资料简介
浙教版八年级数学上册第 2 章测试题及答案
2.1 图形的轴对称
一、选择题
1. 如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图的位置，经白球撞击后沿箭头
方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是 ( )
A. ① B. ② C. ⑤ D. ⑥
（第 1 题图） （第 2 题图）
2. 如图，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打 3 个洞，则纸片展开后是
A. B. C. D.
3. 如图，直线
m
表示一条河，点
M
,
N
表示两个村庄，计划在
m
上的某处修建一个水泵向两个村庄
供水．在下面四种铺设管道的方案中，所需管道最短的方案是 （图中实线表示铺设的管道）
A. B.
（第 3 题图）
C. D.
4. 如图，在折纸活动中，小明制作了一张 △
ABC
纸片，点
D
，
E
分别在边
AB
,
AC
上，将 △
ABC
沿
着
DE
折叠压平，
A
与
A
ʹ 重合，若 ∠
A = 75
∘
，则 ∠
1 +
∠
2 =
A.
15䁚
∘
B.
21䁚
∘
C.
1䁚5
∘
D.
75
∘
（第 4 题图） （第 5 题图）
5. 如图，四边形 ABCD 中，∠
C = 5䁚
∘
,
∠
B =
∠
C = 9䁚
∘
,E,F
分别是
BC,DC
上的点，当 △
AEF
的周长最
小时，∠
EAF
的度数为
A.
5䁚
∘
B.
䁚
∘
C.
7䁚
∘
D.
䁚
∘6. 如图，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点
A
落在
A
ʹ 处，
BC
为折痕，如果
BD
为 ∠
A
ʹ
BE
的
平分线，则 ∠
CBD =
A.
䁚
∘
B.
9䁚
∘
C.
1䁚䁚
∘
D.
7䁚
∘
（第 6 题图） （第 7 题图）
7. 如图，四边形
ABCD
中，∠
BAD = 11䁚
∘
，∠
B =
∠
D = 9䁚
∘
，在
BC
,
CD
上分别找一点
M
，
N
，使
△
AMN
的周长最小，此时 ∠
MAN
的度数为 ( )
A.
䁚
∘
B.
䁚
∘
C.
5䁚
∘
D.
5
∘8. 如图，三角形
ABC
是在
2
×
2
的正方形网格中以格点为顶点的三角形，那么图中与三角形
ABC
成
轴对称且也以格点为顶点的三角形共有
（第 8 题图）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题
9. 如图，在直角坐标系中，已知点
A − ,
，
B 5,
，在
x
轴上找一点
P
，使
PA + PB
最小，则点
P
坐标为 ．
（第 9 题图） （第 10 题图）
10. 如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线
l
对称，请在图上补全字母，写出这个单词所指的物品
是 .
11. 如图，在正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个
被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 种．
（第 11 题图） （第 12 题图）
12. 如图，
l
是
△ ABC
的边
AB
的垂直平分线，
D
为垂足，
E
是
l
上任意一点，且
AC = 5
，
BC =
，
则
△ AEC
的周长的最小值为 ．
13. 如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，
B
，
D
两点落在点
B
ʹ，
D
ʹ处，若得 ∠
AOB
ʹ
= 䁚
∘
，则 ∠
B
ʹ
OG
的度数为 ．
（第 13 题图）
14. 如图，正方形
ABCD
的面积是 2，
E
，
F
，
P
分别是
AB
，
BC
，
AC
上的动点，
PE + PF
的最小值等于 ．
（第 14 题图） （第 15 题图）
15. 将 △
ABC
沿着平行于
BC
的直线折叠，点
A
落到点
A
ʹ，若 ∠
C = 12䁚
∘
，∠
A = 2
∘
，则 ∠
A
ʹ
DB
的
度数为 ．
16. 象棋在我国具有悠久的历史，其中马的行棋规则是“马走日”，即马每步走日字格的对角点，又称“马
踩八方”，如图 1 中的马走一步可以有 8 种不同的选择，走向 8 个日字格的对角点.在图 2 中的象棋棋盘
中，每个小正方形方格的边长都是 1．
（1）若图 2 中马必须先走到直线
上，再走到“将”的位置，（把每个棋子看作是在正方形方格顶点上
的点），则马走的路径之和最短是 ．
（2）若图 2 中对马的行走路线不作限制，且使马走到“将”的位置走过的路径之和最短，共有 种
不同的方法．
（第 16 题图）
三、解答题
17. 如图，需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到
，
两个城市的距离之和最小，请作出机
场的位置．
（第 17 题图）
18. 课本中，把长与宽之比为
2
的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：
Ⅰ.将一张标准纸
㤹㈮ 㤹
对折，如图①，所得的矩形纸片
如
是标准纸．请给予证明．
（第 18 题图①）
Ⅱ.在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片
ABCD AB 㤹
进行如下操作：
第一步：沿过点
A
的直线折叠，使点
B
落在
AD
边上的点
F
处，折痕为
AE
（如图②甲）；
第二步：沿过点
D
的直线折叠，使点
C
落在
AD
边上的点
N
处，折痕为
DG
（如图②乙 ）．此时点
E恰好落在
AE
边上的点
M
处；
第三步：沿直线
DM
折叠（如图②丙 ），此时点
G
恰好与点
N
重合．
请你研究，矩形纸片
ABCD
是否是一张标准纸?请说明理由．
（第 18 题图②）
Ⅲ. 不难发现，将一张标准纸如图③一次又一次对折后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸
㤹㈮
，
= 1
，
㤹 = 2
，问第 5 次对折后所得的标准纸的周长是多少?探索并直接写出第
2䁚12
次对
折后所得的标准纸的周长．
（第 18 题图③）
19. 如图，
如，
是一个台球桌面，有黑白两球分别置于
,
两点的位置上，试问怎样撞击白球
，
经桌面
,
如
连续反弹后，能准确击中黑球
?
（第 19 题图）
20. 如图，点
为 ∠
th
内一点，分别在
t
与
th
上找点
,
，使 △
的周长最小．
（第 20 题图）
21. 如图，△
t
的顶点
t
在直线
上，且
t =
．
Ⅰ. 作出 △
t
关于直线
成轴对称的图形 △
㤹t㈮
，且使点
的对称点为点
㤹
；
Ⅱ. 在（1）的条件下，
㤹
与
㈮
的位置关系是 ；
Ⅲ. 在（1）（2）的条件下，连接
㈮
，如果 ∠
㈮ = 2
∠
㈮
，求 ∠
t㤹
的度数．
（第 21 题图）
参考答案
一、1. A 2. D 3. D 4. A 5. B 6. B 7. B 8. D
二、9.
1,䁚
10.书 11. 3 12.
1
13.
5䁚
∘
14.
2
15.
112
∘
16.
5
；6
三、17. 解： 如答图.
（第 17 题答图）
18. 解：（1） 是标准纸．理由如下：
矩形
㤹㈮
是标准纸，
∴
㤹
= 2
．
由对折的含义知：
如 =
1
2 㤹
，
∴
如 =
1
2㤹 =
2
㤹 =
2
2 = 2
．
矩形纸片
如
也是标准纸．
（2）是标准纸．理由如下：设
= 㤹㈮ =
，
由图形折叠可知：
㈮h = 㤹㈮ = ㈮， =
，
㈮，
⊥
．
由图形折叠可知：△
≌ △
如
，
∴ ∠
㈮ =
1
2
∠
㈮ = 5
∘
，
∴△
㈮，
是等腰直角三角形，
在
Rt
△
㈮，
中，
㈮ = ，
2
+ ㈮，
2
= 2
，
∴
㈮
=
2
= 2
，
矩形纸片
㤹㈮
是一张标准纸．
（3） 第 次对折后所得的标准纸的周长为：
2+ 2
，
第
2䁚12
次对折所得的标准纸的周长为：
1+ 2
21䁚䁚5
．
19. 如答图.
