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第二章 方程(组)与不等式(组)
2.1 一次方程(组)
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考点一 等式与方程
1．等式的定义
用“＝”表示相等关系的式子叫做等式．
易错提示：“＝”本身具有“对称性”和“传递性”，即若A＝B，则B＝A；
若A＝B，B＝C，则A＝C．
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2．等式的性质
加或减
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3．方程(组)及其解
(1)方程的定义：含有②__________的等式叫做方程．
(2)方程的解：使方程左、右两边③________的未知数的值叫做方程的解．只含
有④________未知数的方程的解，也叫做方程的根．
(3)整式方程：方程的左、右两边都是整式的方程，叫做整式方程．
未知数
相等
一个
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考点二 一元一次方程及其解法
考情概览
[近5年仅2018年攀枝花(6分)]
1．一元一次方程的定义
在一个方程中，只含有一个(一元)⑤__________，并且未知数的⑥________是
1(一次)，这样的方程叫做一元一次方程．
2．解一元一次方程的总体思路
根据等式的基本性质，将方程逐步“化简”，最终化成x＝m的形式．
未知数 指数
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3．解一元一次方程的一般步骤
最小公倍数
未知数 常数项
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1．二元一次方程(组)的相关概念
(1)二元一次方程：含有⑩________未知数，并且所含未知数的项的次数都是
⑪_____的方程叫做二元一次方程．
(2)二元一次方程组：两个未知数相同的二元一次方程所组成的一组方程叫做二
元一次方程组．
(3)二元一次方程的解：使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫做二元
一次方程的一个解．二元一次方程的每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一
个未知数的值．一般地，一个二元一次方程的解有无数个．
(4)二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的⑫________解，叫做二
元一次方程组的解．通常情况下，二元一次方程组有唯一解或无解．当两个二元一
次方程同解时，方程组有无数个解．
两个
1
公共
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2．解二元一次方程组的方法和步骤
代入消元法 加减消元法
(1)选取一个系数较简单的二元一次方
程变形，用含有一个未知数的代数式
表示另一个未知数
(1)利用等式的基本性质，将原方程组中某
个未知数的系数化成相等或相反数的形式
(2)将变形后的方程代入另一个方程中
，消去一个未知数，得到一个一元一
次方程
(2)利用等式的基本性质将变形后的两个方
程相加或相减，消去一个未知数，得到一个
一元一次方程
(3)解这个一元一次方程，求出未知数的值
(4)将求得的未知数的值代入(1)中变形
后的方程中，求出另一个未知数的值
(4)将求得的未知数的值代入原方程组中的
任何一个方程中，求出另一个未知数的值
(5)用大括号“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解
(6)最后检验(代入原方程组中进行检验，方程是否都满足左边＝右边)
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方法点拨：代入消元法和加减消元法的选用：一般来讲，代入消元法适用于方
程组中一个方程的某个未知数的系数为1或－1的情况；加减消元法适用于两个方程
中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系的情况．
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3．三元一次方程(组)的相关概念
①三元一次方程：含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方
程叫做三元一次方程．
②三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是
1，并且一共有3个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
4．解三元一次方程组的基本思路
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次
方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次
方程组的思路是一致的．
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1．列方程解应用题的一般步骤
(1)审：审题，弄清题意，明确已知量和未知量，找出相等关系；
(2)设：设适当的未知数(要有单位)；
(3)列：根据相等关系列出方程(组)；
(4)解：解出所列的方程(组)；
(5)答：检验所求得的解是否符合实际问题，并规范作答．
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方法点拨：设未知数有直接设和间接设两种．当直接设未知数不好列方程时，
可以选择间接设未知数，具体要视情况而定．
易错提示：(1)设未知数和写答案时都要带上单位．
(2)写答案前，一定要先检验所得到的解是否符合实际问题．
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2．列一元一次方程解实际问题中等量关系的常见类型
类 型 重要等量关系
数字问题 10×十位数字＋个位数字＝两位数大小
定期储蓄 利息＝本金×利率×期数
本息和＝本金＋利息
打折销售
销售价＝标价×折扣
销售额＝销售价×销量
利润＝销售价－进价
利润＝进价×利润率
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B
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A
解：去分母，得3(x－3)－2(2x＋1)＝6.去括号，得3x－9－4x－2＝6.移项、合
并，得－x＝17.系数化为1，得x＝－17.
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B
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D
B
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B
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2
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B
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2．列一次方程(组)解决实际问题
14．(2018·自贡中考)六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两
种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分
别为______、______个．
15．(2019·广安中考)为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已
知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31
元．
(1)1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B
型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
10 20
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B
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D
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18．(2019·乐山中考)《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，
人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购
物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”根据所
学知识，计算出人数、物价分别是 ( )
A．1,11 B．7,53
C．7,61 D．6,50
B
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1
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突破点二 一元一次方程的应用
(山东滨州中考)某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的
产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个．若分配x名工人生产螺栓，其他工人生
产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是 ( )
A．22x＝16(27－x) B．16x＝22(27－x)
C．2×16x＝22(27－x) D．2×22x＝16(27－x)
思路分析：若分配x名工人生产螺栓，则(27－x)名工人生产螺母．∵一个螺栓
套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，∴2×22x＝16(27－x)．
解题技巧：本题考查了根据实际问题抽象出一元一次方程，要保证配套，则生
产的螺母的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍
＝螺母数量．
D
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突破点三 二元一次方程组的应用
(2019·内蒙古呼和浩特中考)滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则
如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单 价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程
计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内
(含7公里)不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.
