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2021 年安徽省黄山市高考数学第二次质检试卷(理科)(二模) 一、选择题(共 12 小题). 1.已知集合 A={1,2,3},B={x|x(2﹣x)≤0},则 A∩B=( ) A.{2,3} B.{1,3} C.{1,2} D.{1,2,3} 2. 的实部为( ) A. B. C.﹣ D. 3.若 ,则 sin(2x+ )=( ) A. B. C. D. 4.古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过:“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”.在 中华传统文化里,建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如清 代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》(如图)以连环诗的形式展现,20 个字绕着茶壶成一圆 环,不论顺着读还是逆着读,皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系,如 2020 年 02 月 02 日(20200202)被称为世界完全对称日(公历纪年日期中数字左右完全对称的日 期).数学上把 20200202 这样的对称数叫回文数,如两位数的回文数共有 9 个(11,22,…, 99 ) , 则 在 所 有 四 位 数 的 回 文 数 中 , 出 现 奇 数 的 概 率 为 ( ) A. B. C. D. 5.设函数 f(x)= ,若函数 y=f(x)在区间(m,m+1]上单调递减,则 实数 m 的取值范围是( ) A.[2,3] B.(2,3) C.(2,3] D.[2,3) 6.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与抛物线 C 的一个交点,若|PF|=3|FQ|,则|QF|=( ) A.3 B.4 或 C. D. 或 7.下列命题: ① 在线性回归模型中,相关指数 R2 表示解释变量 x 对于预报变量 y 的贡献率,R2 越接近 于 0,表示回归效果越好; ② 两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于 1; ③ 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好; ④ 对分类变量 X 与 Y,它们的随机变量 K2 的观测值 k 来说,k 越大,“X 与 Y 有关系” 的把握程度越大. 其中正确命题的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.已知各项均为正数的等比数列{an}的前三项和为 14,且 a5=3a3+4a1,则 a2021=( ) A.22020 B.22021 C.22022 D.22023 9.设 a=ln ,b=﹣e﹣1,c=log3 ,则( ) A.b<c<a B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sinBsinC=sinA,△ABC 的面积 为 ,a+b=3,则角 C=( ) A.30° B.120° C.30°或 150° D.60°或 120° 11.棱长为 4 的正方体密闭容器内有一个半径为 1 的小球,小球可在正方体容器内任意运动, 则其能到达的空间的体积为( ) A. B. C. D.12+12 π 12.已知 a>0,b>0,且 a≠b,如果 a,b 是 的两个零点,则 ab 的范 围是( ) A.(e,+∞) B.(e2,+∞) C. D. 二、填空题(每小题 5 分). 13.已知函数 ,若 ,则 x= . 14.若(1﹣3x)2021=a0+a1x+⋯ +a2021x2021(x ∈ R),则 的值为 . 15.已知△ABC 是边长为 4 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则 • 的最小值是 . 16.已知 F1,F2 分别为双曲线 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点 F2 作圆 x2+y2 =a2 的切线交双曲线左支于点 M,且∠F1MF2 =60°,则该双曲线的渐近线方程 为 . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请 在答题卷的相应区域答题.) 17.已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角,且其对边分别为 a、b、c,若(c+2b)cosA﹣acos (A+B)=0. (1)求 A; (2)若 a=2 ,求△ABC 的面积的最大值. 18.