（第 19 题答图）
20. 如答图.
（第 20 题答图）
21. （1） 如答图 1.
（第 21 题答图）
（2） 平行
（3） 如答图 2，由（1）可知，△
t
与 △
㤹t㈮
关于直线
对称，
所以 △
t
≌ △
㤹t㈮
．
所以
= 㤹㈮
，
t = t㤹
，
t = t㈮
．
所以 ∠
t㈮ =
∠
t㈮
．
所以 ∠
t +
∠
t㈮ =
∠
㤹㈮t +
∠
t㈮
，即 ∠
㈮ =
∠
㤹㈮
．
因为 ∠
㈮ = 2
∠
㈮
，
所以 ∠
㤹㈮ = 2
∠
㈮
．
所以 ∠
㤹㈮ =
∠
㈮
．
由（2）可知，
㤹
∥
㈮
，
所以 ∠
㤹㈮ =
∠
㈮
．
所以 ∠
㤹㈮ =
∠
㤹㈮
．
所以
㤹 = 㤹㈮
．
因为
t =
，
所以
t = t㤹 = 㤹
，即 △
t㤹
为等边三角形．
所以 ∠
t㤹 = 䁚
∘
．
2.2 等腰三角形
一、选择题
1．等腰三角形两边的长分别为 4 和 8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．16 或 20
2．等腰三角形一边长为 2，周长为 5，那么它的腰长为（ ）
A. 3 B.2 C.1.5 D.2 或 1.5
3. 下列轴对称图形中，对称轴最少的是（ ）
A．等腰三角形 B．长方形 C．正方形 D．圆
4.等腰三角形底边长为 5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3cm ,则腰长为（ ）
A．2cm B．8cm C．2cm 或 8cm D．以上都不对
5.等腰三角形的周长是 13，各边长均为自然数，这样的三角形有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
二、填空题
6.如图，在△ABC 中，AB=AC.
（1）若∠1=∠2，BD=3 cm，则 BC= cm；
（2）若 BD=CD，∠1=30°，则∠BAC= .
（3）若 AD⊥BC，∠B=∠C，CD=4 cm，则 BC= cm.
（第 6 题图）
7.等腰三角形的底边长是 8，则它的腰长 x 的取值范围是 .
8.已知等腰△ABC 的底边 BC=8 cm，且｜AC-BC｜=2 cm，则腰 AC 的长为 .
9.如图在△ABC 中，AB=AC,点 D 在边 AC 上，且 AD=DB=BC,若△ABD 的周长比△ABC 的周长少 3 cm，则可以
计算线段 CD 的长为 cm.
（第 9 题图）
10.已知等腰三角形一腰上的中线把周长分成 15 和 11 两部分，则这个等腰三角形的底边长是 ．
三、解答题
11.已知等腰三角形的腰长是底边的 3 倍，周长为 35 cm，求等腰三角形各边的长.
12.已知：如图，AD 平分∠BAC，AB=AC，请你说明△DBC 是等腰三角形.
（第 12 题图）
13.已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 的解，求这个三角形的各边长。
14.如图，已知直角△ABC，∠ABC=90°,请以直线 AC 为对称轴，作与△ABC 轴对称的图形，所得图形与原
图形所组成的图形是等腰三角形吗？请说明理由。
（第 14 题图）
15.如图，在等腰△ABC 中，AB=AC,BE=CD,BD 与 CE 交于点 O，求证：△OBC 为等腰三角形.
（第 15 题图）
A
B C
D
x+2y=4
3x+y=7{
参考答案
一、1.C 2.D 3.A 4.B 5.D
二、6.6，60°，8 7.x>4 8.10cm 或 16cm 9.3 10.7
三、 11.5，15，15 12.略 13.2，2，1
14.略 15.略
2.3 等腰三角形的性质定理
一、选择题
1. 如图，有一个△
㤹
，今以点
为圆心，
长为半径画弧，交
㤹
于点
㈮
，以点
㤹
为圆心，
㤹长为半径画弧，交
㤹
于点
，若 ∠
= 䁚
∘
，∠
㤹 =
∘
，则关于
㈮
，
，
，
㤹㈮
的大小关系
正确的是
（第 1 题图）
A.
㈮ =
B.
㈮
C.
= 㤹㈮
D.
㤹㈮
2. 在等边三角形
㤹
中，已知
㤹
边上的中线
㈮ = 1
，则
△ 㤹
中
㤹
处的角平分线长等于
A. 4 B. 16 C.
1
D.
2
3. 如图，已知
△ 㤹
是等边三角形，点
t
是
㤹
上任意一点，
t
，
t如
分别与两边垂直，等边三角
形的高为 2 ，则
t + t如
的值为
A.1 B.3 C. 2 D. 4
（第 3 题图） （第 4 题图）
4. 如图，在 △
㤹
中，
= 㤹
，
㈮
是 ∠
㤹
的平分线，
㈮
⊥
，
㈮如
⊥
㤹
，垂足分别是
，
如
，则下列四个结论：①
㈮
上任意一点到点
㤹
的距离与到点
的距离相等；②
㈮
上任意一点
到
的距离与到
㤹
的距离相等；③
㈮ = 㤹㈮
，
㈮
⊥
㤹
；④ ∠
㈮ =
∠
㤹㈮如
；其中，正确
的个数是( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
5. 已知等边三角形的边长为 3，点
为等边三角形内任意一点，则点
到三边的距离之和为
A.
2
B.
2
C.
2
D. 不能确定
6. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为
䁚
∘
，则其顶角的度数为
A.
䁚
∘
B.
12䁚
∘C.
䁚
∘
或
15䁚
∘
D.
䁚
∘
或
12䁚
∘7. 如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠
1 +
∠
2
的度数
A.
12䁚
∘
B.
2䁚
∘
C.
䁚䁚
∘
D.
䁚
∘
（第 7 题图） （第 8 题图）
8. 如图，线段
t㈮
的一个端点
t
在直线
上，
t㈮
与直线
的夹角为
5
∘
．以
t㈮
为一边作等腰
三角形使第三个顶点也在直线
上，这样的等腰三角形能作出 ( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
9. 如图，△
㤹
是等边三角形，
㈮
，
分别是
㤹
，
㤹
上的两点，且
㈮ = 㤹
，
，
㈮
相交于点
t
，则 ∠
㈮t
的度数为
A.
12䁚
∘
B.
1䁚
∘
C.
115
∘
D.
11䁚
∘
（第 9 题图） （第 10 题图）
10.如图 1，已知三角形纸片
㤹
，
= 㤹
，∠
㤹 = 5
∘
．将其折叠，如图 2，使点
与点
重合，
折痕为
㈮
，点
，
㈮
分别在
，
㤹
上，那么 ∠
㈮㤹
的度数为 ( )
A.
1䁚
∘
B.
15
∘
C.
2䁚
∘
D.
25
∘
二、填空题（共 10 小题；共 50 分）
11. 若等边三角形的边长为 ，则它的面积是 ．
12. 如图，
㤹㈮
与
互相垂直平分，
㈮
⊥
㈮
，∠
㈮ = 7䁚
∘
，则 ∠
㤹㈮ =
．
（第 12 题图）
13. 等边三角形
㤹
的两条角平分线
㈮
与
㤹
交于点
t
，则 ∠
t㤹
等于 ．
14. 等边三角形的两条中线相交所成钝角的度数是 ．
15. 如图，在 △
㤹
中，分别以
㤹
，
㤹
为边作等边三角形
㤹㈮
和等边三角形
㤹
，连接
，
㈮
交于点
t
，则 ∠
t
的度数为 ．
（第 15 题图） （第 16 题图）
16. 如图，在 △
㤹
中，
= 㤹
，∠
= 䁚
∘
，点
㈮
在
㤹
上，
㈮ = 㤹
，则 ∠
㈮
的度数
是 .
