天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 北师大版（2012） / 九年级上册 / 第四章 图形的相似 / 本章复习与测试 / 北师版九年级数学上册第四章图形的相似
资料简介
4.1.1成比例线段（1）
第四章 图形的相似
全等形
指能够完全重合的两个图形
，即它们的形状和大小完全相同
。
回忆
黄山松
天坛
央
视
名
嘴
李
咏 李
咏
高
仿
机
器
人
第四章
相似图形
第一节
线段的比
观察下列每组图形
（1） （2） （3）
这些图形有什么共同的特点？
它们的形状相同，大小不同，但线段的长度是有比例的
回答问题：
1.不同长度单位下AB:CD一样吗？
AB:CD等于CD:AB 吗?
两条线段的比是有顺序的。
2.两条线段的比与所采用的长度单位有没有
关系？
两条线段的比与所采用的长度单位无关。但
要采用同一长度单位。
（1）两条线段的比：如果选用同一个长度单位，量得两
条线段AB，CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的
比AB:CD=m:n,或写成 其中,线段AB,CD分别叫
做这个线段比的前项和后项。
（2）引入比值k的表示方法：如果把 表示成比值k,
那么 ,或 AB=k·CD。
注意：引入比值k的方法是解决比例问题的
一种重要方法,以后经常会用到。
线段的比
所以研究相似图形，先要学习线段的
比和比例线段的有关知识。
A
B
C D
E A´
B´
C´ D´
E´
如图，把五边形ABCDE缩小一定的倍数
就得到和它相似的五边形A´B´C´D´E´.
1.已知a=2，b=4.1，c=4，d=8.2,下面哪个选项
是正确的？( )
A. d， b， a， c成比例 B. a，d，b， c成比例
C. a， c，b， d成比例 D. a，d，c，b成比例
2.下列各组数中成比例的是（ ）
A. 2， 3， 4， 1 B. 1.5，2.5，6.5，4.5
C. 1.1，2.2，3.3，4.4 D. 1， 2， 2， 4
C
D
课 堂 练 习
一.定义 :四条线段 a、b、c、d 中，如果
（或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、 c 、 d
叫做成比例的线段，简称比例线段.
a c
b d =
1.已知线段AB=2.5米，线段CD=400
厘米，则
（1）线段AB和CD的比是 ；
（2）这个线段的比的前项是 ，
后项是 。
5 ∶ 8
AB
CD
比应是最
简的比
（3） .已知a、b、c、d是成比例线段 ,且a=4cm,
b=6cm,d=9cm,则c=____
6cm
主动学习才是快乐
的
2
5
D
4.已知：线段a、b，且 ,
则下列说法错误的是（ ）
A a=2cm,b=3cm
B a=2k,b=3k (k不为0)
C 3a=2b
D
例1：如图一块矩形的绸布长AB=am，宽
AD=1m，按照图中所示的方式将它剪裁成相同
的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与
长的比与原绸布的宽与长的比相同。即 那
么a的值应当是多少？
AB
AD
AD
AE
解：根据题意可知：AB=am，AE= am，
AD=1m
3
1
由 ， 得
AB
AD
AD
AE
a
1
1
a
3
1
即 1a
3
1 2
∴
2
2a =3 开平方， 舍去）（ 3a3a
A
F
E
C
B
D
1.已知线段a=2cm,b=4.1cm,c=4cm,d=8.2cm,下面哪
个选项是正确的？( )
A. d, b, a, c成比例线段 B. a, d, b, c成比例线段
C. a, c, b, d成比例线段 D. a, d, c, b成比例线段
2.下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A.2cm,3cm,4cm,1cm B.1.5cm,2.5cm,6.5cm,4.5cm
C.1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cm D.1cm,2cm,2cm,4cm
C
D
课 堂 练 习
即：比例的两外项之积等于两内项之积.
a c
b d
ad bc
a c
b d =（1）能从 推导出
吗？
ad bc
（2）能从 推导出
吗？
ad bc
a c
b d
议一议： 比例的基本性质
（a,b,c,d都不为零
）
看谁想的多：已知 a·d=b·c，你能得到哪些比例
式
对调内项，
比例仍成立
！
对调外项，
比例还成立！
a
b
c
d=
b
a
d
c= b
d
a
c=
c
d
a
b=
d
b
c
a=
a
c
b
d=
c
a
d
b=
d
c
b
a=
练习. 已知 ,判断下列比例式是否成立
，
a c
b d
并说明理由.
(1) a b c d
b d
(2)
a a c
b b d
比例式变形的两种
常用方法：
1. 利用等式的基本性
质
2. “设比值”
(3) a b c d
b d
(4) a b c
b b d
积累就是知识
请用类比的方法得出结论
??, 为什么成立吗那么如果
d
dc
b
ba
d
c
b
a -=-=
• 合比性质(或合分比性质):
已知A.B两地相距40km，问在比
例尺为1:5 000 000的地图上,A.B
两地相距多少厘米？
答：A.B两地的图上距离是8cm.
解：设A.B两地的图上距离为A`B`
则：
即
所以A`B`= =8cm
AB
A`B
`
1
5000 000
A`B`
4×10 7
1
5000 000
4×10 7
5×10 6
=
=
请同学们谈谈这节课
你的收获!
主要内容：
注意事项：
反 思 与 总 结
1.成比例的四条线段要有顺序性.
3.比例尺问题中注意单位换算
.
2.利用等积式来判断转化成的比
例式是否正确.
