资料简介
第3章 实数
3.1 平方根
如果一个数 x 的平方等于 a,
那么这个数 x 叫做 a 的平方根.
就是说, 当x2 =a 时,
称 x 是 a 的平方根.
(a≥0)
下列各数的平方根会是怎样的?
⑴ 121 ⑵ 36
⑶ (-4)2 ⑷ 0 ⑸ -25
平方根的情况:
⑴一个正数的平方根有两个,它们互为相反数;
⑵ 0的平方根只有一个,就是它本身0;
想一想
⑶负数没有平方根.
±11 ±6
±4 0
平方根的表示方法
是 的简写
根指数
被开
方数
如9的平方根表示为
例1 求下列各数的平方根:
⑴ 100 ⑵ 0.49 ⑶ 1.69
⑷ ⑸ ⑹ 232
⑴解： 因为102=100,且(-10)2=100,
所以100的平方根为 ±10.
其他略.
例2 口答下列各数的平方根:
⑴ 49 ⑵ 1 600 ⑶ 196
⑷
36
49
⑸
64
25 ⑹ 5 1
16
⑺ 0 ⑻ 0.09 ⑼ 1.44
⑽ 0.81 ⑾ 0.012 1 ⑿ 1.69
知识点归纳：
（1）平方根的意义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫
做a 的平方根。a的平方根记作: 。
（2）求一个数a的平方根的运算叫做开平方。
（3）平方和开平方互为逆运算。
辨一辨
下列叙述正确的打“ √” ，错误的打“×”：
⑴ 16的平方根是 ±4; ( ) √
⑵ ±7是49的平方根 ;( ) √
⑶ 112的平方根是11;( ) ×
⑷ -9是81的平方根;( ) √
⑸ 52的平方根是±25; ( )
⑹ -9的平方根是 -3;( )
⑺ 0的平方根是 0; ( )
⑻ 平方根为 -2的数是 -4; (
⑼ 只有一个平方根的数是0. ( )
×
×
√
× )
√
练习
1. 下列表述正确的是( )
A. 9的平方根是-3 B. -7是-49的平方根
C. -15是225的平方根 D. (-4)2的平方根是-4
2. 下列各数没有平方根的是( )
A. (-10)2 B. 0 C.-6 D.-(-5)2
C
D
思考
2的平方根是多少？
8的平方根是多少？
86的平方根是多少？
求下列各式中的x:
1. x2=16
2. 64x2=25
3.(x-1)2=9
x=±4
x2= 25
64 x=± 5
8
x-1=±3 x=4 或x= -2
一个数的平方根是2x+1和x-7，求x和这个数。
解：2x+1+x-7=0，
解得x=2.
2x+1=5, x-7=-5,
故这个数为52=25.
例1
口答下列各式的值:
⑴ √10000 = ⑵ √144 =
⑶±√0.04 = ⑷√(-3)2 =
100 -12
±0.2 3
例2
计算下列各数的算术平方根:
⑴ 2 ⑵ 529 ⑶ 1 225
⑴√2 解: ⑵√529 =23
⑶√1225 =35
算术平方根与平方根:
算术平方根是平方根中正的一个值,
平方根一般是互为相反数的两个值。
只有一个值;
算术平方根只表示为 , 而平方根需表示为√a ± √a.
第3章 实数
3.2 立方根
x
1．现有一个体积为8cm3的正方体纸盒，
它的每一条棱长是多少？
x3=8
解：设它的每一条棱长是ｘcm.
2．一个正方体纸盒的容积为64cm3，它的棱长是多少
？
3. 一个正方体纸盒的容积为25cm3，它的棱长是多少？
x3=64
x3=25
x=2
x=4
x=？
如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫
做三次方根).
如果x3 =a，那么x叫做a的立方根.
立方根的表示方法：立方根的表示方法：
读作“三次根号a”.
（1）∵43=64， ∴4是64的立方根，
即 ＝4，
（2）求一个数的立方根的运算叫做开立方．
（3）开立方和立方互为逆运算,求一个数的立方根可
以通过立方运算来求．
2的立方根是 .
， ，
你会区别下列的数吗？你会区别下列的数吗？
表示表示aa的算术平方根的算术平方根
表示表示aa的平方根或的平方根或aa的二次方根的二次方根
表示表示aa的立方根或的立方根或aa的三次方根的三次方根
例 求下列各数的立方根．
（1）27 ； （2）- ；（3）9．
(1)∵ 33=27,
即 = 3.
∴ 27的立方根是3.
（2）（3）略
下列各数有立方根吗？如果有，请写出来；
如果没有，请说明理由.
, 0.001, 9,-3,-64, - ,0.