17. 如图，在△
㤹
中，
㈮
，
h
分别垂直平分
和
㤹
，且分别交
㤹
于点
㈮,
，若 ∠
㈮ = 5䁚
∘
，
则∠
㤹 =
，若△
㈮
的周长为
19 cm
，则
㤹 = cm
．
（第 17 题图）
18. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是
2䁚
∘
，则这个等腰三角形的底角为 ．
19. 等腰三角形的底边长为
1䁚 cm,
一腰上的中线把三角形的周长分成两部分，其中一部分比另一部分
长
cm
，则这个三角形的腰长是 .
20. 如图，△
㤹
为等边三角形，点
在
的延长线上，点
㈮
在
㤹
边上，且
㈮ = 㤹
．若
△
㤹
的边长为 4，
= 2
，则
㈮
的长为 ．
（第 20 题图）
三、解答题
21. 如图，
是等边 △
㤹
内一点，连接
，
，
㤹
，以
为边作 ∠
h = 䁚
∘
，且
h =
，
连接
㤹h
，观察并猜想
与
㤹h
之间的大小关系，并说明理由．
（第 21 题图）
22. 如图，在 △
㤹
中，∠
=
1
2
∠
㤹 =
1
2
∠
㤹
，
㈮
是角平分线，求 ∠
及 ∠
㈮㤹
的度数.
（第 22 题图）
23. 已知：如图，
，
t
，
㤹
三点在一条直线上，△
t
和 △
㤹t㈮
都是等边三角形，
㤹
，
㈮
交于
点
．求证：
Ⅰ.
㤹 = ㈮
；
Ⅱ. ∠
= 䁚
∘
．
（第 23 题图）
24. 已知：如图，△
㤹
中，
= 㤹
，
㈮
，
在
㤹
边上，且
㈮ =
．
求证：
㈮ = 㤹
．
（第 24 题图）
25. 在等边
△ 㤹
的外侧作直线
，点
关于直线
的对称点为
㈮
，连接
㈮
，
㤹㈮
，设
㤹㈮
交
直线
于点
．
Ⅰ. 依题意补全图 1，若 ∠
= 䁚
∘
，求 ∠
㤹
的度数；
Ⅱ. 如图 2，若
䁚
∘
∠
9䁚
∘
，判断直线
和
㤹㈮
相交所成的锐角的度数是否为定值，
若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由．
参考答案
一、1. D 2. C 3. C 4. D 5. B 6. D 7. B 8. D 9. A 10. B
二、11.
12.
7䁚
∘
13.
12䁚
∘
14.
12䁚
∘
15.
12䁚
∘
16.
䁚
∘
17.
115
∘
；
1918.
5
∘
或
55
∘
19.
cm
或
1 cm
20. 2
三、21.
= 㤹h
．理由如下：
△
㤹
是等边三角形，
= 㤹
，∠
㤹 = 䁚
∘
．
∠
㤹 =
∠
h = 䁚
∘
，
∠
=
∠
㤹h
．
在 △
和 △
㤹h
中，
= 㤹,
∠
=
∠
㤹h,
= h,△
≌ △
㤹h
，
= 㤹h
．
22. 因为
㈮
是 ∠
㤹
的平分线，所以 ∠
㈮ =
∠
㈮㤹 =
1
2
∠
㤹
.
因为 ∠
=
1
2
∠
㤹 =
1
2
∠
㤹
，
所以 ∠
=
∠
㈮ =
∠
㈮㤹
.
所以 ∠
㈮㤹 =
∠
+
∠
㈮ =
∠
㈮㤹 +
∠
㈮ =
∠
㤹 =
∠
㤹
.
设 ∠
＝
∘
，
∠
+
∠
㤹 +
∠
㤹 = 1䁚
∘
，
5
∘
= 1䁚
∘
，
=
∘
.
∠
=
∘
，
∠
㈮㤹 = 72
∘
.
23. （1） 在 △
t㤹
和 △
t㈮
中，
t = t,
∠
t㤹 =
∠
t㈮ = 䁚
∘
+
∠
t㈮,
t㤹 = t㈮,∴△
t㤹
≌ △
t㈮
．
∴
㤹 = ㈮
．
（2） ∵△
t㤹
≌ △
t㈮
，
∴ ∠
㤹 =
∠
t㈮
．
∵ ∠
㈮t +
∠
t㈮ = 䁚
∘
，
∴ ∠
㈮t +
∠
㤹 = 䁚
∘
，
∴ ∠
=
∠
㈮t +
∠
㤹 = 䁚
∘
．
24. ∵
= 㤹
， ∴ ∠
=
∠
㤹
.
∵
㈮ =
， ∴ ∠
㈮ =
∠
㈮
.
∵
㈮
，
在
㤹
边上， ∴ ∠
㈮ =
∠
㤹
.
∴△
㈮
≌ △
㤹
.
∴
㈮ = 㤹
.
25. （1） 补全图形 1，如答图．连接
㈮
．
点
㈮
与点
关于直线
对称，
∴
⊥
㈮
，
平分
㈮
．
∴
㈮ =
，∠
㈮ =
∠
= 䁚
∘
．
∵△
㤹
是等边三角形，
∴
= 㤹
，∠
㤹 = 䁚
∘
．
∴
㈮ = 㤹
．
∴ ∠
㤹㈮ =
∠
㈮㤹
．
∵ ∠
㤹㈮ =
∠
㤹 +
∠
+
∠
㈮ = 12䁚
∘
，
∴ ∠
㤹㈮ =
1䁚
∘
−12䁚
∘
2 = 䁚
∘
．
（2） 直线
和
㤹㈮
相交所成的锐角的度数是定值，为
䁚
∘
．
连接
㈮
，
．
（第 25 题答图）
点
㈮
与点
关于直线
对称，
∴
⊥
㈮
，
平分
㈮
．
∴
㈮ =
，
㈮ =
．
∴ ∠
㈮ =
∠
㈮
，∠
㈮ =
∠
㈮
．
∴ ∠
㈮ −
∠
㈮ =
∠
㈮ −
∠
㈮
．
即 ∠
㈮ =
∠
．
∵
㈮ = = 㤹
，
∴ ∠
㤹 =
∠
㈮
．
∴ ∠
=
∠
㤹
．
∵ ∠
㤹 +
∠
㤹 = 12䁚
∘
，
∴ ∠
+
∠
1 +
∠
㤹 = 12䁚
∘
．
∴ ∠
㤹 +
∠
1 +
∠
㤹 = 12䁚
∘
．
即 ∠
1 +
∠
㤹 = 12䁚
∘
．
∴ ∠
㤹 = 1䁚
∘
− 12䁚
∘
= 䁚
∘
．
∴ ∠
㈮ = 12䁚
∘
．
由对称性可得 ∠
=
∠
㈮ = 䁚
∘
．
直线
和
㤹㈮
相交所成的锐角的度数是
䁚
∘
．
2.4 等腰三角形的判定定理
一、选择题
1. 下列条件能判定三角形为等边三角形的有（ ）
（1）有一个角是
䁚
∘
三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高与中线重合的三角
形；（4）有一个角为
䁚
∘
的等腰三角形．
A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2. 如图，在
△ 㤹
中，
㈮ = ㈮ = 㤹
，
△ ㈮
为等边三角形，则图中等腰三角形的个数是（ ）
（第 2 题图）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 下列四个说法，正确的有 （ ）
①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于
䁚
∘
的三角形是等边三角形③有一个角是
䁚
∘
的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
4. 两角的平分线的交点和两边的垂直平分线的交点重合的三角形是 （ ）
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 直角三角形
5. 下面给出的几种三角形：①有两个角为
䁚
∘
的三角形；②三个外角都相等的三角形；③ 一边上的
高也是这边上的中线的三角形；④有一个角为
䁚
∘
的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A. 4 个 B. 3 个 C.2 个 D. 1 个
6. 下列三角形：① 有两个角等于
䁚
∘
；② 有一个角等于
䁚
∘
的等腰三角形；③ 三个外角（每个顶
点处各取一个外角）都相等的三角形；④ 一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等
边三角形的有（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④
7. 已知
△ 㤹
的三边长分别为 3，4，6，在
△ 㤹
所在平面内画一条直线，将
△ 㤹
分割成两个
三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 （ ）
A. 6 条 B. 7 条 C. 8 条 D. 9 条
8. 如图，
㈮
为
△ 㤹
内一点，
㤹㈮
平分
㤹
，
㈮ 㤹㈮
，
= ㈮
，若
㤹 = 5
，
㤹 =
，
则
㈮
的长为 ( )
A.2 B. 1 C.
