资料简介
第
2
章 一元二次方程
2.1
一元二次方程
1、什么叫方程？什么叫方程的解？我们学了哪些方程？
2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?
知识回顾
重点：
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念
.
难点
：
尝试的方法求简单的二元一次方程的解
.
重
、
难点
新课引入
问题一
如
图，
某住宅小区内有一栋旧建筑，占地为一边长为35 m的正方形.现打算拆除建筑并在其正中间铺上一面积为900 m
2
的正方形草坪，使四周留出的人行道的宽度相等，
问
:
人行道
的宽度为多少米？
35cm
35cm
x
x
x
x
解：
设人行道的宽度
为
x
m
，则草坪的边长为
( )m
.
35
-
2
x
根据题意，列出方程
(
35
-
2
x
)
2
=
900.
把方程通过移项，写成
(
35
-
2
x
)
2
-
900 =
0.
即
4
x
2
-140
x
+325=
0
.
问题二
据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆 . 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率
x
应满足的方程
.
分析：
问题涉及的等量关系是：
两年后的汽车拥有量
=
前年的汽车拥有量
×
（1+年平均增长率）
2
.
解：
该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为
x
.
根据等量关系，可以列出方程
化简，整理得
上述两个方程有什么共同特点？
如果一个方程通过整理可以使右边为
0
，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做
一元二次方程
，它的一般形式是：
4
x
2
-140
x
+325=0
ax
2
+
bx
+
c
=0（
a
，
b
，
c
是已知数
，
a
≠0），
其中
a
，
b
，
c
分别叫做二次项系数、一次项系数、常数
项
.
例：
下列方程是否为一元二次方程，若是，指出其二次项系数、一次项系数和常数
项
.
3x(1-x)+10=2(x+2)
解：
去括号，
得
整理，
得
3x-3x
2
+10=2x+
4
.
-3x
2
+x+6=0
可以写
成
3
x
2
-x-6=0
二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是
6
.
例：
已知关于
x
的一元二次方程
x
2
+
ax
+
a
=0
的一个根是
3
，求
a
的值
.
解：
由
题意
,
得
把
x
=3
代入方程
x
2
+ax+a=0
得，
3
2
+3
a
+
a
=
0
.
1
.关于x的方程(k－3)x
2
＋
2x－1＝0,当
k
时，是一元二次方程．
≠3
2
.一元二次方程(2x＋1)(x－2)＝5－3x的二次项系数、一次项系数及常数项之和为______．
－
5
课堂练习
3.
已知关于
x
的方程
(
k
2
－
1)
x
2
＋
(
k
＋
1)
x
－
2
＝
0.
(1)
当
k
取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的
根
.
(2)
当
k
取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
1.
了解
一元二次方程的概念和一般形式
.
2.
会
求
一元二次方程
的二次项系数
,
一次项系数和常数项
.
3.
注意
:
一元二次方程的二次项系数不能为零
.
课堂小结
第
2
章 一元二次方程
2.2
一元二次方程
的解法
2.2
一元二次方程
的解法
—
配方
法
教学重点：
运用开平方法解形如（
x
+
m
）
2
=
n
(
n
≥0)
的方程；领会降次
—
转化的数学思想
.
教学重、难点
教学难点：
通过根据平方根的意义解形如
x
2
=
n
的
方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如
(
x+m
)
2
=
n
(
n≥
0)
的方程
.
如何解本章
2.1节“动脑筋”中的方程：
x
2
-
2500 = 0 呢 ？
把方程写成
x
2
=2500.
这表明
x
是 2500 的平方根，根据平方根的意义，得
x=
或
x=
.
因此，原方程的解为
x
1
=
50,
x
2
=
-
50.
对于实际问题中的方程 x
2
-2500=0 而言
，
x
2
=-50是否符合题意？
答
：
x
2
=
-
50不合题意，因为圆的半径不可能为负数，应当舍去 . 而
x
1
=
50符合题意，因此该圆的半径为 50 cm.
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
例1 解方程：4
x
2
-25=0.
解：
原方程可化为
x
2
= .
根据平方根的意义，得
x
=
或
x
= ，
因此，原方程的根为
x
1
=
，
x
2
=
.
例2 解方程
：
解：
根据平方根的意义，得
2
x
+1
=
或
2
x
+1
=
，
因此，原方程的根为
x
1
=
，
x
2
=
.
课堂练习
1.
解
下列方程：
（
1
）
9
x
2
-
49=0
； （
2
）
36
-
x
2
=0
；
（
3
）
(
x
+3
)
2
-
16=0
； （
4
）
(
1
-
2
x
)
2
-
3=0.
2.