2.比例的基本性
质
(a:b=c:d ad=bc)
及其应用.
1.成比例线段的定义.
4.1.2成比例线段（2）
比例线段
B C
DA
E F
GH
结论：
2
HG
AD
FG
CD
EF
BC
HE
AB
在四条线段 a、b、c、d 中，如果 a 和 b 的比等于
c 和 d 的比，那么这四条线段a、b、c、d 叫做成比例的线
段，简称比例线段.
d
c
b
a
外项
外项内项
内项
a ：b = c ：d.
外项
内项
a、b、c 的
第四比例项
c
b
b
a
如果作为比例内项的是两条相等的线段即
或a ：b = b ：c， 那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项
.
?
HGFGEFHE
ADCDBCAB
的值吗？由此你能得出什么结论？
你能求出
已知a，b，c，d，e，f六个数
如果 ，
那么 .
)0f(
f
e
db
d
c
b
a
b
a
db
ca
f
e
成立吗？为什么？
比例的性质
1、比例的基本性质：如果 a ：b = c ：d ，那么
ad = bc.
如果 ad = bc，那么 a ：b
= c ：d
2、合比性质： 如果 ，那么 d
c
b
a
d
dc
b
ba
3、等比性质：如果
，
那么 .
)0( ndb
n
m
d
c
b
a
b
a
ndb
mca
例2.已知:△ABC和△DEF中, 且
,△ABC的周长为18cm
求:△DEF的周长.
4
3
FD
AC
EF
BC
DE
AB
解
4
3
FD
AC
EF
BC
DE
AB∵
4
3
DE
AB
FDEFDE
CABCAB
又∵△ABC的周长为18cm。即AB+BC+AC=18cm
∵4（AB+BC+AC)=3(DE+EF+FD)
即DE+EF+FD= (DE+EF+FD) 3
4
DE+EF+FD= (DE+EF+FD) = ×18=24cm 3
4
3
4
即△DEF的周长为24cm
小试牛刀
1、如果 那么 。
7
5
f
e
d
c
c
a
2、如果 ， 那么 .5
2
f
e
d
c
c
a
fdb
eca
fdb
eca
1.已知 a:b:c=2：5：6， 求 的值.2a+5b–c
3a–2b+c
解：设 = = = k,
a b c
2 5 6
则 a=2k, b=5k, c=6k,
2a+5b–c
3a–2b+c∴ = 4k+25k–6k
6k–10k+6k = 23
2 .
试一试
如果 （ ），
n
m
d
c
b
a
0 ndb
b
a
ndb
mca
那么 成立吗？
2.
ba
ba
b
ba
ba
5
43)2(
2)1(
.,
43
.1
求下列算式的值已知
.
23
3,
432
:.2 的值求已知
yx
zyxzyx
课堂练习
的值。求
且、已知
cba
cbacba
23
,182,2:4:3::3
小结
比例的性质
1).等比性质:
b
a
ndb
mca
如果 （ ），
n
m
d
c
b
a
0 ndb
那么
2)、认真观察图形，特别注意图形中线段的和、差，
巧妙地与合比性质结合起来.
3）、要运用方程的思想来认识比例式，设出未知数，
列出比例式，化为方程求解.
4.2平行线分线段成比例
1、比例性质
基本性质
合比性质
等比性质
若 = ,则ad=bc.a
b
c
d
若 = ,则 a
b
c
d
a+b
b = c+d
d
若 a
b
c
d
e
f
m
n= = = =……
(b+d+f+…+n≠0),则 =a+c+e+…+m
b+d+f+…+n
a
b
如图：直线l1//l2//l3,l4、l5被l1、l2 、l3所截
猜
想
：
如图，已知l1∥l2∥l3
求证：
思 考 题
平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
上
下
上
下
=
上
全
上
全
=
下
全
下
全
=
! 注意:平行线分线段成比例定理得到的比例式中,
四条线段与两直线的交点位置无关!
定理的符号语言
L1//L2//L3
AB DE
BC EF
(平行线分线段成比例定理)
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
D
E
F
A
B
C
L1
L2
L3
L4 L5
a b
基本图形：“8”字形
l1
l2
l3
A
B
C
D
（E）
F
a b
基本图形：“A”字形
l
1
l
2
l
3
A
B
C
D
E
F
L1
L2
L3
A
B
C
D
E
F
L4 L5
L1
L2
L3
L4 L5
L1
L2
L3
L5L4
L1
L2
L3
L4L5
L1
L2
L3
L4L5
CB
ED
A
//
数学符号语言 A
B C
D E
平行于三角形一边的直线与其
他两边相交，截得的对应线段
成比例
推论的数学符号语言：
∵ DE∥BC
AD AE
AB AC
∴ —— ——＝
A
B C
E D平行于三角形一边的直线
截其他两边的延长线，所
得的对应线段成比例。成
立吗？
CB
ED
A
∴
∴AF=
5
28
5
47
EB
FCAE
∴
AC
AF
AB
AE
∴
3
25
6
510
AE
AFABAC∴
3
105
3
25
AFACFC
FC
AF
EB
AE
小试牛刀
已知：BE平分∠ABC，DE//BC.