5
2
D.
2
（第 8 题图）
9. 在平面直角坐标系中，
t
为坐标原点，已知
,1
，在
轴上确定点
，使得
△ t
为等腰
三角形，则符合条件的点
共有 ( )
A. 4 个 B.3 个 C. 2 个 D. 1 个
10. 直线与两坐标轴分别交于
，
两点，点
㤹
在坐标轴上，若
△ 㤹
为等腰三角形，则满足条件
的点
㤹
最多有 ( )
A. 4 个 B.5 个 C. 7 个 D. 8 个
二、填空题
11. 在
△ 㤹
中，如果
= 㤹
， （只添加一个条件），则
△ 㤹
为等边三角形．
12. 如图，
㈮
是
△ 㤹
的边
㤹
上的高，添加一个条件使
△ 㤹
是等腰三角形： （写
一个即可）．
（第 12 题图）
13. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易
收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆
t = t = 1 cm
，若衣架收拢时，
t = 䁚
∘
，
如图②，则此时
，
两点之间的距离是
cm
．
（第 13 题图）
14. 如图，
㈮
∥
㤹
，
㈮
平分
㤹
，则图中的等腰三角形是 ．
（第 14 题图） （第 15 题图）
15. 如图，在等边三角形
㤹
的边
㤹
上任取一点
㈮
，作
㈮ = 䁚
∘
,㈮
交
㤹
的外角平分线
于点
，则
△ ㈮
是 三角形．
16. 在平面直角坐标系中，
t
为坐标原点，已知点
1,1
，在
轴上确定点
h
，使
△ th
为等
腰三角形，则符合条件的点
h
有 个．
17. 如图，
㈮
是
△ 㤹
的中线，
㈮㤹 = 䁚
∘
，
㤹 =
，把
△ 㤹
沿直线
㈮
折叠，点
㤹
落在
㤹处，连接
㤹
，则
㤹
的长为 ．
（第 17 题图） （第 18 题图）
18. 如图，一只船从
处出发，以
1
海里/时的速度向正北航行，经过
1䁚
小时到达
处，分别从
，
处望灯塔
㤹
，测得
h㤹 = 2
∘
，
h㤹 =
∘
，则
处与灯塔
㤹
的距离为 .
19. 已知
t = 䁚
∘
，点
在
t
上，且
t = 2
，点
关于直线
t
的对称点是
h
，则
h =
．
20. 如图，
△ 㤹
中，
㈮
，
分别是
㤹
，
上的点，
㈮
与
㤹
交于点
t
，给出下列三个条件：
①
t = ㈮㤹t
；②
t = 㤹㈮t
； ③
= 㤹㈮
．
上述三个条件中，哪两个条件可判定
△ 㤹
是等腰三角形（用序号写出一种情形）： ．
（第 20 题图）
三、解答题
21. 已知：如图，在锐角三角形
㤹
中，
= 㤹
，两条高
㈮
，
㤹
相交于点
t
，求证：
t = t㤹
．
（第 21 题图）
22. 如图，在等腰三角形
㤹
中，
= 㤹
，
㈮
是
△ 㤹
的角平分线，
是
㤹
延长线上一点，
且
㤹 = 㤹㈮
，
㈮ = ㈮
．
Ⅰ. 求证：
△ 㤹
是等边三角形；
Ⅱ. 如果把
㈮
改为
△ 㤹
的中线或高（其他条件不变），请判断（1）中结论是否依然成立?（不
要求证明）
（第 22 题图）
23. 从①
= 㤹
；②
㈮ = 㤹㈮
；③
= ㈮㤹
；④
= 㤹
四个等式中选出两个作为条
件，证明
△ ㈮
是等腰三角形（写出一种即可）．
（第 23 题图）
24. 如图，
△ 㤹
是等边三角形，
㈮ 㤹
于点
㈮,
为
㤹
的中点，连接
㈮
．求证：
㈮ = ㈮㤹
．
（第 24 题图）
25. 数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为
∘
的等腰三角形具有一种特性，即经过它某
一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）．
Ⅰ.已知：如图①，在
△ 㤹
中，
= 㤹
，
=
∘
，直线
㈮
平分
㤹
交
㤹
于点
㈮
．求
证：
△ ㈮
与
△ ㈮㤹
都是等腰三角形；
Ⅱ.在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、
图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个
底角的度数；
Ⅲ .接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直
线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的
示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是
等腰三角形．）
Ⅳ.请你写出两个符合③中一般规律的非等腰三角形的特征．
（第 25 题图）
参考答案
一、1. B 2. C 3. D 4. C 5. B 6. D 7. B 8. A 9. C 10. D
二、11.
㤹 =
（答案不唯一） 12.
㈮
是
△ 㤹
的中线（答案不唯一） 13. 18
14.
△ ㈮
15. 等边 16. 4 17. 3 18. 180 海里 19. 2 20. ①③
三、21.
㈮ = 㤹
，
㈮ = 㤹
.
= 㤹
，
㤹 = 㤹
．
t㤹 = t㤹
，
t = t㤹
．
22. （1）
㤹㈮ = 㤹
，
= 㤹㈮
.
㤹 = 2
．
又
㈮ = ㈮
，
= ㈮㤹
.
㈮
是
△ 㤹
的角平分线，
㤹 = 2㈮㤹 = 2
.
㤹 = 㤹
.
= 㤹
．
又
= 㤹
，
= 㤹 = 㤹
．
△ 㤹
是等边三角形．
（2） 当
㈮
为
△ 㤹
的中线或高时，结论依然成立．
23. 选择的条件是：①
= 㤹
②
㈮ = 㤹㈮
（或①③，①④，②③）
证明：
在
△ ㈮
和
△ 㤹㈮
中，
= 㤹,
㈮ = 㤹㈮,
㈮ = ㈮,
㈮
≌
㤹㈮ AAS
．
㈮ = ㈮㤹
．
在
△ ㈮
中，
㈮ = ㈮
，
= ㈮
，即
△ ㈮
为等腰三角形．
24.
△ 㤹
是等边三角形，
㤹 = 䁚
∘
．
㈮ 㤹
于点
㈮
，
㈮㤹 = 9䁚
∘
．
是
㤹
中点，
㈮ =
1
2 㤹 = 㤹
．
△ ㈮㤹
是等边三角形.