四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 为等腰梯形,侧面 SAD 为正三角形,且平面 SAD⊥ 平面 ABCD.已知 AD∥BC,AB=AD=2,BC=4. (1)试画出平面 SAB 与平面 SCD 的交线 m,并证明:BC⊥m; (2)记棱 AD 中点为 O,BC 中点为 E,若点 F 为线段 OE 上动点,当满足 FA+FB 最小 时,求 SF 与平面 SBC 所成角的正弦值. 19.设 n 是给定的正整数(n>2),现有 n 个外表相同的袋子,里面均装有 n 个除颜色外其 他无区别的小球,第 k(k=1,2,3,⋯ ,n)个袋中有 k 个红球,n﹣k 个白球.现将这 些袋子混合后,任选其中一个袋子,并且从中连续取出三个球(每个取后不放回). (1)若 n=4,假设已知选中的恰为第 2 个袋子,求第三次取出为白球的概率; (2)若 n=4,求第三次取出为白球的概率; (3)对于任意的正整数 n(n>2),求第三次取出为白球的概率. 20.已知椭圆 C1: =1(a>b>0),其短轴长为 2 ,离心率为 e1,双曲线 C2: =1(p>0,q>0)的渐近线为 y=± x,离心率为 e2,且 e1•e2=1. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的右焦点为 F,动直线 l(l 不垂直于坐标轴)交椭圆 C1 于 M,N 不同两 点,设直线 FM 和 FN 的斜率为 k1,k2,若 k1=﹣k2,试探究该动直线 l 是否过 x 轴上的 定点,若是,求出该定点;若不是,请说明理由. 21.已知函数 f(x)=alnx+x,函数 g(x)=ex+bx2, (1)记 h(x)=f(x)+x2,试讨论函数 h(x)的单调性,并求出函数 h(x)的极值点; (2)若已知曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线都过点(0,1).求证: 当 x>0 时,xf(x)+g(x)﹣(e﹣1)x≥1. 考生注意:请在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时, 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 (其中 φ 为参数),曲线 C2:x2+y2﹣2y=0,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线 l: θ = α( ρ ≥0)与曲线 C1,C2 分别交于点 A,B(均异于原点 O). (1)求曲线 C1,C2 的极坐标方程; (2)当 0< α < 时,求|OA|2+|OB|2 的最小值. [选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|2x﹣a|﹣|x+1|. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)<2 的解集; (2)若 a>0,不等式 f(x)+3>0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 参考答案 一、选择题(每小题 5 分). 1.已知集合 A={1,2,3},B={x|x(2﹣x)≤0},则 A∩B=( ) A.{2,3} B.{1,3} C.{1,2} D.{1,2,3} 解:∵A={1,2,3},B={x|x≤0 或 x≥2}, ∴A∩B={2,3}. 故选:A. 2. 的实部为( ) A. B. C.﹣ D. 解: = = =﹣ + i, 则 的实部为﹣ , 故选:C. 3.若 ,则 sin(2x+ )=( ) A. B. C. D. 解:因为 , 所以 sin(2x+ )=sin[2(x﹣ )+ ]=cos2(x﹣ ) =2cos2(x﹣ )﹣1 =2×( )2﹣1 =﹣ . 故选:D. 4.古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过:“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”.在 中华传统文化里,建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如清 代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》(如图)以连环诗的形式展现,20 个字绕着茶壶成一圆 环,不论顺着读还是逆着读,皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系,如 2020 年 02 月 02 日(20200202)被称为世界完全对称日(公历纪年日期中数字左右完全对称的日 期).数学上把 20200202 这样的对称数叫回文数,如两位数的回文数共有 9 个(11,22,…, 99 ) , 则 在 所 有 四 位 数 的 回 文 数 中 , 出 现 奇 数 的 概 率 为 ( ) A. B. C. D. 