AD=3, DE=2, AC=12,
求：AE的长度
2
3k
2k
2
3
练习: A
B
D
C
E
EC
BC
DC———— ＝
A
B
C D
E
(A组)
(B组)
1、如图: 已知 DE∥BC,
AB = 14, AC = 18 ，
AE = 10，
求：AD的长。
2、如图: 已知AB⊥BD，
ED⊥BD，垂足分别为
B、D。
求证：AC
课堂小结，归纳提炼
1、平行线分线段成比例定理，三
条平行线截两条直线所得的对应
线段 成比例。
2、定理的形象记忆法。
3、定理的变式图形。
4、定理的初步应用。
4.3 相似多边形
回顾交流
B C
A
D
E F
情境引入
F'
E' D'
C'
B'A'
A B
C
DE
F
相似多边形概念：
各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相
似多边形。
相似比概念：
相似多边形对应边的比叫做相似比。
注：1. 六边形ABCDEF与 六边形相似
，记做 六边形ABCDEF 六边形 ,
读作相似于,其中 AB： 的值就是相似比.
S
2.在记两个多边形相似时，要把表示对应角
顶点的字母写在对应的位置上。
（对应角相等、对应边成比例）
FEDCBA
FEDCBA
BA
S
5
4
1111111111
AE
EA
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
5
4
4
5
解：（1）正三角形ABC与正三角形DEF相似
由于正三角形每个角都等于600，所以
∠A=∠D= 600，∠B=∠E= 600， ∠C=∠F=
600；
1
B C
D
E F
A由于正三角形三边都相等，
所以
所以 正三角形ABC与正三角形DEF相似
；
B C
D
E
F
A
（2）
H
G
解：（2）正方形ABCD与正方形EFGH相似.
由于正方形每个角都是直角，所以
∠A=∠E= 900， ∠B=∠F= 900，
∠C=∠G= 900， ∠D=∠H= 900；
由于正方形四边相等，所以
.
HE
DA
GH
CD
FG
BC
EF
AB
•所以正方形ABCD与正方形EFGH相似
直观有时候是不可靠的.
1.观察下面两组图形，图（1）中的两个图形
相似吗？为什么？
正方形 菱形
10
10
12
12
答：不相似。因为虽然它们对应边是成比例
的，但它们的对应角不相等。
（1）
图（2）中的两个图形相似吗？为什么？
正方形
矩形
10
10
8
12（2）
答：不相似。因为虽然它们对应角相等，
但它们 对应边不成比例。
2.如果两个多边形不相似，那么它们的对应
角可能都相等吗？ 对应边可能都成比例吗？
答：如果两个多边形不相似，
它们的对应角可能都相等；
对应边也可能成比例。
3. 两个多边形相似的表示方法：若有五边ABCDE五
边形A‘B’C‘D’E‘相似，则记做五边形ABCDE 五边形
A’B‘C’D‘E’
S
4.4.1
探索三角形相似的条件
如图,在4×6方格内先
任意画一个△ABC,然后
画△ABC经某一相似变
换(如放大或缩小若干倍
)后得到△A′B′C′(点
A′,B′,C′分别对应点
A,B,C,顶点在格点上).
问题讨论1: △A′B′C′与△ABC对应角之间有什么关系?
问题讨论2: △A′B′C′与△ABC对应边之间有什么关系?
表示为：
△ABC∽△A'B'C'
C
A
B
B′
A′
C′∵ ∠A=∠A' 、∠B=∠B' 、∠C=∠C'
'A'C
CA
'C'B
BC
'B'A
AB
∴ △ABC∽△ A'B'C'
我们将相似三角形对应边的比称为相似比。
1
2
反之：若△A'B'C' ∽△ABC
，则它们的相似比是多少？
在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，
试确定x ,y ,m ,n 的值.
x 20
33
48
22
30
做一做
A
B
C
D
E
45°
85° m°
n°
50°
45°
3a
2a y
10
(1)
A
B
C
D
E
F
20
22
x
(2)
?,, 相等吗
对应边的比
CB
BC
CA
AC
BA
AB
两角对应相等的两个三角形相似.
A
B C
D
E F
A
B C
D E
例1如图D,E分别是△ABC的边
AB,AC上的点且DE∥BC，AB=7
，AD=5，DE=10求BC的长？
解：∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似）
.
BC
DE
AB
AD
.14
5
107
AD
DEABBC
若DE与BC不平行，△ADE与△ABC还可
能相似吗？说明理由.
A
B C
D E
A
D E
B C
E D
CB
A
活动四：同伴互助，变式训练
“A”型
A
B
C
ab
“A”型 “x”型
A
B C
D
E
A
B C
D
D
A
E
B
C“共角”型 “共角共边”型 “蝴蝶”型
学到了什么？
EF
BC
DF
AC
DE
AB
对应角相等， 对应边成比例的两个三角形,
叫做相似三角形。
如果∠A =∠D,∠B =∠E,,
两角对应相等的两个三角形相似
△ABC与△DEF相似，就记作:△ABC∽△DEF.
注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！
那么△ ABC∽ △DEF,
1. 定义
2.判定定理
4.4.2探究三角形相似的条件
• 以问题的形式，创设一个有利于学生动手
和探究的情境，达到学会本节课所学的相似
三角形的判定方法．
过程与方法
• 培养学生积极的思考、动手、观察的能力
，使学生感悟几何知识在生活中的价值．
情感态度与价值观
理解相似三角形的判定方法
知识与能力
两边对应成比例且夹角相等的两个
三角形相似吗？
两边对应成比例且夹角相等
的两个三角形相似.
结
论
⑴以两位同学为一小组，一位同学作2cm、3cm
、为边且夹角为60°的三角形；另一位同学作
4cm、6cm、为边且夹角为60°的三角形。
⑵然后同桌进行对照，观察两个三角形是否
相似？
上述判定方法中的“角”一
定是两对应边的夹角吗？
G
3.