㈮ = ㈮㤹
．
25.（1）如答图①.
在
△ 㤹
中，
= 㤹
，
㤹 = 㤹
，
=
∘
，
㤹 = 㤹 =
1
2 1䁚
∘
−
∠
= 72
∘
.
㈮
平分
㤹
，
1 = 2 =
∘
，
= 1 + = 72
∘
，
1 =
，
= 㤹
，
㈮ = ㈮,㈮ = 㤹
，
△ ㈮
与
△ ㈮㤹
都是等腰三角形．
（2） 如答图②③.
（3） 如答图④⑤.
（4） 特征一：直角三角形（直角边不等）；
特征二： 倍内角关系，如图④．
䁚
∘
5
∘
，其中，
䁚
∘
，
∘
，
1䁚
7
∘
；
特征三： 倍内角关系，如图⑤．
䁚
∘
5
∘
，其中，
䁚
∘
，
∘
．
① ② ③
④ ⑤
（第 25 题答图）
2.5 逆命题和逆定理
一、选择题
1. 下列语句正确的是（ ）
A.每个定理都有逆定理 B.每个命题都有逆命题
C.真命题的逆命题一定是真命题 D.假命题的逆命题一定是假命题
2．下列命题的逆命题正确的是（ ）
A.全等三角形的面积相等 B.全等三角形的对应角相等
C.直角都相等 D.全等三角形的三边对应相等
3．等腰三角形两底角相等的逆命题是（ ）
A.如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等
B.如果一个三角形的两个底角相等，那么它是等腰三角形
C.两底角相等的三角形是等腰三角形
D.有两个角相等的三角形是等腰三角形
4. 下列定理有逆定理的是（ ）
A.对顶角相等 B.成轴对称的两个图形是全等图形
C.等边三角形是等腰三角形 D.两直线平行，同位角相等
5. 已知下列命题：①若 a=b，则 a2=b2；②若 x＞0，则|x|=x；③两直线平行，内错角相等；④直角三角形
的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题
6．命题“两直线平行，内错角相等”的条件是_________，结论是________，这个命题的逆命题的条件是
___________，结论是__________．
7．命题“如果 a>0，b>0，那么 ab>0”的条件是___________，结论是_________，这个命题的逆命题是
___________．
8. 命题：“质数都是奇数“的逆命题是：
9．命题：“绝对值相等的两个数一定是相反数”的逆命题是：
10.线段垂直平分线性质定理的逆定理是____________ ．
三、解答题
11.写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题。
(1)相等的角是内错角；
(2)有一个角是 60°的三角形是等边三角形．
12．已知命题“若 a＞b，则 a2＞b2”．
(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；
(2)写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反
例
13．写出符合下列条件的一个原命题：
（1）原命题和逆命题都是真命题．
（2）原命题是真命题，但逆命题是假命题．
14．已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．
(1)写出此命题的逆命题；
(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出“已知”，“求证”，“证明”；如果是假
命题，请举反例说明．
15．如图，在△ABC 中，边 AB，BC 的垂直平分线相交于点 P.
(1)求证：PA＝PB＝PC.
(2)点 P 是否也在边 AC 的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
（第 15 题图）
参考答案
一、1.B 2.D 3.D 4.D 5.B
二、6.两直线平行 内错角相等 内错角相等 两直线平行
7.a>0 b>0 ab>0 如果 ab>0，那么 a>0，b>0
8.奇数都是质数
9.互为相反数的两个数的绝对值一定相等
10.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
三、11.(1) 内错角是相等的角；假命题 (2) 等边三角形有一个角是 60°；真命题
12.（1）假命题，反例略（2）若 a2＞b2，则 a＞b 假命题，反例略
13.（1）（2）略
14.（1）有两边上的高相等的三角形是等腰三角形（2）真命题；证明略
15.（1）略（2）点 P 在边 AC 的垂直平分线上，结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点
2.6 直角三角形
一、选择题
1. 木杆
斜靠在墙壁上，当木杆的上端
沿墙壁
ht
竖直下滑时，木杆的底端
也随之沿着射
线
t
的方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点
随之下落的路线，其中正确的是
A. B. C. D.
2. 如图，把一块含有
5
∘
角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果 ∠
1 = 2䁚
∘
，那么 ∠
2的度数是
（第 2 题图）
A.
䁚
∘
B.
25
∘
C.
2䁚
∘
D.
15
∘3. 若直角三角形的两条直角边的长分别为 5 和
12
，则斜边上的中线长是
A.
1
B. 6 C.
晦5
D. 不能确定
4. 在 △
㤹
中，若 ∠
−
∠
=
∠
㤹
，则此三角形是
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 无法确定
5. 如图，在 △
㤹
中，∠
㤹 = 9䁚
∘
，∠
∠
㤹
，
㈮
，
，
如
分别是 △
㤹
的高、角平分线、
中线．则 ∠
㈮
与 ∠
如
的大小关系是
A. ∠
㈮
∠
如
B. ∠
㈮ =
∠
如
C. ∠
㈮
∠
如
D. 与 ∠
㤹
的度数有关，无法判断
（第 5 题图） （第 6 题图）
6. 如图，已知点
− 1,䁚
和点
1,2
，在坐标轴上确定点
，使得 △
为直角三角形，则满足
这样条件的点
共有 ( )
A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 7 个
7. 折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力
的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学
猜想．把一张直角三角形纸片按照图 ①~④ 的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结
论 ( )
（第 7 题图）
A. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B. 在直角三角形中，如果一个锐角等于
䁚
∘
，那么它所对的直角边等于斜边的一半
C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D. 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
8. 下列说法中错误的是
A. 三角形的中线、角平分线、高线都是线段
B. 任意三角形的三个内角和都是
1䁚
∘C. 三角形按角分可分为锐角三角形、直角三角形和等边三角形
D. 直角三角形的两锐角互余
9. 如图，在 △
㤹
中，
㤹㈮
⊥
于点
㈮
，
⊥
㤹
于点
，
如
为
㤹
的中点，
㈮ = 5
，
㤹 =
，
则 △
㈮如
的周长是
A.
21
B.
1
C.
1
D.
15
（第 9 题图） （第 10 题图）
10. 如图，在
Rt
△
㤹
中，∠
㤹 = 9䁚
∘
,
∠
= 25
∘
，
㈮
是
上一点，将
Rt
△
㤹
沿
㤹㈮
折叠，
使 点
落在
㤹
边上的
ʹ 处，则 ∠
㈮
ʹ 等于
A.
25
∘
B.
䁚
∘
C.
5
∘
D.