解:4 位回文数只用排列前两位数字,后面数字可以确定, 但是第一位不能为 0,有 9 种情况,第二位有 10 种情况, ∴4 位回文数有:9×10=90. 4 位回文数的第一位是奇数,有 5 种情况,第二位有 10 种情况, ∴四位数的回文数中奇数的个数为:5×10=50, ∴在所有四位数的回文数中,出现奇数的概率为 P= = . 故选:C. 5.设函数 f(x)= ,若函数 y=f(x)在区间(m,m+1]上单调递减,则 实数 m 的取值范围是( ) A.[2,3] B.(2,3) C.(2,3] D.[2,3) 解:函数 f(x)= 的图像如图所示, 函数 f(x)在(﹣∞,2]以及(4,+∞)上递增,在[2,4)上递减, 故若函数 y=f(x)在区间(m,m+1]上单调递减, 需满足 2≤m 且 m+1≤4, 即 2≤m≤3, 故选:A. 6.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与抛物线 C 的一个交点,若|PF|=3|FQ|,则|QF|=( ) A.3 B.4 或 C. D. 或 解:当 Q 在 PF 的延长线时,过 Q 向准线 l 作垂线,垂足为 Q′,根据已知条件,|PF| =3|FQ|, 结合抛物线的定义得 = , ∵|FF′|=p=2,∴|QQ′|= , ∴|QF|= . 当 Q 在 PF 之间时,过 Q 向准线 l 作垂线,垂足为 Q′,根据已知条件,|PF|=3|FQ|, 结合抛物线的定义得 = , ∵|FF′|=p=2,∴|QQ′|= , 故选:D. 7.下列命题: ① 在线性回归模型中,相关指数 R2 表示解释变量 x 对于预报变量 y 的贡献率,R2 越接近 于 0,表示回归效果越好; ② 两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于 1; ③ 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好; ④ 对分类变量 X 与 Y,它们的随机变量 K2 的观测值 k 来说,k 越大,“X 与 Y 有关系” 的把握程度越大. 其中正确命题的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解: ① 在线性回归模型中,相关指数 R2 表示解释变量 x 对于预报变量 y 的贡献率,R2 越接近于 0,表示回归效果越不好,A 错误; ② 两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于 1,B 正确; ③ 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好,C 正确; ④ 对分类变量 X 与 Y,它们的随机变量 K2 的观测值 k 来说,k 越大,“X 与 Y 有关系” 的把握程度越大,D 正确. 故选:C. 8.已知各项均为正数的等比数列{an}的前三项和为 14,且 a5=3a3+4a1,则 a2021=( ) A.22020 B.22021 C.22022 D.22023 解:各项均为正数的等比数列{an}的前三项和 =14,a5=3a3+4a1, 所以 , 因为 q>0, 解得 q=2,a1=2, 则 a2021=22021. 故选:B. 9.设 a=ln ,b=﹣e﹣1,c=log3 ,则( ) A.b<c<a B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 解:a=ln <ln =﹣1, ∵log3 <c=log3 <log3 =log3 =﹣ ,∴﹣1<c<﹣ , ∵b=﹣e﹣1>﹣ , ∴b>c>a, 故选:B. 10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sinBsinC=sinA,△ABC 的面积 为 ,a+b=3,则角 C=( ) A.30° B.120° C.30°或 150° D.60°或 120° 解:因为 sinBsinC=sinA, 由正弦定理得 sinC= = , 因为△ABC 的面积 S= = = , 所以 a=1, 因为 a+b=3, 所以 b=2,sinC= , 故 C=30°或 150°. 故选:C. 11.棱长为 4 的正方体密闭容器内有一个半径为 1 的小球,小球可在正方体容器内任意运动, 则其能到达的空间的体积为( ) A. B. C. D.12+12 π解:在正方体的 8 个顶点处的单位立方体空间内, 小球不能到达的空间为:8[13﹣ ( ×13)]=8﹣ , 除此之外,在以正方体的棱为一条棱的 12 个 1×1×2 的正四棱柱空间内, 小球不能到达的空间共为 12×[1×1×2﹣ ( π ×12)×2]=24﹣6 π . 其他空间小球均能到达. 故小球不能到达的空间体积为:(8﹣ π )+24﹣6 π =32﹣ π . ∴小球可以经过的空间的体积: V=43﹣(12﹣ ×12)×2×12﹣(8﹣ π )=32+ . 