2
C
3.2
50°)
4
A
B
2 1.
6
50
°
)
E
D
F
看看演示
你有疑问吗 ？
两边对应成比例且夹角相等的
两个三角形相似.
结论：
＝
¢CA
AC
¢
AB
¢BA ¢
则△ABC∽△A'B'C'
若在△ABC与△A'B'C'中
且∠A=∠A′
观察上面图形，
如果两个三角形两边对应成比例，有任意一角对应相等，
那么，这两个三角形一定相似吗？
D
B C
A
E
∴DE= BC=
∴
∵
又∵∠EAD=∠CAB
解：∵AE=1.5 AC=2
∴
∴
△ ADE∽ △ABC
∵BC=3
∴
4
3
4
9
×3=
4
3
例2：如图：D，E分别是△ABC的边AC,AB边上的点。
AE=1.5，AC=2，BC=3， 求DE的长？
《拿破仑测莱茵河宽度》
观察到对面岸边的一个标志O，于是他想出了一
个测量河宽的办法。他在自己的岸边选点A、B、D，
使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C。
然后测得AC=120米。CB=60米，BD=2０0米，你能帮
助他算出莱茵河的宽度吗？
Ｏ
Ａ Ｂ
Ｄ
Ｃ
7
下面每组的两个三角形是否相似？ 请说说你的理由：
3.5
D
FE
2.52
C
A 4
5
5
E
F
B
4
A
CB
4 5
⑴
⑵
你会做了吗？运用：
下面每组的两个三角形是否相似？ 请说说你的理由：
A 4
5
5
E
F
C
B
4
⑴
运用：
⑵ 一个直角三角形两条直角边的长分别为6cm、4cm，
另一个直角三角形两条直角边的长分别为9cm、
6cm，这两个直角三角形是否相似？为什么？
A C
B
A’ C’
B’
再看看你的能力
有一池塘, 周围都是空地. 如果要测
量池塘两端A、B间的距离, 你能利用
本节所学的知识解决这个问题吗?
•
•
A
B
•
D
E
C
•
•
学 以 致 用
收获：
★ 探讨了相似三角形的另一种判定方法:
★ 数学活动充满着探索与创新,请同学们
利用所学知识解决生活中的实际问题.
两边对应成比例且夹角相等的两
个三角形相似.
回顾与思考
1、什么叫全等三角形?
2、全等三角形的判定
方法有哪些？
1、什么叫相似三角形?
2、若给定两个三角形，
你有什么办法来判定它们
是否相似?
AAS、 ASA、SAS、 SSS、 HL。
观看演示：若△ABC与△A`B`C`满足条件：
你能发现这两个三角形相似？
1
2
CA
AC
CB
BC
BA
AB
如果两个三角形的三组对应边的比
相等，那么这两个三角形相似。
知识要点
判定三角形相似的定理之一
△ABC∽△A1B1C1.
1 1 1 1 1 1
,AB BC AC
A B B C AC
即：
如果
那么
A1
B1 C1
A
B C
三边对应成比例，两三角形相似。
边
边
S
S
S√
A
D
C
E
B
例3如图在△ ABC和△ADE中
解：
.
AE
AC
DE
BC
AD
AB
∵
∴
∴∠CAE=20°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
∵∠BAC=∠DAE
∵
∠BAD＝20°求∠CAE的度数
.
AE
AC
DE
BC
AD
AB
△ABC∽△ADE
(三边成比例的两个三角形相似）
即∠BAD=∠CAE
∠BAD=20°
方法？相似吗？你有哪些判定如图， CBAΔ与ΔABC
是否相似？为什么？下列每组的两个三角形
依据下列各组条件,判定△ABC与
△DEF是否相似,并说明为什么：
（1） AB=4cm, BC=6cm, AC=8cm,
（2）DE=12cm，EF=18cm,DF=24cm.，
△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点
上 ，请在图中画一个△A1B1C1 使
△ A1B1C1 ∽△ABC（相似比不为1），
且点都在单位正方形的顶点上 .
在正方形方格中,
C
A B
试一试
试一试:
AC
BC
AB
AC
五角星是我们常见的图形,如右图
CA
DE
B
F
H
G M
N
1在图中找出相等的角,相等的线段。
2),在图中找出两对相似比不同的相似三角形。
小亮认为： 你同意他的
说法吗？
探索交流 黄金分割
那么称线段AB被点C黄金分割，
点C叫做线段AB的黄金分割点,
AC与AB的比值约为0.618,这个比值叫做黄金比
如果点C把线段AB分成两条线段AC和CB,使
AB
AC
AC
CB
A BC
例:计算黄金比
CA B
x 1－xAC
BC
AB
AC
∴
得,解：由,
设AB=1，AC=X,则BC=1-X
)1(12 XX
即:X2+X-1=0
解这个方程，得 不合题意，舍去）， (
2
51
2
51
21
XX
所以，黄金比 618.0
2
15
AB
AC
如果一个矩形的宽与长的比值正
好是黄金比(0.618),人们称它为“
黄金矩形”,黄金矩形曾一度统治
着西方世界的建筑美学,巴黎圣母
院是它的一个杰出代表作,它的整
个结构就是按照黄金矩形建造的.
请你画出一
个黄金矩形.