（
1
）
(
a
±
b
)
2
＝
；
（
2
） 把完全平方公式从
右边到左边使用
， 在下列各题中， 填上适当的数，使等式成立：
①
x
2
+ 6
x
+
＝
(
x
+
)
2
；
②
x
2
- 6
x +
＝
(
x
-
)
2
；
③
x
2
+ 6
x
+5 =
x
2
+ 6
x
+
-
+ 5 = (
x
+
)
2
-
.
a
2
±
2
ab
＋
b
2
9
3
3
9
9
9
3
4
点拨：
③
就是
把式子写成
(
x
+
n
)
2
+
d
的形式
理解新知
解方程：
x
2
+ 4
x
= 12.
解：
x
2
+ 4
x
+ 2
2
- 2
2
= 12
，
因此， 有
x
2
+ 4
x
+ 2
2
= 2
2
+ 12.
即
(
x
+ 2 )
2
= 16.
根据平方根的意义， 得
x
+ 2 = 4
或
x
+ 2 = -4.
解得
x
1
=
2
，
x
2
=
-
6.
一般地， 像上面这样， 在方程
x
2
+ 4
x
= 12
的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方． 配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法．
如何用配方法解本章
2.1
节“动脑筋” 中的方程② ：
25
x
2
+ 50
x
- 11 = 0
呢？
这个方程的二次项系数是
25
，如果二次项系数为
1
， 那就好办
了
.
我们
可以直接将左边化为
(
x
+
n
)
2
的
形式
.
由于方程
25
x
2
+ 50
x
- 11 = 0
的二次项系数不为
1
， 为了便于配方， 我们可根据等式的性质， 在方程两边同除以
25
， 将二次项系数化为
1
， 得
x
2
+ 2
x
-
＝
0
那么现在你会利用配方法解这个方程这个方程了么？
x
2
+ 2
x
-
＝
0
x
2
+ 2
x
+1
2
- 1
2
-
＝
0
配方， 得
因此
(
x
+ 1)
2
=
由此得
x
+ 1 =
或
x
+ 1 =
，
解得
x
1
=0.2
，
x
2
=
-
2.2
二次项系数化为
1
25
x
2
+ 50
x
- 11 = 0
方程左边配成完全平方
将方程转化为两个一元一次方程
两个一元一次方程分别求解
用配方法解一元二次方程
的一般步骤
:
移项
:
把常数项移到方程的右边；
配方:
方程两边都加上一次项系数一半的平方；
开方
:
根据平方根意义，方程两边开平方；
求解
:
解一元一次方程；
定解
:
写出原方程的解
.
例 市区内有一块边长为
15
米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到
289
平方米，这块绿地的边长增加了多少米？
解：
设这块绿地的边长增加了
x
米
，则
有
(
15
＋
x
)
2
＝
289
，解得
x
1
＝
2
，
x
2
＝－
32(
舍去
)
．
所以
这块绿地的边长增加了
2
米
.
2.2
一元二次方程
的解法
—
公式
法
教学目标
学会用公式法解一元二次方程，其一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出a、b、c 的
值
.
2、求出b
2
-4ac 的值.
特别注意:当b
2
-4ac
≥0
时原方程有实数
解
.
3、代入求根公式
4、写出方程的
解x
1
=？，x
2
=?
用配方法解关于
x
的方程：
ax
2
+
bx
+
c
=0
解
:
把方程两边都除以
a
，
得
移项，
得
配方，
得
即
∵
4
a
2
0，
∴
当
b
2
-4
ac
≥
0
时
，
,即
>
一元二次方程
（
a
≠0
）
在
b
2
-4
ac
≥0
时，它的根为
(
b
2
-
4
ac
≥
0)
我们通常把这个式子叫作一元二次方程的求根公式
.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系数
a
，
b
，
c
决定， 这也反映出了一元二次方程的根与系数
a
，
b
，
c
之间的一个关系
.
用公式法解方程
x
2
-
x
-2=0
解：
a
＝
1
，
b
＝
-
1
，
c
＝
-
2.
因而
b
2
-
4
ac
＝
(- 1)
2
-
4 × 1 × (- 2)
＝
1
＋
8
＝
9
＞
0
，
所以
x
＝
因此， 原方程的根为
x
1
＝
2
，
x
2
＝
-
1.
用公式法解方程：
解：
即
这里
因而
b
2
-
4
ac
＝
(- 7)
2
-
4 × 1 × (- 18)
＝
49
＋
72
＝
121
＞
0
，
课堂练习
用公式法解下列方程：
小结：
1.
回顾一元二次方程的求根公式是什么？它是如何推导的？
3.
应用公式法解一元二次方程的基本步骤有哪些？
2.
