资料简介
颍上一中 涡阳一中 蒙城一中 怀远一中 2021 届高三
“五校联盟”第二次联考文科数学试题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设集合 2 6A x x N ， 2log ( 1) 2B x x ，则 A B （ ）
A. {2,3,4,5} B. { 2 5}x x ∣ C. {3,4} D. {3,4,5}
【答案】C
2. 已知 aR ，若 2 2ai a i 为纯虚数（i 为虚数单位），则 a 的值为 （ ）
A. 0 B. 2 C. 1 D. 2
【答案】A
3. 某高中为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，把高三年级的 1000 名学生编号：1 到 1000，
再用系统抽样的方法随机抽取 50 位同学了解他们的学习状况，若编号为 253 的同学被抽到，则下列几个编
号中，可能被抽到的是 （ ）
A. 83 B. 343 C. 103 D. 213
【答案】D
4. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，
其中记载有求“囷（qūn）盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了
由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 2h1 L36V ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周
率π近似取为 3，那么近似公式 2h1 L38V ，相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）
A. 25
8 B. 37
12 C. 19
6 D. 76
25
【答案】C
5. 已知平面向量 1e
， 2e
，满足 1 22 5e e
，设向量 1 2a e e ，向量 1 23b e e ，则| |a b （ ）
A. 2 B. 2 C. 5 D. 2 5
【答案】D
6. 已知 1
37a
， 7 7log 2 2log 3b ，
1
21
7c
，则下列关系正确的是 （ ）
A. a b c B. b a c C. c b a D. b c a
【答案】D
7. 在数列 na 中， 1
1
2a 且 12 n nn a na ，则它的前 30 项和 30S （ ）
A. 30
31 B. 29
30 C. 28
29 D. 19
29
【答案】A
8. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与直线 1
3y x 重合，则1 cos2 sin 22
的值为 （ ）
A. 3
2 B. 1
5 C. 3
2
D. 1
5
【答案】A
9. “开车不喝酒，喝酒不开车．”公安部交通管理局下发《关于 2019 年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意
见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆
驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表，经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤
酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下图，且该图表示的函数模型
0.5
40sin 13,0 23
90 14, 2x
x xf x
e x
，则该人喝一瓶啤酒后至少经过（ ）小时才可以驾车？（参考数
据： ln15 2.71 ， ln30 3.40 ）
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
驾驶行为类别 阈值（mg/100mL）
饮酒后驾车 20 ， 80
醉酒后驾车 80
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
10. 圆 2 2: 10 0C x y y 上有且仅有三点到双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yE a ba b
一条渐近线的距离为
2 ，双曲线的焦距为10，则下列说法错误的是 （ ）
A. 双曲线 E 的离心率为 5
3
B. 直线 4: 13l y x 与双曲线 E 的两支各有一个交点
C. 双曲线 E 与双曲线
2 2
116 9
y x 有相同的渐近线
D. 过点 1,2P 至少能作两条直线与双曲线 E 仅有一个交点
【答案】B
11. ABC 中，sin( ) sin sinA B C B ，D 是边 BC 上的一个三等分点（靠近 B 点）， 1BD ，O 为 ABC
外接圆的圆心，则 OD 的长为（ ）
A. 3
2
B. 1 C. 3
2 D. 2
【答案】B
12. 将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥.建立适当的
坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为 ( ) cosh xf x a a
，其中 a 为悬链线系数，cosh x 为双曲余弦函数，
其函数表达式为 e ecosh 2
x x
x
，相应地双曲正弦函数表达式为 e esinh 2
x x
x
.若直线 x m 与双曲余弦
函数 1C 和双曲正弦函数 2C 分别相交于点 A，B，曲线 1C 在点 A 处的切线与曲线 2C 在点 B 处的切线相交于
点 P，则下列说法正确的个数 （ ）
① sinh coshy x x 是奇函数；② cosh( ) cosh cosh sinh sinhx y x y x y ；③ PAB△ 的面积随 m 的
增大而减小；④ BP 随 m 的减小而增大
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 若变量 x 、 y 满足线性约束条件
1 0
2 1 0
4 0
x y
x y
x y
，则目标函数 2z x y 的最小值___________.