芭蕾舞演员的身段是苗条
的，但下半身与身高的比
值也只有0.58左右，演员
在表演时掂起脚尖，身高
就可以增加6-8cm.这时比
值就接近0.618了,给人以
更为优美的艺术形象.
芭蕾舞欣赏之二:
468m
289.2m
上海东方明珠电视塔高
468m,上球体到塔底的
距离约为289.2m, 289.2
与468的比值是一个神奇
的数字0.618,这个塔的
设计精巧,外型匀称、漂
亮、美观、大方.
欣赏之三:上海东方明珠塔
A
B C
D
P Q
欣赏之四: 蒙娜丽莎
著名画家达·芬奇的蒙娜丽
莎, 其漂亮的面部抽象为矩
形ABCD，四边形BCQP恰
为正方形。AP与BP的比，
BP与AB的比都是一个神
奇的数0.618.
生活中的黄金分割
1.小明家的房间高3米,他打算在四周墙中涂
上涂料美化居室,从地面算起,涂到多高时才
使人感到舒适?
2．在人体下半身与身高的比例上，越接近
0.618，越给人美感，遗憾的是，即使是身
体修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美。
某女士身高1.68米，下半身1.02米，她应
该选择多高的高跟鞋看起来更美呢？
黄金分割点的尺规作图：
积极探究：
读一读 神奇的0.618
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度
左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁
门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬
30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，
九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好
在这黄金分割的纬度上。
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶的宽与
长之比也接近0.618;
节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，而总是站
在舞台的1／3处，站在舞台上侧近于0.618的位置才是最
佳的位置;
生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来
舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于8
开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金矩形。
三角形全等判定： •角边角
•角角边
•边边边
•边角边
三角对应相等,
三边对应成比例
1. 两角对应相等（判定１）
3. 三边对应成比例（判定3）
三角形相似判定：
三角对应相等,
三边对应相等
2.两边对应成比例且夹角相等（判定2）
3.什么是黄金分割
4.如何去确定黄金分割点或黄金比
5.用数学美去装点和美化生活
4.5相似三角形定理证明
（AA)判定定理：两角分别相等的两三角形
相似
已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,
求证:ΔABC∽ △A/B/C/
A A B B C C ， ， ，
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取
AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。
A
B C
A/
C/ B/
D E
∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/
∴ ΔA DE≌ ΔA/B/C/，
∴ ∠ADE=∠B/，
又∵ ∠B/=∠B，
∴ ∠ADE=∠B，
∴ DE//BC，
∴ ΔADE∽ΔABC。
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
(SAS)判定定理：两边成比例且夹角相等
的两个三角形相似。
A
B C
'B 'C
'A
ABCD ∽ ''' CBAD
中，和已知：在 ''' CBAABC DD ',
''''
AA
CA
AC
BA
AB
ABC ''' CBA求证: △ ∽△ A
B C
'A
'B 'C
D E
''
'
''
'
CA
EA
BA
DA
∴
又
DE
DABDA
BA
再做，过点上）截取
（或它的延长线证明：在线段
'
''
''''
'
CA
AC
CA
EA
ABDA
CA
AC
BA
AB
',
''''
∴
∴ ∴
∥ ，可得交于点交 ECACB ''''
DEA'D
''' CBAD∽
ABCDEA DD ' ABCD ∽ ''' CBAD
∴ ACEA ' '.AA 又
A
B C
ABCD ∽ ''' CBAD
'A
'B 'C
（SSS)定理：三边成比例的两个三角形相似
中，和已知：在 ''' CBAABC DD ,
'''''' CA
AC
CB
BC
BA
AB
ABC ''' CBA求证: △ ∽△ A
B C
'A
'B 'C
D E
''
'
''''
'
CA
EA
CB
DE
BA
DA
∴
又
DE
DABDA
BA
再做，过点上）截取
（或它的延长线证明：在线段
'
''
''''
'
CA
AC
CA
EA
ABDA
CA
AC
CB
BC
BA
AB
',
''''''
∴
同理 BCDE
∴ ∴
∥ ，可得交于点交 ECACB ''''
DEA'D ''' CBAD∽
ABCDEA DD ' ABCD ''' CBAD
∴ ACEA '
∽
如图，判断4×4方格中的两个三角形是否相似,
并说明理由.
E
D
F
B
A
C
热身练习：判断图中的各对三角形是否相似。
A B
CD
O
5 6
24
20
A B
CDE
F
30
36
48 72
45
54
A
B
D
P
8
12 21
14
A
B
C
D
P
4
11 12
18
图
一
图
二
图
三
图
四
找
一
找
F
A
B C
D
G
E
图 1
（1）图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。
（2）图2中AB∥CD∥EF，找出图中所有的相似三角形。
答：相似三角形有 △ADE∽△AFG∽△ABC。
答：相似三角形有 △AOB∽△FOE∽△DOC。
A B
图 2
C
F
D
E
O
（3）在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝
40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？
∠B=180 °－（∠A+∠C)=180 °－（80 °+60 °)=40 °
C
A D B
3.找出图中所有的相似三角形
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
你能写出对应边的比例式吗?
