资料简介
第
4
章 图形的认识
4.1
几何图形
4
.1 几何图形
万里长城
—
中国
泰姬陵
—
印度
天坛祈年殿
—
中国
金字塔
—
埃及
国家体育馆
—
中国
长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及小学学过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是
几何图形。
有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是
立体图形。
常见的立体图形
圆柱
圆锥
正方体
长方体
四棱柱
三棱柱
球
五边形
圆
八边形
三角形
梯形
常见的平面图形
从这只可爱的小花猫
身上你能数出多少个三角形 ？
11个
七巧板
(Tangram)
起源于宋代
,
是我国人民创造的益智游戏，流传到世界上不少国家
.
由一个正方形分割的七块几何形状可以拼出千变万化的几何图形
,
形似各种自然事物
.
近代围绕七巧板展开的科学研究证明七巧板的设计和人工智能、拓扑学之间有密切的联系。
作品欣赏
这是一个工件的立体图，设计师们常常画出不同方向看它得到的平面图形来表示它。
我们从不同的方向观察同一个物体时
,
可能看到不同的图形
.
为了能完整确切地表达物体的形状和大小
,
必须从多方面观察物体
.
在几何中
,
我们通常选择从
正面、上面、左面三个方向
观察物体。
这样就把一个
立体图形
用几个
平面图形
来描述。
我们把从正面看到的图形叫做
主视图
,
从左面看到的图形叫
左视图
,
从上面看到的图形叫做
俯视图
.
主视图
,
左视图
,
俯视图
合称
三视图
.
正方体
圆柱
四棱锥
主视图
左视图
俯视图
说出圆锥、球的三视图分别是什么图形
.
圆锥
球
主视方向
主视图
左视图
俯视图
一个长方体的立体图如图
,
请画它的三视图
.
解
:
所求三视图如图
注意：要写上各视图的名称
由
5
个相同的小立方块搭成的几何体如图
,
请画出它的三视图。
左视图
俯视图
主视图
解
:
所求三视图如图
主视方向
分别从正面、左面、上面观察这个图形，分别能得到什么平面图形？
从正面看
从左面看
从上面看
A
C
B
D
侧视图
正视图
俯视图
下面三视图是表示哪个几何体？
侧视图
正视图
俯视图
A
B
思考：
下图中的三视图表示哪个几何体？
1
、观察实物、欣赏图片，你认为设计制作一个包装盒需要了解什么？
2
、自己动手把一个包装盒剪开铺平，看看它的展开图由哪些平面图形组成？再把展开的纸板复原为包装盒，体会包装盒与它的展开图的关系。
用它们能围成什么样的立体图形？先想一想
,
再折一折。
展开
圆柱
展开
长方体
展开
棱柱
展开
圆锥
三棱柱
正方体
长方体
四棱锥
三棱柱
下列图形是哪些多面体的展开图？
第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。
2
6
4
5
3
1
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。
结果: 共有 种情况
11
你
太
棒
了
！
们
考考你
棒
KEY
:
1
、
如果“你”在前面，那么谁在后面？
利
胜
持
是
就
坚
2
、“
坚
”在下，“
就
”在后，
“
胜
”与“
利
”
分别
在哪里？
“胜”在上，
“利”在前！
第
4
章 图形的认识
4.2 线段、射线、直线
4.2
线段
、射线、
直线
生活中有很多物体给我们以直线、射线、线段的形象。
观察
绷紧的琴弦都可以近似地看做线段。
探照灯的灯光给我们以射线的形象。
细心的你还能发现生活中有哪些物体可以近似地看作线段、射线和直线？
向两个方向无限延伸的铁轨给我们以直线的形象。
你发现直线、射线、线段有什么联系吗？又有什么区别呢？
发现
已知线段
AB
，你能由线段
AB
得到射线
AB
和直线
AB
吗？
A
B
线段AB
直线AB
射线AB
线段和射线都是直线的一部分
.
（
1
）经过一点
O
可以画几条直线？
（
2
）经过两点
A
，
B
可以画直线吗
？
可
以画几条？
画一画
·
A
·
Ｂ
经过一点可以画无数条直线
经过两点能画直线，只能画一条。
点与直线的位置关系
点
A
在直线
a
外
点B在直线
a
上
点C在直线
a
外
a
A
B
C
直线
a
经过点 B
直线
a
不经过点 A
直线
a
不经过点 C
如果你想将一根小木条固定在木板上，至少需要几个钉子？
做一做
如果将细木条抽象成直线，将钉子抽象为点,你可以得出什么结论？
经过两点有一条直线,并且只有一条直线。
直线的性质
1.建筑工人在砌墙的时候经常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根参照线，这根参照线就是直的。这其中的
道理是：
。
经过两点有且只有一条直线
2. 每年的3月
12
日是植树节，你用什么方法可以使植的树在一条直线上？
平面上有
A
，
B
，
C
三个点，过其中的任意两点作直线，小敏说能作三条；小聪说只能作一条；小真说都有可能；你认为他们三人谁的说法对？
(1)
可以画
三条
直线
(2)
只能画
一条
直线
A
B
C
A
B
C
如果平面上有四个点，过其中的每两个点画直线，又可以画几条？
能画
六条
直线
能画
四条
直线
只能画
一条
直线
类型
端点
延伸方向
可不可以测量
线段
有2
个端点
不向任何一方延伸
可
测
量
射线
有1
个端点
向
一个方向无限
延伸
不可
测
量
直线
无
端点
向
两个方向无限
延伸
不可
测
量
区别
O
A
B
表示
：线段 AB(或线段BA)
a
表示：
线段
a
A
表示：
射线 OA
A
B
表示
:
直线 AB(或直线BA)
l
表示：
直线
l
表示:
射线
b
线段、射线、直线的表示方法。
b
C
线段：
①用两个端点的字母来表示,无先后顺序.