【答案】 5
14. 已知函数 3( 1) 2 1f x x x ，曲线 ( )y f x 在点 (0, (0))f 处的切线方程为____________.
【答案】 2 0x y
15. 已知点 1, 1M 和抛物线 2: 4C x y ，过C 的焦点且斜率为 k 的直线 l 与C 交于 A 、B 两点，N 为 AB
的中点，且 2 MN AB ，则 k 的值为__________.
【答案】 1
2
16. 已知 ABC 为等腰直角三角形，
2A ，D 为 BC 中点，现将 ABC 沿 AD 翻折，使得 2
3BDC ，
已知三棱锥 A BCD 的体积为 4 6
3
，则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为___________.
【答案】 40
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17. 数列 na 中， nS 是 na 的前 n 项和， 2 1n nS a ， nb 是等差数列 2 6 4b b a ， 5 4 62a b b ，
（1）求 na 和 nb 的通项公式；
（2）设 n n nc b S 求 nc 的前 n 项和 nT .
【答案】（1） 12n
na -= ， nb n ；（2） 1 ( 1)( 1)2 2 2
n
n
n nT n .
18. 网购是当前人们购物的新方式，某公司为了改进营销方式，随机调查了 100 名市民，统计了不同年龄的
人群网购的人数如下表：
年龄段（岁） （0，20） ［20，40） ［40，60） ［60，100）
网购人数 26 32 34 8
男性人数 15 10 10 5
（1）若把年龄在［20，60）的人称为“网购迷”，否则称为“非网购迷”，请完成下面的 2×2 列联表，
并判断能否有 99％把握认为网购与性别有关？
网购迷 非网购迷 总计
男性
女性
总计
（2）若从年龄小于 40 岁的网购男性中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从中抽取两人，求两人年龄都小于
20 岁的概率.
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
2
0P K k
0.10 0.05 0.01 0.001
0k 2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）列联表见解析，有把握；（2） 3
10 .
19. 如图，在三棱锥 P ABC 中， 3AB BC ， 3 2PA PB PC AC ，O 为 AC 中点.
（1）证明： PO 平面 ABC
（2）若点 M 在棱 BC 上，且 2
3MC CB ，求点 C 到平面 POM 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2） 3 10
5
.
20. 已知函数 ln 1af x x x
.
（1）若函数 f x 在 1,e 上单调递增，求实数 a 的取值范围；
（2）讨论函数 f x 零点的个数.
【答案】（1） ,1 ；（2）答案见解析.
21. A，B 为椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左右顶点，| | 4AB ，E 为椭圆 C 上任意一点（异于左右顶点），
设 AE，BE 的斜率分别为 k1 和 k2， 1 2
3
4k k ，
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设动直线 :l y kx m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P，且与直线 4x 相交于点 Q，试探究：在坐
标平面内是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明
理由.
【答案】（1）
2 2
14 3
x y ；（2）存在， ( 1,0)M .
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题
计分.
选修 4—4：坐标系与参数方程
22. 已知曲线C 的极坐标方程是 4cos .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立
平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是:
2
2
2
2
x m t
y t
（t 是参数）.
1 若直线l 与曲线C 相交于 A 、 B 两点，且 14AB ，试求实数 m 值.
2 设 ,M x y 为曲线C 上任意一点，求 x y 的取值范围.
【答案】 1 1m 或 3m ； 2 2 2 2,2 2 2 .
选修 4—5：不等式选讲
23. 已知函数 2 1 1f x x x .
（1）求不等式 2f x 的解集；
（2）若关于 x 的不等式
2
2
af x a 有解，求 a 的取值范围.
【答案】（1） 2 ,43
；（2） 1,3 .
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