A
B C
D
E
A
B C
D
E 21
O
C
B
A
D
O
C D
A B
A
B C
D E
解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C
∴ △ABD ∽ △ACB
∴ AB : AC=AD : AB
∴ AB2 = AD · AC
∵ AD=2 AC=8
∴ AB =4
已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 AC=8，
求AB
A
B C
D
4.6利用相似三角形测高
D
E
B CA
学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？
你有什么办法测量？
E
B
C A
D
F
D
E
B CA
例：数学兴趣小组测校内一旗杆，有以下三种方法：
方法一：利用阳光下的影子。
例：数学兴趣小组测校内一旗杆高，有以下三种方法：
方法二：利用标杆
请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其他测量旗
杆高的方法吗？
F D
C
E B
A
把长为CD的标杆直立在地面上，量出旗杆的影长为
EB，标杆影长为。
例：数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下三种方法：
方法三：如图，把镜子放在离旗杆（AB）点E处，然
后沿着直线BE后退到D，这时恰好在镜子里看到秆顶点
A，再用皮尺量得DE，观察者目高CD；
C
D E
A
B
1 2
3 4
物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
知识要点
测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度，通
常用“在同一时刻物高与影长成正比例”
的原理解决。
课堂小结:
四、相似三角形的应用的主要图形
1.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，
同时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是
多少？
△ABC ∽ △A'B'C'
求得 A'C'=54m
答：这栋高楼的高度是54m.
解： A
B C
1.8m
3m A'
B' C'90m
?
2. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落
在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.（设网
球是直线运动）
A
D B
C
E
┏
？
2.4m
3、如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，
小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处
再测得自己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求路
灯杆AB的高度。
D F
B
C E
G
A
P
D
Q B
C
A
课堂小结:
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
二 、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻
物高与影长的比例”的原理解决
解决实际问题时（如测高、测距），
一般有以下步骤：①审题 ②构建图形 ③利用相似
解决问题
4.7相似三角形的性质
相似三角形的识别
问：相似三角形的识别方法有哪些？
证二组对应
角相等
证三组对应边
成比例
证二组对应边成
比例，且夹角相
等
相似三角形的特征
问：你知道相似三角形的特征是什么吗？
角：对应角相等
边：对应边成比例
问：什么是相似比？
相似比=对应边的比值=
如右图，△A B C ∽△A′B′C′
A
B C
A’
B’ C’
D
D’
已知：Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’相似比
为k,它们对应高的比是多少？对应角平
分线的比是多少？对应中线的比呢？请
证明你的结论。
想一想
相似三角形对应边上的高有什么关系呢？
归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。
A′
B′ C′D′
△A D C ∽△A′D′C′
则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得△A′B′C′，并作出
B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多
少？AD 与A′ D′有什么关系？
右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。
D
A
B C
(2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对
应边上的高有什么关系呢？__________
说说你判断的理由是什么？___________
相似三角形对应角的角平分线有什么
关系呢？
归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比
。
(2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应
角的角平分线比是多少？
说说你判断的理由是什么？___________△A F C ∽△A′F′C′
如右图△A B C ， AF为 ∠ A 的角平分线。
则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ F′ 为∠ A′的
角平分线， △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AF
与A′ F′比是多少？
A
B CF
A′
B′ C′F′
归纳：相似三角形对应边上的中线比等于相似比
。
相似三角形对应边上的中线 有什么关
系呢？
如右图△A B C ， AE为 BC 边上的中线。
则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ E′为 B′C′边上
的中线。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AE 与
A′ E′比是多少？
A
B CE
A′
B′ C′E′
△A E C ∽△A′E′C′
(2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应边
上的中线的比是多少呢？
说说你判断的理由是什么？___________
课堂练习:
填空：
（1）两个三角形的对应边的比为3:4，则这两个三
角形的对应角平分线的比为_____ ，对应边上的高的
比为____，对应边上的中线的比为____
(2)相似三角形对应角平分线比为0.2,则相似比为
_________,对应中线的比等于______;
3、ΔABC中，AE是角平分线，D是AB上
的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B，
且AC=2AD.则ΔACD∽ Δ______.它
们的相似比K =_______, ______
AG
AE
A
B CE
D
S
B C
R
E
D
A
例1,如图， AD是△ABC的高AD=h，点R在
AC边上,SR⊥AD垂足为 E,当SR= BC时，
求DE的长。如果SR= BC呢？
2
1
3
1
解：∵SR⊥AD
BC⊥AD
∴
即
∴
∴SR//BC
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C
Δ ASR∽Δ ABC
BC
SR
AD
AE
BC
SR
AD
DEAD
当SR= BC时2
1
当SR= BC时
3
1
hDE
h
DEh
2
1.
2
1
解得得
hDE
h
DEh
2
1,
2
1
解得得
1.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应
中线, 求BD的长？
2
3
CA
AC cmDB 4
小试牛刀
2、△ABC∽△A′B′C′，AD和 A′D′是它们的对
应角平分线，已知AD＝8cm，A′D′＝3cm，求
△ABC和△A′B′C′对应高的比.
你会应用吗？
3、△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，已
知 ，B′D′=4cm，求BD的长.
2
3
CA
AC
''
解：∵ △ABC∽△A′B′C′，
BD和B′D′是它们的对应中线
2
3
CA
AC
DB
BD
''''
∴
（相似三角形对应中线的比都等于相似比）
∴ BD=6
2
3
4
BD
∴
4.如图是一个照相机成像的示意图，如果底片XY
宽35mm，焦距是50mm，能拍摄5m外的景物有多宽？
拓广应用空间：
35mm 50mm 5m
X
Y
A
B
L
相似三角形的周长有什么关系呢？
归纳：相似三角形的周长比等于相似比。
右图（1）（2）（3）分别是边长为1、2
、3的等边三角形，它们都相似．
（2）与（1）的相似比＝________________，
（2）与（1）的周长比＝________________;
（3）与（1）的相似比＝________________，
（3）与（1）的周长比＝________________.