䁚
∘
二、填空题
11. 如图，在
Rt
△
㤹
中，∠
㤹 = 9䁚
∘
，
㈮
为斜边
的中点，
= 1䁚 cm
，则
㤹㈮
的长为
cm
．
（第 11 题图） （第 12 题图）
12. 如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点
t
，则 ∠
t㤹 +
∠
t㈮ =
．
14. 如图，在△
㤹
中，∠
㤹 = 9䁚
∘
，
㤹㈮
⊥
，图中互余的角有 对，相等的锐角有 对．
（第 14 题图） （第 15 题图）
15. 如图，在 △
㤹
中，∠
㤹 = 9䁚
∘
，
㤹㈮
是
边上的高，则图中与 ∠
相等的角是 ．
16. 在 △
㤹
中，∠
+
∠
=
∠
㤹
，△
㤹
是 三角形．
17. 如图，在 △
㤹
中，∠
㤹 = 9䁚
∘
，点
㈮
在
㤹
上，
为
的中点，
㈮
，
㤹
相交于点
如
，
且
㈮ = ㈮
．若 ∠
= 2䁚
∘
，则 ∠
㈮如
等于 °．
（第 17 题图） （第 18 题图）
18. 如图，在 △
㤹
中，∠
㤹 = 9䁚
∘
，
㤹㈮
⊥
于点
㈮
，∠
= 䁚
∘
，
为
的中点，则 ∠
㤹㈮为 ．
19. 如图，
t
⊥
t
，垂足为
t
，
，
h
分别是射线
t
，
t
上的两个动点，点
㤹
是线段
h
的
中点，且
h =
．则动点
㤹
运动形成的路径长是 ．
（第 19 题图） （第 20 题图）
20. 如图，在
Rt △ 㤹
中，
㈮
，
为斜边
上的两个点，且
㈮ = 㤹
，
= 㤹
，则
㈮㤹
的大
小为 ．
三、解答题
21. 已知：如图，在四边形
㤹㈮
中，∠
㤹 =
∠
㈮㤹 = 9䁚
∘
，
是
㤹
的中点．求证：
㈮ =
．
（第 21 题图）
22. 如图，在
Rt
△
㤹
中，∠
㤹 = 9䁚
∘
，
㈮
是
上一点，且 ∠
㤹㈮ =
∠
．求证：
㤹㈮
⊥
．
（第 22 题图）
23. 如图，在
Rt
△
㤹
中，∠
㤹 = 9䁚
∘
，
㈮
是
㤹
边上的中线，
㈮
⊥
㤹
于点
㈮
，交
延
长线于点
，若 ∠
= 5
∘
，求 ∠
㈮
的度数．
（第 23 题图）
24. 图 1，图 2 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 ．点
和
点
在小正方形的顶点上．
Ⅰ. 在图 1 中画出 △
㤹
（点
㤹
在小正方形的顶点上），使 △
㤹
为直角三角形（画一个即可）；
Ⅱ. 在图 2 中画出 △
㈮
（点
㈮
在小正方形的顶点上），使 △
㈮
为等腰三角形（画一个即
可）．
（第 24 题图）
25. 已知，点
是 △
㤹
的边
上一动点（不与
，
重合）分别过点
，
向直线
㤹
作垂
线，垂足分别为
，
如
，
h
为边
的中点．
Ⅰ. 如图 1，当点
与点
h
重合时，
与
如
的位置关系是 ，
h
与
h如
的数量关系
是 ；
Ⅱ. 如图 2，当点
在线段
上不与点
h
重合时，试判断
h
与
h如
的数量关系，并给予证
明；
Ⅲ. 如图 3，当点
在线段
的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立?请画出图形并给予
证明．
（第 25 题图）
参考答案
一、1. D 2. B 3. C 4. B 5. B 6. C 7. C 8. C 9. C 10. D
二、11. 5 12.
1䁚
∘
14. 4；2 15. ∠
㤹㈮
16. 直角 17.
䁚
18.
䁚
∘
19. π
20.
5
∘三、21. ∠
㤹 = 9䁚
∘
，点
是
㤹
的中点，
=
1
2 㤹
，同理可证
㈮ =
1
2 㤹
.
㈮ =
．
22. ∵ ∠
㤹 = 9䁚
∘
， ∴ ∠
+
∠
= 9䁚
∘
．
∵ ∠
㤹㈮ =
∠
， ∴ ∠
+
∠
㤹㈮ = 9䁚
∘
.
∴ ∠
㈮㤹 = 9䁚
∘
.
∴
㤹㈮
⊥
．
23. ∵
㈮
⊥
㤹
，∠
= 5
∘
， ∴ ∠
= 55
∘
．
在
Rt
△
㤹
中，∠
㤹 = 9䁚
∘
，
㈮
是
㤹
边上的中线，
∴
㈮ = ㈮
．
∴ ∠
㈮ =
∠
= 55
∘
．
∴ ∠
㈮ = 7䁚
∘
．
24.（1）如答图①.（2）如答图②.
① ②
（第 24 题答图）
25.（1）
∥
如
；
h = h如
．
（2）
h = h如
．证明如下：
如答图①，延长
h
交
如
于点
㈮
．
∵
∥
如
， ∴ ∠
h =
∠
㈮h
．
在 △
㈮h
和 △
h
中，
∠
h =
∠
㈮h,
∠
h =
∠
h㈮,
h = h,∴△
㈮h
≌ △
h
（
AAS
）， ∴
h = h㈮
．
∵
如
⊥
㤹
，
∴
如h
是
Rt
△
㈮如
斜边上的中线，
∴
h = h如 = h㈮
，即
h = h如
．
（3）（2）中的结论仍然成立．证明如下：
如答图②，延长
h
，
如
交于
㈮
．
∵
∥
如
， ∴ ∠
h =
∠
㈮
．
在 △
h
和 △
h㈮
中，
∠
h =
∠
㈮h,
∠
h =
∠
h㈮,
h = h,∴△
h
≌ △
h㈮
（
AAS
），
∴
h = h㈮
．
∵
如
⊥
㤹
，
∴
如h
是
Rt
△
㈮如
斜边
㈮
上的中线，
∴
h = h如
．
① ②
（第 25 题答图）
2.7 探索勾股定理
一、选择题
1.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别是 a,b,c.若∠A+∠C=90°,那么下列等式中成立的是（ ）
A. 2 2 2a b c B. 2 2 2a c b C. 2 2 2b c a D.以上都不对
2. 如果直角三角形的三条边为 2，4，a，那么 a 的取值可以有（ ）
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
3.直角三角形两直角边的长分别为 3 和 4，则此直角三角形斜边上的中线长为（ ）
Ａ．1.5 Ｂ．2 Ｃ．2.5 Ｄ．5
4. 已知△ABC 的三边长分别是 3cm，4cm，5cm，则△ABC 的面积是（ ）
A.6cm2 B.7.5cm2 C.10cm2 D.12cm2
5. 如图 1，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，
则这个三角形为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形
图 1
6. 在△ABC 中, AB2=(a+b)2, AC2=(a-b)2, BC2=4ab 且 a>b>0,则（ ）
A. ∠A=90° B.∠B=90°
C.∠C=90° D. △ABC 不一定是直角三角形
7.如图 2，在 ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点 E，F 是中线 AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.6 B.12 C.24 D.30
图 2 图 3
8.如图 3 是一个圆柱形饮料罐，底面半径是 5，高是 12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直
吸管在罐内部分．．．．a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．12 13a≤ ≤ B．12 15a≤ ≤ C．5 12a≤ ≤ D．5 13a≤ ≤
二、填空题
9.画一个直角三角形,使其两条直角边长分别是 3cm 和 4cm,则斜边长为 cm.
10.若一个三角形中有两个角分别为 40°，50°,则这个三角形是 三角形.
11.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 AB＝10，AC＝8，则 BC＝ ．
12.一个三角形的三边分别记为 , ,a b c ,若 2 2 2c a b ,则这个三角形是 三角形.
13. 如图 4，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离欲到达点 B 200m，结果他在水中
实际游了 520m，求该河流的宽度为_______m.
图 4
14. 下列结论：①三个角度之比为 1：2：3 的三角形是直角三角形；②三边长之比为 3：4：5 的三角形是
直角三角形；③三边长之比为 8：16：17 的三角形是直角三角形；④三个角度之比为 1：1：2 的三角形是
直角三角形.其中正确的有 .(填序号)
三、解答题
15. 已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， , , .AB c BC a AC b
(1)若 15, 20a b ,求 c ；
(2)若 9, 41a c ,求 .b
16. 如图 5(1)，一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯
子滑动后停在 DE 的位置上，如图 5(2)，测得 BD 长为 0.5 米，求梯子顶端 A 下落了多少米．
图 5
17. 如图 6 的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积.
