的两边AM、AN分别交BC、CD于点E、F,则线
段CE、DF的大小关系如何？请证明你的结论
（2）若∠MAN的两边AM、AN分别交BC、CD的延长线于点E
、F,则线段CE、DF还有（1）中的结论吗？请说明你的理由
A
B C
D
E
F N
M
A
B
C
D
F
E
N
M
16、运动变化问题的解题方法
在梯形ABCD中，AD//BC。AD=5，
BC=8，M为CD的中点，P是BC边上
的一动点（P与B、C不重合）连接PM
并延长交AD的延长线于Q。
（1）试说明 ≌
（2）当P在B、C之间运动
到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明
理由。
M
A
B
C
QD
P
PCM△ QDM△
C、在矩形ABCD中AB=20cm，BC=4cm，点P从A
开始沿AB边以4cm/s的速度移动点Q从C开始沿CD边
以1cm/s的速度移动，如果点P和Q分别从A和C同时
出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动
。设时间t(s),则t为何值时，四边形APQD为矩形？
A B
CD
P
Q
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