2:1
2:1
3:1
3:1
从上面可以看出当相似比＝k时，周长比＝______k
相似三角形的面积有什么关系呢？
2:1
归纳：相似三角形的面积比等于相似比的平方
。
右图（1）（2）（3）分别是边长为1、2
、3的等边三角形，它们都相似．
（2）与（1）的相似比＝________________，
（2）与（1）的面积比＝________________;
（3）与（1）的相似比＝________________，
（3）与（1）的面积比＝________________.
4:1
3:1
9:1
从上面可以看出当相似比＝k时，面积比=______ k2
算一算：
ΔABC与ΔA’B’C’的相似比是
多少？
ΔABC与ΔA’B’C’的周长比是多少?
面积比是多少？
4×4正方形网格
看一看：
ΔABC与ΔA’B’C’有什么关系？ 为什么？
想一想：
你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比
有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？
（相似）
√2
2
√2
周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
√10
2
√2
1
√5
√2
A B
C
A’
C’B’
已知两个三角形相似，请完成下列表格
相似比
周长比
面积比
注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，
求面积比要平方，
而已知面积比，求相似比或周长比则要开方。
2
4
100
100
1000
0
1
9
1
3
1
3
2 ．．．
．．
．
．．．
D
B C
例2：如图将Δ ABC沿BC方向平移得到
△DEF。△ABC与△DEF重叠部分（图
中阴影部分）的面积是△ABC面积的一
半已知BC=2，求△ABC平移的距离。
A
E F
△GEC∽△ ABC
解：根据题意，EG//AB
∠GEC=∠B,∠EGC=∠A
G
22
2
2
22
1
2
2
2
2
22
ECBCBE
EC
EC
EC
EC
BC
BC
EC
S
S
ABC
GEC
即
△
△
∴
∴
∴
即△ABC平移的距
离为2- 2
B
A
C
D E
如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m,
ΔABC的周长为80m，面积为100m2,
求ΔADE的周长和面积
30m
18m
1、在△ABC中，DEBC，E、D分别在AC、AB上，
EC=2AE，则S △ADE：S △ABC的比为______
练习
2、如图， △ABC中，DEFGBC，AD=DF=FB，则
Ｓ△ADE:Ｓ四边形DFGE:Ｓ四边形FBCG=____
A
B C
D E
S △ADE：S四边形DBCE的比为______
1/9
1/8
1、把 一个三角形变成和它相似的三角形，则
如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为
原来的_____________倍；
如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为
原来的_______________倍。
课堂练习
10000
10
2、已知△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。
（1）若△ABC的周长为24cm，则△A′B′C′的周长为
cm；
（2）若△ABC的面积为32 cm2 ，则△A′B′C′的面
积为 cm2。
18
18
课堂练习
3、已知，在△A B C 中，DE||BC, DE:BC=3:5
则(1)AD:DB=
(2)△ADE的面积:梯形DECB的面积=
(3)△A B C的面积为25，则△A DE的面积
=___ 。
3:2
9:16
9
4、如图，已知DE∥BC
，BD=3AD，S△ABC
=48，求：△ADE的面
积。
课堂练习
解：因为DE∥BC
所以∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB
所以△A DE ∽△ABC
又因为BD=3AD
可得相似比k=AD:AB=1:2
所以S△ADE =1/4 S△ABC =12
小结
相似三角形的性质
对应角相等、对应边成比例
对应高之比、对应中线之比、对应角平分线
之比都等于相似比
周长之比等于相似比
面积之比等于相似比的平方
（你学到了什么呢？）
4.8 图形的位似
探索与思考 观察下列图形的特点
A
B
C
D
P
特征: (1)是相似图形
(2)每组对应点所在的直线都经过同一个点
如果两个多边形是每组对应顶点的连
线都经过同一个点，那么这样的两个多边形
叫做 。
这个点叫做位似中心。
实际上，K就是这两个相似多边形的相似比
位似多边形
基本概念:
2、观察下列位似图形
下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相
似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点
的连线有什么特征？
图中每组中的两个多边形也是位似多边形。
应用位似图形概念作图
例：如图已知△ABC以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC相似，
且相似比为2.
O
A
C
B
解：1、画射线OA,OB,OC.
2、在射线OA，OB,OC上取点D,E,F使
OD=2OA,OE=2OB,OF=2OC
3、 顺次连接D、E、F
D
E
F
实际上△ABC与△DEF是位似图形，位似中心是点O
小
结
问题 如何利用位似中心作出扩大的图形呢？
则△DEF与△ABC位似，相似比为2
满足条件的△DEF可以在点O的另一侧吗？
想
一
想
？
用橡皮筋放大图形的方法放大图形：
,使用这种方法,放大前后的两个图形是位似图
形,你能用这种方法将一个已知的正方形放大,
使放大后的图形与原图形的位似比分别是1:2
吗?
练一练1：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
（1）五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′；
（2）在平行四边形ABCD中，△ABO与
△CDO
练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
（3）正方形ABCD与正方形A′B′C′D′.
（4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′
随堂练习
在平面直角坐标系中△OAB的顶点坐标
分别是O(0,0),A(3,0),B(2,3),将点
O,A,B的横，纵坐标都乘2.以这三个
点为顶点的三角形与△OAB位似吗？
如果位似。指出位似中心和相似比。
如果将点O,A,B的横，纵坐标都乘-2呢？
B
C
O A X
Y
做一做
如图，请以坐标原点O为位似中心，作的位似图形
，并把的边长放大3倍.