C
A
D
B
图 6
18.阅读下列题目的解题过程：
已知 a，b，c 为 ABC 的三边，且满足 a c b c a b2 2 2 2 4 4 ，试判断 ABC 的形状。
解： a c b c a b A2 2 2 2 4 4 ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
( ) ( )( ) ( )
( )
ABC
c a b a b a b B
c a b C
是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： .
19.（1）如图 7①是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；
（2）如图 7②， Rt RtABC CDE△ ≌ △ ， B D =90°，且 B C D， ， 三点共线．
试说明∠ACE=90°的理由；
（3）伽菲尔德（ Garfield ，1881 年任美国第 20 届总统）利用（1）中的公式和图②证明了勾股定理（1876
年 4 月 1 日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该说明过程．
a b
b
a
①
a
bc
c
A
E
DCB b a
②
图 7
参考答案
一、1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A
二、 9.5 10.直角 11.6 12.直角 13.480 14.①②④
三、15.(1)25； (2) 40.
16.解： 22 2 22.5 1.5 2.5 1.5 0.5 =2-1.5=0.5（米）
17.解：连结 AC. ∵∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，
∴AC= 2 2AD CD =15cm.
∵152+362=392, ∴AC2+BC2=AB2, 即∠ACB=902.
∴S= 1
2
×15×36- 1
2
×9×12=216m2
18.答案：∵AD =50cm，且 AE：ED=9：16，∴AE=18, ED=32.
∵BE2=AB2+AE2=900, CE2=DE2+CD2=1600.
又∵BE2+CE2=2500=BC2, ∴∠BEC 是直角.
19.解：（1）这个公式为 2 2 2( ) 2a b a ab b ．
（2） ABC CDE∵△ ≌△ ， BAC DCE ∴ ．
ACB DCE ACB BAC ∴ =90°．
由于 B C D， ， 共线，
所以 180 ( )ACE ACB DCE ° =180°-90°=90°
（3）梯形 ABDE 的面积为
21 1 1( ) ( )( ) ( )2 2 2AB ED BD a b a b a b · ；
另一方面，梯形 ABDE 可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成 21 1 1
2 2 2ab ab c ．
所以， 2 21 1 1 1( )2 2 2 2a b ab ab c ．
即 2 2 2a b c ．
2.8 直角三角形全等的判定
一、选择题
1. 如图，
t
平分 ∠
t
，
㈮
⊥
t
，
⊥
t
，垂足分别为
㈮
，
，下列结论正确的是( )
A.
㈮ =
B.
= t
C. ∠
㈮t =
∠
t
D.
㈮ = t㈮
（第 1 题图） （第 2 题图）
2. 如图，
= 㤹
，
= 㤹
，那么图中的全等三角形共有
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
3. 如图，∠
㈮㤹 =
∠
㤹 = 9䁚
∘
，
㈮ =
，有下列结论：①
㈮㤹 = 㤹
；②
㤹
⊥
㈮
；③
㈮ =
；
④ ∠
㤹㈮ =
∠
㤹
．其中正确的个数为
A. B. C. D.
（第 3 题图） （第 4 题图）
4. 如图，△
㤹
的三边
，
㤹
，
㤹
的长分别为
2䁚
，
䁚
，
䁚
，其三条角平分线将 △
㤹
分成三
个三角形，则
△
t
△
t㤹
△
t㤹 =
( )
A.
111
B.
C.
2
D.
2
5. 如图，已知
= 㤹
，
= 如
，
与
㤹如
交于点
㈮
，则：① △
≅
△
㤹如
；② △
㈮如 ≅
△
㤹㈮
；
③
㈮
在 ∠
㤹
的平分线上，以上结论中，正确的是
A. ① B. ② C. ①② D. ①②③
（第 5 题图） （第 6 题图）
6. 如图，点
是矩形
㤹㈮
的边
㈮
延长线上的一点，且
㈮ = ㈮
，连接
交
㤹㈮
于点
t
，
连接
t
，下列结论不正确的是 ( )
A. △
t
≌ △
t㤹
B. △
t㤹
≌ △
t㈮
C. △
t㈮
≌ △
t㈮
D. △
t㈮
≌ △
t㤹
7. 如图，在 △
㤹
中，∠
㤹
和 ∠
㤹
的平分线交于点
，过点
作
h
∥
㤹
，交
于点
，
交
㤹
于点
h
，若
+ 㤹h = 9
，则线段
h
的长为 ( )
A. B. C. D.
（第 7 题图） （第 8 题图）
8. 如图，已知 ∠
1 =
∠
2
，要得到 △
㈮
≌ △
㤹㈮
，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是
A.
= 㤹
B.
㈮ = ㈮㤹
C. ∠
㈮ =
∠
㈮㤹
D. ∠
=
∠
㤹
9. 如图，在 △
㤹
中，∠
㤹 = 9䁚
∘
，点
㈮
在边
上，
㤹 = ㈮
，
㈮
⊥
交
㤹
于点
，△
㤹的周长为
12
，△
㈮
的周长为 ，则
㤹
的长为 ( )
A. B. C. D.
（第 9 题图） （第 10 题图）
10. 如图，已知 △
㤹
与 △
㤹㈮
均是等边三角形，点
，
㤹
，
在同一条直线上，
与
㈮
相交
于点
t
，
与
㤹㈮
相交于点
，
，
㤹
与
㈮
相交于点
如
，连接
t㤹
，
如，
，则下列结论：①
= ㈮
；
②
， = 如
；③
如，
∥
；④ ∠
t㤹 =
∠
t㤹
．其中正确的结论个数为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
11. 如图，已知
⊥
h
，
⊥
h
，若
=
，那么点
在 ∠
h
的 ．
（第 11 题图） （第 12 题图）
12. 如图，
是
㤹
上一点，过点
作
㈮
⊥
于 点
㈮
，且
㤹 = ㈮
，如果
㤹 = cm
，
=
1䁚 cm
，那么
㈮ =
．
13. 如图，
，
㤹㈮
相交于点
t
，
= 㤹㈮
，试添加一个条件使得 △
t㈮
≌ △
㤹t
，你添加的条件
是 （只需写一个）．
（第 13 题图） （第 14 题图）
14. 如图，在 △
㤹
中，
㈮
平分 ∠
㤹
，
=
，
㤹 = 2
，且 △
㈮
的面积为 ，则 △
㤹㈮
的
面积为 ．
15. 如图，
Rt
△
t
≌
Rt
△
㤹㈮
，且
− 1,䁚
，
䁚,2
，则点
㤹
的坐标是 ．
（第 15 题图） （第 16 题图）
16. 如图，已知 ∠
㈮㤹 =
∠
㤹
，
㤹 = ㈮㤹
， 则 ∠
+
∠
㈮㤹 =
．
17. 如图，在 △
㤹
中，
㈮
为 ∠
㤹
的平分线，
㈮
⊥
于点
，
㈮如
⊥
㤹
于 点
如
，△
㤹的面积是
5 cm
2
，
= 1 cm
，
㤹 = 1 cm
，则
㈮ =
．
（第 17 题图）
18. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小芸的作图步骤如下：
老师说：“小芸的作图步骤正确，且可以得到
㈮如 = 㤹
”．
请回答：得到
㈮如 = 㤹
的依据是 ．
19. 如图，在 △
㤹
中，∠
㤹 = 9䁚
∘
，
㈮
平分 ∠
㤹
，
㤹 = 1䁚 cm
，
㈮ = cm
，则点
㈮
到
的
距离是
cm
．
（第 19 题图） （第 20 题图）
20. 如图，四边形
㤹㈮
中，
∥
㤹㈮
，点
是边
㈮
上的点，
平分 ∠
㤹
，
㤹
平分 ∠
㤹㈮
，
有下列结论：①
㈮ = + 㤹㈮
，②
为
㈮
的中点，③
㤹 = + 㤹㈮
，④
⊥
㤹
，其中正
确的有 ．（填序号）
三、解答题
21. 如图，已知
⊥
如㤹
于点
，
㈮
⊥
如㤹
于点
，
，
㈮如
相交于点
，
㤹
，
㈮
相 交于点
h
，
如 = 㤹
，
㤹 = ㈮如
．求证：∠
=
∠
㈮
．
（第 21 题图）
22. 根据条件画图，并回答问题：
Ⅰ. 画
Rt
△
㤹
，使 ∠
㤹 = 9䁚
∘
，
= cm
，斜边
㤹
上的高
㈮ = 2晦 cm
．
画图：
你画出的符合条件的三角形有 个．
根据你的作图，得出结论：
一条直角边和 对应相等的两个直角三角形 （填 “一定”“不一定”或“一定不”）
全等．
Ⅱ. 画 △
㤹
，使
= 2晦5 cm
，
㤹 = cm
，
㤹
边上的高
㈮ = 1晦5 cm
．
画图：
你画出的符合条件的三角形有 个．
根据你的作图，得出结论：
有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形 （填“一定”“不一定”或“一定不”）
全等．
Ⅲ .判断下面的命题是否正确，如果正确，请尝试证明；如果不正确，请举出反例.