故选:A. 12.已知 a>0,b>0,且 a≠b,如果 a,b 是 的两个零点,则 ab 的范 围是( ) A.(e,+∞) B.(e2,+∞) C. D. 解:f′(x)= ﹣ , 易知 f′(x)在(0,+∞)上单调递减,且 f′(2021)=0, 故 x ∈ (0,2021)时,f′(x)>0,f(x)递增, x ∈ (2021,+∞)时,f′(x)<0,f(x)递减, ∵a>0,b>0,且 a≠b,∴不妨设 a<b,则 0<a<b, 而 f(e2)=lne2﹣ >0,f(1)=ln1﹣ <0, ∴1<a<e2,又 f(e100)=lne100﹣ =100﹣ , 由 e>2,则 e100>2100,100﹣ <100﹣ =100﹣ =100﹣ <0, 故 e2<b<e100,故 e2<ab<e102, 故选:B. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请在答题卷的相应区域答题.) 13.已知函数 ,若 ,则 x= . 解:当 0<x≤2 时, ,解得 , 当﹣2<x≤0 时,f(x)=|2x+1|= ,方程无解. 故 . 故答案为: . 14.若(1﹣3x)2021=a0+a1x+⋯ +a2021x2021(x ∈ R),则 的值为 ﹣1 . 解:∵(1﹣3x)2021=a0+a1x+⋯ +a2021x2021(x ∈ R ), ∴令 x=0,可得 a0=1, 再令 x= ,则 1+ =0,故 =﹣1, 故答案为:﹣1. 15.已知△ABC 是边长为 4 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则 • 的最小值是 ﹣6 . 解:以 BC 为中点,建立如图所示的直角坐标系, 则 A(0,2 ),B(﹣2,0),C(2,0), 设 P(x,y),则 =(﹣x,2 ), =(﹣x,2 ), =(﹣2﹣x,﹣y), =(2﹣x,﹣y), 所以 • = •( )=﹣x•(﹣2x)+(2 )(﹣2y)=2[x2+2 (y﹣ )2﹣3], = , =2[ ], 当 x=0,y= 时, • 取得最小值﹣6. 故答案为:﹣6. 16.已知 F1,F2 分别为双曲线 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点 F2 作圆 x2+y2 =a2 的切线交双曲线左支于点 M,且∠F1MF2=60°,则该双曲线的渐近线方程为 y= ±(1+ )x . 解:设切点为 A,过 F1 作 F1B⊥MF2,垂足为 B, 由题意可得|OA|=a,|OF2|=c,|AF2|= =b, 由 OA 为△BF1F2 的中位线,可得|BF1|=2a, |BF2|=2b, 又∠F1MF2=60°,可得|MF1|= = ,|MB|= , |MF2|=|MB|+|BF2|= +2b, 又|MF2|﹣|MF1|= +2b﹣ =2a, 所以 b=(1+ )a, 所以双曲线的渐近线方程为 y=±(1+ )x. 故答案为:y=±(1+ )x. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请 在答题卷的相应区域答题.) 17.已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角,且其对边分别为 a、b、c,若(c+2b)cosA﹣acos (A+B)=0. (1)求 A; (2)若 a=2 ,求△ABC 的面积的最大值. 解:(1)因为(c+2b)cosA﹣acos(A+B)=0, 由正弦定理得,sinCcosA+2sinBcosA+sinAcosC=0, 即 sin(A+C)+2sinBcosA=0, 所以 sinB+2sinBcosA=0, 因为 sinB>0, 所以 cosA=﹣ , 因为 A ∈ (0, π ), 所以 A= ; (2)由余弦定理得 a2=12=b2+c2+bc≥3bc,当且仅当 b=c 时取等号, 所以 bc≤4, △ABC 的面积 S= = ≤ ,即面积的最大值 . 18.四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 为等腰梯形,侧面 SAD 为正三角形,且平面 SAD⊥ 平面 ABCD.已知 AD∥BC,AB=AD=2,BC=4. (1)试画出平面 SAB 与平面 SCD 的交线 m,并证明:BC⊥m; (2)记棱 AD 中点为 O,BC 中点为 E,若点 F 为线段 OE 上动点,当满足 FA+FB 最小 时,求 SF 与平面 SBC 所成角的正弦值. 