分析：根据位似图形上任
意一对对应点到位似中心的
距离之比等于位似比，我们
只要连结位似中心O和的各
顶点，并把线段延长（或反
向延长）到原来的3倍，就
得到所求作图形的各个顶点
直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律
在平面直角坐标系中将一个多边形每个顶点的横纵坐标都乘
同一个k（k 0)所对应的图形和原图形位似
位似中心是坐标原点它们的相似比
想一想：
1．四边形GCEF与四边形G′C′E′F′具有怎样的对称性？
2．怎样运用像与原像对应点的坐标关系，画出以原点为
位似中心的位似图形？
k
练一练
1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作
△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的一半
.
练一练
今天你学会了什么？
位似图形的定义，位似图形的性质.
第四章 图形的相似 复习
一、本章知识结构图
相似图形
位似图形
相似多边形
相似三角形
对应角相等
对应边的比相等
周长比等于相似比
面积比等于相似比平方
应
用
相似三角形的判定
回顾与反思
一、相似的图形
二、相似三角形
相似三角形的性质
对应边成比例，对应角相等
对应高，对应中线，对应角平
分线的比等于相似比
对应周长的比等于相似
比
对应面积的比等于相似比的平方
相似三角形的识别
一个三角形的两角与另一个三角形的
两角对应相等
一个三角形的两条边与另一个三角形的
两条边对应成比例，并且夹角相等
一个三角形的三条边和另一个三角形的
三条边对应成比例
三、位似三角形
三、 基本图形
“ 型
在△ 中， ∥ ，则有
△ ∽△
“
型 在△ 中， ∥ ，则有
△ ∽△
1．如图6—1，已知△ABC，P是AB上一点，连
结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加的条件是
什么？（只要写出一种合适的条件）
A
B C
P
解：只需添加条件：
∠B＝∠ACP或∠ACB＝∠APC或
如图， ＝ ，且∠ ＝∠
，
试说明△ ∽△
∵ ＝ ，得 ∶ ＝
∶
∵∠ ＝∠ ∴△ ∽△
∴∠ ＝∠ ∵∠ ＝∠
∴ ∠ ＝∠
∴ ∥
∴∠ ＝∠ ∵∠ ＝∠
∴ △ ∽△
解：
如图6—5，4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B
、C在单位正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1
，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、
B1、C1都在单位正方形的顶点上．
4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，
BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q
从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别
从A、B两地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形相
似？
如图⊿ 中， ，
，点 从 点开始沿 边向点 以
的速度移动，点 从点 开始沿 边向
点 以 的速度移动。若点 、 从
、 处同时出发，经过几秒钟后，
⊿ 与⊿ 相似？
Q
P
C
B
A
学以致用：
1、两个相似三角形对应中线之比是1：2，
则对应角平分线之比也是1：2。（ ）
2、两个相似三角形面积比是1：2，则相似比是1：4。（ ）
3、△ABC∽△A′B′C′，相似比为2：3，若△ABC周长为6
，
则△A′B′C′周长为9。 （ ）二、填空：
1.如图△ABC中，DE∥BC，且S△ADE=S梯形DBCE，
则DE:BC=____.
A
B C
D E
一、判断正误：
√
×
√
：2
根据下列图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出
和 的值
∠ ∠
解： （ ） ∠ ∠
∠ ∠ °
∴△ ∽△
则有
△ 的三边长分别为 、 、 ，与它相似的△ 的最小边
长为 ，求△ 的其他两条边长和周长．
解： ∵ △ ∽ △
设△ 另两边分别为
则
如图， 、 相交于点 ， ，求证 ＝
证明：
∴△ ∽△
∴ ＝
3.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE交于点
O,
则△DOE与△BOC的周长之比是_______,
面积比是________.
2.两个相似五边形的面积比为9:16,其中较大
的五边形的周长为64cm,则较小的五边形
的周长为_______cm.
O
D
A
B C
E
48
1:3
1:9
、 两相似三角形对应高之比为 ∶ ，周长之和为
，则两个三角形周长分别为 与
、 两相似三角形的相似比为 ∶ ，它们的面积和
为 ，则较大三角形的面积为
6. 四边形ABCD是平行四边形,点E是 BC的延长线
上的一点,而CE:BC=1:3,则 △ADG和△EBG的周
长比 ， 为面积比。
F
D
G
EB
A
C
3：4 9：16
举例说明三角形相似的一些应用．
例如用相似测物体的高度
测山高 测楼高
如图，△ 是一块锐角三角形材料，边 ＝ ，高 ＝
，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 上，其余两
个顶点分别在 、 上，这个正方形零件的边长是多少？
解：
∵
∴△ ∽△
＝ － ＝ －
解得
设正方形 为加工成的正方形零件，边 在
上，顶点 、 分别在 、 上，△ 的高
与边 相交于点 ，设正方形的边长为
如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地 远的地上，然后反弹碰
到墙上，如果她跳起击球时的高度是 ，排球落地点离墙的距离是
，假设球扬直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？
解： ∠ ∠ °
∠ ∠
∴△ ∽△
∴
答：球能碰到墙面离地 高的地方．
本节课主要是复习相似三角形的性质
判定及其运用。在解题中要熟悉基本图
形。并能从条件和结论两方面同时考虑问
题。灵活应用。
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