①有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 ．
②有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 ．
③有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 ．
23. 如图，
㤹㈮
⊥
，
⊥
㤹
，垂足分别为点
㈮
，
，
，
㤹㈮
相交于点
t
，且
t = t㤹
，求证：
∠
1 =
∠
2
．
（第 23 题图）
24. 已知
Rt
△
㤹
≌
Rt
△
㈮
，其中 ∠
㤹 =
∠
㈮ = 9䁚
∘
．
Ⅰ. 将这两个三角形按图①方式摆放，使点
落在
上，
㈮
的延长线交
㤹
于点
如
．
求证：
如 + 如 = ㈮
；
Ⅱ. 改变 △
㈮
的位置，使
㈮
交
㤹
的延长线于点
如
（如图②），则（1）中的结论还成立吗?
若成立，加以证明；若不成立，写出此时
如
，
如
与
㈮
之间的等量关系，并说明理由．
（第 24 题图）
25. 已知：在平面直角坐标系中，△
㤹
的顶点
，
㤹
分别在
轴、
轴上，且 ∠
㤹 = 9䁚
∘
，
㤹 = 㤹
．
Ⅰ. 如图①，当
䁚,
−
2
，
㤹 1,䁚
，点
在第四象限时，则点
的坐标为 ；
Ⅱ. 如图②，若
t
平分 ∠
㤹
，交
㤹
于点
㈮
，过点
作
⊥
轴，垂足为
，则
与
㈮
之间的数量关系是 ．
Ⅲ .如图③，当点
㤹
在
轴的正半轴上运动，点
在
轴的正半轴上运动，点
在第四象限
时，作
㈮
⊥
轴于点
㈮
，试判断①
t㤹+㈮
t
与②
t㤹−㈮
t
中 是定值（只填序号），并
求出这个定值．
① ② ③
（第 25 题图）
参考答案
一、1. A 2. C 3. D 4. C 5. D 6. A 7. D 8. B 9. A 10. D
二、11. 角平分线上 12.
2 cm
13.
㈮ = 㤹
14.
1晦5
15.
− ,1
16.
1䁚
∘17.
cm
18. 斜边、直角边（
），全等三角形对应边相等． 19. 20. ②③④
三、21.
⊥
㤹如
，
㈮
⊥
㤹如
，
∠
㤹 =
∠
㈮如 = 9䁚
∘
．
如 = 㤹
，
如 + = 㤹 +
，
即
如 = 㤹
．
在
Rt
△
㤹
和
Rt
△
㈮如
中，
㤹 = ㈮如,
㤹 = 如,
Rt
△
㤹
≌
Rt
△
㈮如
． ∠
=
∠
㈮
．
22. （1） 如答图.
1
；斜边上的高；一定
（2） 如答图.
个；不一定
（3） ①（×）；②√； ③√．
（第 22 题答图）
23. ∵
㤹㈮
⊥
，
⊥
㤹
， ∴ ∠
t㈮ =
∠
t㤹 = 9䁚
∘
．
在 △
t㈮
和 △
㤹t
中，
∠
t㈮ =
∠
t㤹,
∠
t㈮ =
∠
㤹t,
t = t㤹,∴△
t㈮
≌ △
㤹t AAS
．
∴
t㈮ = t
．
∴ ∠
1 =
∠
2
．
24. （1） 连接
如
， 如答图①.
因为
Rt
△
㤹
≌
Rt
△
㈮
，
所以
㤹 =
，
㤹 = ㈮
．
因为 ∠
㤹 =
∠
㈮ = 9䁚
∘
，
所以在
Rt
△
㤹如
与
Rt
△
如
中，
如 = 如,
㤹 = 晦所以 △
㤹如
≌ △
如 HL
．
所以
㤹如 = 如
．
所以
如 + 如 = 如 + 㤹如 = 㤹
．
所以
如 + 如 = ㈮
．
（2） 不成立，
如 − 如 = ㈮
．
连接
如
，如答图②，
因为
Rt
△
㤹
≌
Rt
△
㈮
，
所以
㤹 =
，
㤹 = ㈮
．
因为 ∠
㤹 =
∠
㈮ = 9䁚
∘
，
所以在
Rt
△
㤹如
与
Rt
△
如
中，
如 = 如,
㤹 = 晦所以 △
㤹如
≌ △
如 HL
．
所以
㤹如 = 如
．
所以
如 − 如 = 如 − 㤹如 = 㤹
．
所以
如 − 如 = ㈮
．
① ②
（第 24 题答图）
25. （1）
,
−
1（2）
㈮ = 2证明：分别延长
㤹
，
交于点
如
，如答图①．
∵
㤹 = 㤹
，
㤹
⊥
㤹
，
∴ ∠
㤹 =
∠
㤹 = 5
∘
．
∵
㈮
平分 ∠
㤹
，
∴ ∠
㤹㈮ = 22晦5
∘
，∠
㈮ = 9䁚
∘
−
∠
㈮ −
∠
㈮ = 22晦5
∘
．
在 △
㤹如
和 △
㤹㈮
中，
∠
㤹如 =
∠
㤹㈮,
㤹 = 㤹,
∠
㤹如 =
∠
㤹㈮ = 9䁚
∘
,∴△
㤹如
≌ △
㤹㈮
．
∴
如 = ㈮
．
在 △
和 △
如
中，
∠
=
∠
如,
= ,
∠
=
∠
如,∴△
≌ △
如
．
∴
= 如
．
∴
㈮ = 2
．
（3） ②
如答图②，作
⊥
t㤹
于
，则
㈮ = t
．
∵ ∠
㤹t +
∠
㤹t = 9䁚
∘
，∠
㤹t +
∠
㤹 = 9䁚
∘
，
∴ ∠
㤹t =
∠
㤹
．
在 △
㤹t
和 △
㤹
中，
∠
㤹 =
∠
㤹t = 9䁚
∘
,
∠
㤹 =
∠
㤹t,
㤹 = 㤹,∴△
㤹t
≌ △
㤹
．
∴
㤹 = t
．
∴
t + ㈮ = t㤹
．
∴
t㤹−㈮
t = 1
．
① ②
（第 25 题答图）
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