怎样通过一元二次方程的根的判别式
Δ
=
b
2
-
4
ac
判断根的情况？
2.2
一元二次方程
的解法
—
因式分解
法
教学目标
1.
用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式、完全平方公式等解一元二次方程及其应用
.
2.
三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与
区别
.
解方程：
x
2
-3
x
=0
方程的左边提取公因式
x
，得
x(x-3)=0
，由此得
x=0
或
x-3=0,
即
x
1
=0
，
x
2
=3
像上面这样，利用因式分解来解一元二次方程
的方法叫做因式分解
法
.
可以用公式法求解
例 用因式分解法解下列方程：
x
2
- 10
x
+ 24 = 0.
解 配方， 得
x
2
- 10
x
+ 5
2
- 5
2
+ 24 = 0
，
因而
(
x
- 5 )
2
- 12 = 0
，
把方程左边因式分解，得
(
x
- 5 + 1 )(
x
- 5 – 1)
= 0
，
即
(
x
– 4)(
x
– 6)
= 0
，
由此得
x
- 4 = 0
或
x
- 6 = 0.
解得
x
1
= 4
，
x
2
= 6.
从例中可以看出， 我们能把方程
x
2
- 10
x
+ 24 = 0
的左边因式分解后， 写成
x
2
- 10
x
+ 24 = (
x
- 4 )(
x
– 6)= 0
，则
4
和６就是原方程的两个根
.
一般地，若我们能把方程
x
2
+
bx
+
c
= 0
的左边进行因式分解后， 写成
x
2
+
bx
+
c
= (
x
-
d
)(
x
–
h
)= 0
，则
d
和
h
就是方程
x
2
+
bx
+
c
= 0
的两个根
.
反过来，如果
d
和
h
是方程
x
2
+
bx
+
c
= 0
的两个根，则方程的左边可以分解成
x
2
+
bx
+
c
= (
x
-
d
)(
x
–
h
)=
0
.
我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方程的特点，选择合适的方法来求解
.
如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？
公式法适用于所有一元二次方程
.
因式分解法（有时需要先配方）适用于所有一元二次方程
.
配方法是为了推导出求根公式
，以及先配方，然后用因式分解法
.
解一元二次方程的基本思路都是
：
将一元二次方程转化为一元一次方程，即
降次
， 其本质是把
ax
2
+
bx
+
c
= 0
（
a
≠
0
）的左端的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即
ax
2
+
bx
+
c
=
a
（
x
-
x
1
）（
x
-
x
2
），其中
x
1
和
x
2
是方程
ax
2
+
bx
+
c
= 0
的两个根
.
解下列方程：
（
1
）
x
2
-
7
x
=0
； （
2
）
3
x
2
= 5
x
.
1.
因式分解法是一种比较简单的解方程的方法，我们是如何通过因式分解把一元二次方程降次的呢？
2.
利用因式分解法解一元二次方程的主要步骤有哪些？
归纳总结
第
2
章 一元二次方程
2.3
一元二次方程根的判别式
教学目标
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；
2.能运用根的判别式，
判别方程根的情况和进行有关的推理论证
；
3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的范围.
新课引入
我们在运用公式法求解一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
=0
(
a
≠0)
时，总是要求
b
2
-4
ac
≥0.
这是为什么？
把方程
ax
2
+
bx
+
c
= 0(
a
≠0)
配方后得到：
由于
a
≠0
，所以 ＞
0
，因此我们不难发现：
此时，原方程有两个不相等的实数根.
（
1
）
当 时，
由于正数有两个平方根，所以原方程的根为
此时，原方程有两个相等的实数根
.
当
时
，
（
2
）
由于
0
的平方根为
0
，所以原方程的根为
由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方程没有实数根
.
当 时，
（
3
）
当
Δ > 0
时，
原方程有两个不相等的实数根
，其根为
当
Δ = 0
时，
原方程有两个相等的实数根
，其根为
当
Δ < 0 时， 原方程没有实数根 . 例 已知关于 x 的方程 x 2 － 2( k ＋ 1) x ＋ k 2 ＝ 0 有两个不相等的实数根． (1) 求 k 的取值范围； (2) 求证： x ＝－ 1 不可能是此方程的实数根． (2) 证明：若 x ＝－ 1 是方程 x 2 － 2(k ＋ 1)x ＋ k 2 ＝ 0 的实数根，则有 ( － 1) 2 ＋ 2(k ＋ 1) ＋ k 2 ＝ 0 ，即 k 2 ＋ 2k ＋ 3 ＝ 0.∵Δ ＝ b 2 － 4ac ＝－ 8
查看更多