解:(1)延长 BA,CD 交于点 K,连结 SK,则 SK 即为平面 SAB 与平面 SCD 的交线 m, 如图所示, 取 AD 的中点 O,连结 KO 延长交 BC 于点 E,连结 SO, 因为△SAD 为正三角形,AO=OD, 所以 SO⊥AD, 又因为平面 SAD⊥平面 ABCD,平面 SAD∩平面 ABCD=AD,SO ⊂ 平面 SAD, 所以 SO⊥平面 ABCD,又 BC ⊂ 平面 ABCD, 所以 SO⊥BC, 因为 ABCD 为等腰梯形, 所以∠ABC=∠DCB,∠BAD=∠CDA,AO∥BC, 所以∠KAD=180°﹣∠BAD=180°﹣∠COA=∠KDA, 所以 KA=KD,又 AO=OD,所以∠AOK=90°, 因为 AD∥BC,所以∠BEK=∠AOK=90°, 故 BC⊥KE, 因为 SO⊥BC,SO∩KE=O,所以 BC⊥平面 KSE, 因为 m ⊂ 平面 KSE,所以 BC⊥m; (2)因为∠ABC=∠DCB,所以 KB=KC,因为 BC⊥KE, 所以 BE=EC,所以 FB=FC,所以 AF+FB=AF+FC≥AC, 连结 AC 交 OE 于 F,此时 F 点满足 FA+FB 最小, 因为 AO∥BC,所以∠KAD=∠KBC,∠KOA=∠KEB, 所以△KAO∽△KBE,所以 , 因为 AO=2,所以 AO=1,因为 BC=4,所以 BE=EC=2, 所以 ,所以 KA=AB,KO=OE, 因为 AB=2,所以 KA=AB=2,所以 KB=4, 所以 KE= , 所以 OE= , 因为△SAO 为正三角,所以 SA=AO=2,因为 SO⊥AD, 所以 SA=AD=2,因为 SO⊥AD, 所以 SO= , 因为 AO∥BC, 所以 ,因为 OF+FE=OE= , 所以 , 因为 SO⊥面 ABCD,所以 SO⊥OE, 所以 SF= ,SE= , 过 F 作 FH⊥SE 于 H,因为 BC⊥面 KSE, 所以 BC⊥FH,所以 FH⊥面 SBC, 故∠FSH 为 SF 与面 SBC 所成的角, 由 FH•SE=2S△SFE=SO•FE, 解得 , 所以 , 故 SF 与平面 SBC 所成角的正弦值为 . 19.设 n 是给定的正整数(n>2),现有 n 个外表相同的袋子,里面均装有 n 个除颜色外其 他无区别的小球,第 k(k=1,2,3,⋯ ,n)个袋中有 k 个红球,n﹣k 个白球.现将这 些袋子混合后,任选其中一个袋子,并且从中连续取出三个球(每个取后不放回). (1)若 n=4,假设已知选中的恰为第 2 个袋子,求第三次取出为白球的概率; (2)若 n=4,求第三次取出为白球的概率; (3)对于任意的正整数 n(n>2),求第三次取出为白球的概率. 解:(1)n=4 时,第二个袋中有 2 白 2 红 4 个球, 从中连续取出三个球(每个取后不放回). 第三次取出为白球的情况有:红红白,红白白,白红白, ∴第三次取出为白球的概率 P= + + = . (2)设选出的是第 k(k=1,2,3,4)个袋, 连续三次取球的方法数为 4×3×2=24 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形: (白白白),取法数为(4﹣k)(3﹣k)(2﹣k), (白红白),取法数为 k(4﹣k)(3﹣k), (红白白),取法数为 k(4﹣k)(3﹣k), (红红白),取法数为 k(k﹣1)(4﹣k), 从而第三次取出的是白球的种数为: (4﹣k)(3﹣k)(2﹣k)+k(4﹣k)(3﹣k)+k(n﹣k)(3﹣k)+k(k﹣1)(4﹣k) =3×2(n﹣k), 则在第 k 个袋子中第三次取出的是白球的概率 pk= , 而选到第 k 个袋子的概率为 ,故所求概率为: p= = = = = . (3)设选出的是第 k 个袋,连续三次取球的方法数为 n(n﹣1)(n﹣2), 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形: (白白白),取法数为(n﹣k)(n﹣k﹣1)(n﹣k﹣2), (白红白),取法数为 k(n﹣k)(n﹣k﹣1), (红白白),取法数为 k(n﹣k)(n﹣k﹣1), (红红白),取法数为 k(k﹣1)(n﹣k), 从而第三次取出的是白球的种数为: (n﹣k)(n﹣k﹣1)(n﹣k﹣2)+k(n﹣k)(n﹣k﹣1)+k(n﹣k)(n﹣k﹣1)+k(k ﹣1)(n﹣k)=(n﹣1)(n﹣2)(n﹣k), 则在第 k 个袋子中第三次取出的是白球的概率 pk= , 而选到第 k 个袋子的概率为 ,故所求概率为: p= = = = = . 20.已知椭圆 C1: =1(a>b>0),其短轴长为 2 ,离心率为 e1,双曲线 C2: =1(p>0,q>0)的渐近线为 y=± x,离心率为 e2,且 e1•e2=1. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的右焦点为 F,动直线 l(l 不垂直于坐标轴)交椭圆 C1 于 M,N 不同两 点,设直线 FM 和 FN 的斜率为 k1,k2,若 k1=﹣k2,试探究该动直线 l 是否过 x 轴上的 定点,若是,求出该定点;若不是,请说明理由. 解:(1)由题意知椭圆 C1: =1(a>b>0),其短轴长为 2 ,可得 b= , 椭圆的离心率为 e1,双曲线 C2: =1(p>0,q>0)的渐近线为 y=± x,离 心率为 e2= = =2, 且 e1•e2=1.