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小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的
实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．
(1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
(2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点
在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人
的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．
思路分析：(1)设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，
根据两人付给滴滴快车的乘车费相同列方程求解即可；(2)根据“等候另一人的时间
是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟”列
二元一次方程，将其与(1)中的二元一次方程联立即可求解．
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解题技巧：本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，
根据等量关系列方程或方程组是解题的关键．
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A 双基过关
1．(2019·浙江杭州中考)已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵
树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则 ( )
A．2x＋3(72－x)＝30 B．3x＋2(72－x)＝30
C．2x＋3(30－x)＝72 D．3x＋2(30－x)＝72
D
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D
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D
D
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D
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4
1
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9．(2019·甘肃中考)中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学
问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，
九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2
辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
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B 满分过关
10．(2019·黑龙江齐齐哈尔中考)学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一
个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种
足球(两种足球都买)，该学校的购买方案共有 ( )
A．3种 B．4种
C．5种 D．6种
B
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11．(2019·湖北荆门中考)欣欣服装店某天用相同的价格a(a＞0)卖出了两件服
装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情
况是 ( )
A．盈利 B．亏损
C．不盈不亏 D．与售价a有关
B
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60
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13．(山东威海中考)用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个
矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如
图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方
形，其阴影部分的面积为____________．
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14．(2019·广西河池中考)在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用
720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．
(1)跳绳、毽子的单价各是多少元？
(2)该店在“五四青年节”期间开展促销活动，所有商品按同样的折扣打折销
售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销
售？
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15．(2019·山东烟台中考)亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参
与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新
能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增
加4辆，并空出2个座位．
(1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则
两种车型各需多少辆？
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16．(2019·江苏盐城中考)体育器材室有A、B两种型号的实心球，1个A型球与1
个B型球的质量共7千克，3个A型球与1个B型球的质量共13千克．
(1)每个A型球、B型球的质量分别是多少千克？
(2)现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少个？
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第二章 方程(组)与不等式(组)
2.2 一元二次方程
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考点一 一元二次方程的有关概念
1．一元二次方程的概念
等 号 两 边 都 是 整 式 ， 只 含 有 ① _ _ _ _ _ _ _ _ 未 知 数 ( 一 元 ) 并 且 未 知 数 的
②____________为2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中③________是二次项，
④_____为二次项系数；⑤________是一次项，b为一次项系数；c为⑥__________.
一个
最高次数
ax2
a bx 常数项
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1．直接开平方法
(1)思路：形如x2＝p或(nx＋m)2＝p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法求
解．
(2)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：
步 骤 具体操作
移项整理 左边的常数项移到右边
系数化为1 方程两边同除以未知数的系数
开方 开平方转化为两个一元一次方程
解一次方程 解得到的两个一元一次方程，即得原方程的解
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2．配方法
(1)思路：将一元二次方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，再利用直接开平方法求
解．
(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
步 骤 具体操作
化一般式 把原方程化为一般形式
系数化为1 方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方
程右边
配常数项 方程两边同时加上一次项系数一半的平方
配平方 把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数
开方 如果右边是非负数，即可进一步通过直接开平方法求出它的解；如果
右边是一个负数，则判定此方程无实数解
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3．公式法
(1)思路：用一元二次方程的求根公式⑦__________________解一元二次方程．
(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤：
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4．因式分解法
(1)思路：先把一元二次方程的右边化为⑧_____，再把左边通过因式分解化为
两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值都有可能为0，从而能得到两个一
元一次方程，这样就将一元二次方程转化为两个一元一次方程进行求解．
(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
0
步 骤 具体操作
移项 移项，使方程的右边化为0
分解因式 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积
化为一次方程 令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程
解一次方程 解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解
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1．一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的⑨___________，称为根的判别式，用
“Δ”来表示，即根的判别式Δ＝b2－4ac.
2．不解一元二次方程，用根的判别式判断
方程根的情况
(1)当⑩_________时⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)当⑪_________时⇔方程有两个相等的实数根；
(3)当⑫_________时⇔方程没有实数根．
b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ2的解集．
所有的解
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(3)不等式的解集在数轴上的表示：
方法点拨：在数轴上表示不等式解集的步骤：(1)定边界：有等号的用实心圆
点，表示包括这一点，无等号的用空心圆圈，表示不包括这一点；(2)定方向：大于
向右，小于向左．
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不变
正数
负数
易错提示：在使用性质3时，一定要注意不等号的方向要改变．
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1．解不等式
求不等式的⑦________的过程叫做解不等式．
2．解一元一次不等式
(1)基本思路：解一元一次不等式与解一元一次方程的方法类似，只是在利用不
等式的基本性质3对不等式进行变形时，要注意改变不等号的方向．
( 2 ) 一 般 步 骤 ： ⑧ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； ⑨ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； ⑩ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
⑪______________；⑫_____________(注意不等号的方向是否需要改变)．
解集
去分母 去括号 移项
合并同类项 系数化为1
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3．一元一次不等式ax>b解集的基本情形
(1)当a>0时，解集为⑬__________；
(2)当a＝0，且b
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