归纳：1. 正数的立方根是一个正数
2. 负数的立方根是一个负数
3. 0的立方根是0
填空，你能发现其中的规律吗？
因为 ＝ ，
所以
因为
所以
归纳：
-2
＝
＝
-2
-3 -3
例2 求下列各式的值 ：
求下列各式的值：求下列各式的值：
（1
）
（2
）
（3
）
解：解：（（11
））（（22
））
（（33
））（（44
））
课堂课堂练习：练习：
1.1.你能求出下列各式中的未知数你能求出下列各式中的未知数xx吗？吗？
（（11）） xx33＝＝343 343 （（22）（）（xx－－11））33＝＝125125
解解::
∴∴xx＝＝77 ∴∴x-1x-1＝＝55
x=6x=6
（（33）） （（44））
（（33）） xx＝＝2233
（（44）） x-2x-2＝＝4433
∴∴xx＝＝6666∴∴xx＝＝88
2.判断下列说法是否正确，并说明理由：
（1） 的立方根是
（2）负数没有立方根
（3）4的平方根是2
（4）-8的立方根是-2
（5）立方根是它本身的数只有0
（6）互为相反数的数的立方根也互为相反数
课堂课堂练习：练习：
小结小结
11、平方根的定义：如果一个数、平方根的定义：如果一个数
的平方等于的平方等于aa,,那么这个数叫做那么这个数叫做aa
的平方根。的平方根。aa的平方根用的平方根用±
22、平方根的性质、平方根的性质
（（11）一个正数有两个平方根，这）一个正数有两个平方根，这
两个平方根互为相反数两个平方根互为相反数
（（22））00的平方根还是的平方根还是00
（（33）负数没有平方根）负数没有平方根
33、平方根的求法：、平方根的求法：
如求如求44的平方根：的平方根：
∵ (±2)2 = 4,
∴4的平方根是±2.
即
11、立方根的定义：如果一个数、立方根的定义：如果一个数
的立方等于的立方等于aa,,那么这个数叫做那么这个数叫做aa
的立方根。的立方根。aa的立方根用的立方根用 表示表示
22、立方根的性质、立方根的性质
（（11）正数的立方根还是正数）正数的立方根还是正数
（（22））00的立方根的立方根还是还是00
（（33）负数的立方根还是负数）负数的立方根还是负数
33、立方根的求法：、立方根的求法：
如求如求88的立方根：的立方根：
∵ 23 = 8，
∴8的立方根是2.
即
1.一个正方体的体积变为原来的8倍，其棱长变为
原来的多少倍？
2.一个正方体的体积变为原来的27倍，其棱长变为原
来的多少倍？
3.一个正方体的体积变为原来的n(n>0)倍，其棱长变
为原来的多少倍？
思考:
第3章 实数
3.3 实数（第1课时）
1
1
1
1
A
CB
D
探索：
边长为1的正方形的对角线的长是多少？
BD2=12+12
BD=
0 21-1
是怎样的一个数呢？
在数轴上画出表示 的点
• 画半径为1cm的圆，计算这个圆的周长、面积.
1c
m
事实上，人们已经证明 是一个无限不循环小数，它
的值为
1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209
7…无限不循环小数称为无理数。
实
数
有理数
无理数
正有理数
负有理数
有限小数或无限循
环小数
无限不循环小数
0
正无理数
负无理数
实
数
有理数
无理数
整数
分数
有限小数或无限循
环小数
无限不循环小数
有理数和无理数统称为实数
有理数都可以用数轴上的点来表示，反
过来，数轴上的点是否都表示有理数？
讨论
0 1 2 3-1-2-3
例1、把下列各数填入相应的集合内：
0 -0.5
0.121 211 211 12…
-3.141 59
有理数集合{ ， ， …}
无理数集合{ ， ，…}
正实数集合{ ， ， …}
负实数集合{ ， …} -0.5
，
-3.141 59
0 ，-0.5
，
-3.14159
，0.121 211 211 12…
，0.121 211 211 12…，
3.3 实数（第2课时）
回味概念回味概念
填
一
填
有理数 相反数 绝对值 倒数
－3
2
3 3
实数的绝对值、相反数、倒数与有理数范围内的意义
完全相同,并且有理数的大小比较的方法、运算性质及
运算律在实数范围内仍然适用.
你 知 道 吗?
问题一问题一
1、比较大小: 3 7＜
2、比较大小：
★通过估算，比较大小：
﹤﹥2,所以﹤2,因为
★若a﹥0,b﹥0,且a2﹥b2,则a﹥b
即因为( )2=3, ( )2=7,所以 ﹤
★利用数轴比较大小.
＜
做一做做一做
试一试：比较下列各组数的大小：
＞
＜
＝
＞
1.怎样比较 与 的大小
(两个负数绝对值大的反而小)
2.怎样比较0.5与 的大小
可用平方法，把两个正数都化成带根号或不带根号的
式子，从而比较它们的大小
问题二问题二
①
②
③
④
⑤
做一做做一做
3.比较下列各组实数的大小
注意：先求出两个无理数的近似值,再比较大小,这也是比
较两个无理数大小的一种方法.
你知道 与 的大小吗？
解:
输入时依次按键: 9 2ndF 3 =
第二功能键 方根运算键
问问题三题三
1、比较大小：
2、计算：
注意:（1）实数运算时，涉及无理数，可取其近似值，将其
转化为有理数进行计算；
（2）在计算过程中取近似值时，可以按照计算结果要求的
精确度，多保留一位.
小结与回顾小结与回顾
通过用不同的方法比较两个无理数的大小，如估算法、
平方法、作差法、求近似值法等．
有理数的运算扩充到实数范围内时仍然适用.
学习了利用计算器进行实数的四则运算.
2. 的相反数是______,绝对值是_____.
3. 的相反数是______,绝对值是______.
6.
4. 的绝对值是_____.
5.已知一个数的绝对值是 ，则这个数是____．
1.a是一个实数,它的相反数为____；
如果，a≠0，那么它的倒数为______.
4
2或3
练习练习
7.绝对值小于 的整数有_____________,
这些整数的和是_______． 0
9.计算:
(1) (保留3位小数)
(2) （保留2位小数）
8.试比较 的大小.
练习练习
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