所以 e1= = = = ,解得 a=2, 所以椭圆方程 ,………………………………………… (2)假设该直线过定点且在 x 轴上,设直线 l 的方程 y=k(x﹣t), 联立 消去 y 整理得(3+4k2)x2﹣8k2tx+4k2t2﹣12=0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 ……………… = = 即 , 所以﹣24+6t=0,t=4,即直线过定点(4,0). ……………………………… 21.已知函数 f(x)=alnx+x,函数 g(x)=ex+bx2, (1)记 h(x)=f(x)+x2,试讨论函数 h(x)的单调性,并求出函数 h(x)的极值点; (2)若已知曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线都过点(0,1).求证: 当 x>0 时,xf(x)+g(x)﹣(e﹣1)x≥1. 解:(1)h(x)=alnx+x+x2,h′(x)= (x>0), 记 φ (x)=2x2+x+a(x>0), 当 a≥0 时,h′(x)>0,h(x)在(0,+∞)单调递增,无极值点, 当 a<0 时,△=1﹣8a>0, φ (x)有异号的两根 x1= (<0),x2= (>0), ∴x ∈ (0, ), φ (x)<0,h′(x)<0,h(x)在(0, )单调 递减, x ∈ ( ,+∞), φ (x)>0,h′(x)>0,h(x)在( ,+∞)单 调递减, ∴h(x)有极小值点 x= ; (2)证明:∵f′(x)= (x>0),g′(x)=ex+2bx, ∴f′(1)=a+1,f(x)在 x=1 处的切线方程为 y﹣1=(a+1)(x﹣1),过点(0,1) 得:a=﹣1, g′(1)=e+2b,g(x)在 x=1 处的切线方程为 y﹣e﹣b=(e+2b)(x﹣1),过点(0, 1)得:b=﹣1, ∴f(x)=﹣lnx+x,g(x)=ex﹣x2, 要证:xf(x)+g(x)﹣(e﹣1)x≥1,即证:ex﹣xlnx﹣(e﹣1)x﹣1≥0, 即证: ﹣lnx﹣ (e﹣1)≥0, 构造函数 K(x)= ﹣lnx﹣ (e﹣1),则 K′(x)= , ∵x>0 时,ex﹣1>0, ∴x ∈ (0,1)时,K′(x)<0,K(x)在(0,1)单调递减, ∴x ∈ (1,+∞)时,K′(x)>0,K(x)在(1,+∞)单调递增, ∴K(x)≥K(1)=0,故原不等式成立. 考生注意:请在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时, 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 (其中 φ 为参数),曲线 C2:x2+y2﹣2y=0,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线 l: θ = α( ρ ≥0)与曲线 C1,C2 分别交于点 A,B(均异于原点 O). (1)求曲线 C1,C2 的极坐标方程; (2)当 0< α < 时,求|OA|2+|OB|2 的最小值. 解:(1)曲线 C1 的参数方程为 (其中 φ 为参数),转换为直角坐标法方 程 为 , 根 据 , 转 换 为 极 坐 标 方 程 为 , 整理得 . 曲线 C2:x2+y2﹣2y=0,根据 ,转换为极坐标方程为 ρ =2sin θ . (2)根据(1)的结论, |OA|2+|OB|2= = , 由于 0< α < ,故 1<1+2sin2 θ <3, 故 ∈ (1,7), 故没有最小值. [选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|2x﹣a|﹣|x+1|. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)<2 的解集; (2)若 a>0,不等式 f(x)+3>0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=2 时,f(x)=|2x﹣2|﹣|x+1|<2, ① 当 x≤﹣1 时,则 2﹣2x+(x+1)<2,∴x>1,∴无解, ② 当﹣1<x<1 时,则 2﹣2x﹣(x+1)<2,∴﹣ <x<1, ③ 当 x≥1 时,则 2x﹣2﹣(x+1)<2,∴1≤x<5, ∴不等式 f(x)<2 的解集为(﹣ ,5). (2)若 a>0, ① 当 x≤﹣1 时,则 f(x)=a+1﹣x, ② 当﹣1<x< 时,f(x)=a﹣1﹣3x, ③ 当 x≥ 时,f(x)=x﹣a﹣1, ∵f(x)在(﹣∞, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增, ∴f(x)min=f( )=﹣ ﹣1, ∵f(x)+3>0 恒成立,∴f(x)min>﹣3, 即﹣ ﹣1>﹣3,解得 a<4,又∵a>0, ∴a 的取值范围为(0,4). 查看更多

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