②用一个小写字母表示.
射线：
① 用端点及射线上一点来表示，注意端点
的字母写在前面.
②用一个小写字母表示.
直线：
①用直线上两个点来表示,无先后顺序.
②用一个小写字母来表示.
请用两种方式表示图中的两条直线。
A
B
O
m
n
第一种：直线 AO，直线 BO
第二种：直线 m，直线 n
指出下图中
线段
、
射线
、
直线
分别有多少条？
A
B
C
答：
有3条线段，分别是线段 AB，线段 AC，线段 BC。
有6条射线。
只有一条直线，是直线 AB或直线 BC或直线AC。
第
4
章 图形的认识
4.3
角
观察下面实物，你发现这些实物
中有什么相同图形吗
？
角是由有
公共端点
的
两条射线
组成的图形。
顶点
射线
射线
边
边
角的定义（
1
）
角的四种表示方法
:
1、用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定写在中间;
2、用一个顶点的字母来表示,但必须是以这个点为顶点的角只有一个;
3、用希腊字母表示,并在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母;
4
、
用一个数字表示
,
在靠近顶点处画上弧线
,
写上数字
.
C
A
B
角也可以看做一条射线绕端点旋转所形成的图形。
角的内部
角的定义（
1
）
O
A
B
如果一个角的终边继续旋转，旋转到与始边成一条直线时，所成的角叫做
.
平角
B
平角
O
A
（
B
）
当终边旋转到与始边重合时，所成的角叫做
.
周角
周角
角的度量单位：
度，分，秒
1°=60 ′=3600 ″
1°的60分之一为1分，记作“1′”，即1°＝60′
1′的60分之一为1秒，记作“1″”，即1′＝60″
角的度量工具：
量角器
以度，分，秒为单位的角的度量制叫做角度制。
2 角的比较和运算
45°
60°
A
o
B
D
E
F
度量法
所以:
∠
AOB＜
∠
DEF
读数为45
读数为60
（ ）
（ ）
（ ）
若ED与BA重合，则∠DEF ＝∠ABC。
把∠DEF移动，使它的顶点E和∠ABC的顶点B重合，一边EF和BC重合，另一边ED和BA落在BC的同旁。
A
B
C
D
E
F
比较∠ABC 和 ∠DEF的大小
O
A
C
B
思考：下图中共有几个角？它们有什么关系？
解答下列问题：
1、图中共有＿＿个角
2、∠AOB＝＿＿＿＿+＿＿＿＿＿
3、∠AOC＝＿＿＿＿－＿＿＿＿＿
4、∠BOC＝＿＿＿＿－＿＿＿＿＿
3
∠AOC ∠BOC
∠AOB ∠BOC
∠AOB ∠AOC
１５°
75°
实践活动：
借助一副三角尺，大家都能画出哪些度数的角？
角的平分线：
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ｃ
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个
角的平分线
。
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ｃ
问题：已知射线OC是∠AOB的角平分线，你能写出图中各角的关系吗？
OC是∠AOB
的二等分线
∠AOC
=∠B
O
C=
∠AOB
类似地：还有角的三等分线 ，如图
O
A
B
C
D
⌒
⌒
⌒
1
2
3
OB，OC是∠AOD的三等分线
3 余角和补角
1
2
比萨斜塔
互为余角
(
互余
):
如果
两个角
的和是
90°(
直角
)
，那么这两个角叫做
互为
余角，其中一个角是另一个角的余角。
∠1，
∠
2
互为余角
即：∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角
1
3
比萨斜塔
互为补角(互补):
如果
两个角
的和是180°(平角)，那么这两个角叫做
互为
补角，其中一个角是另一个角的补角。
∠1，
∠
3
互为补角
即：∠1是∠3的补角或∠3是∠1的补角
.
∠
α
∠
α
的余角
∠
α
的补角
5
°
85°
175°
32
°
58°
148°
45
°
45°
135°
77
°
13°
103°
x
°
90°
-
x
°
180°
-
x
°
同一个锐角的补角比它的余角大
90°
互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关。
如图∠
1
与∠
2
互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠
1
＝∠３
,
那么∠
2
与∠４相等吗？为什么
？
1
2
4
3
补角性质：
等角的补角相等
因为∠1 =∠3，
所以180°－∠1 = 180°－ ∠3，
即∠2 =∠4。
（这里用到了：
等量减等量，差相等）
所以∠2=180°－∠1 ，∠4=180°－ ∠3。
解：因为
∠
1 +∠2=180°
，
∠3 +∠4=180°，
如图
∠
1
与
∠
2
互余，
∠
３ 与
∠
４互余 ，如果
∠
1
＝
∠
３，那么
∠
2
与
∠
４相等吗？为什么？
1
2
3
4
余角性质：
等角的余角相等
如图，点A,O,B在同 一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：
因为点A,O,B在同一条直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角。又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，
∠COD和∠BOE也互为余角。
东
西
北
南
O
（
1
）正东，正南，正西，正北
（
2
）西北方向
:________
西南方向
:________
东南方向
:________
东北方向
:________
射线
OA
A
B
C
D
OB
OC
OD
45°
射线
OE
射线
OF
射线
OG
射线
OH
E
G
F
H
45°
45°
45°
O
北
南
西
东
（
3
）南偏西
25°
25°
北偏西70°
南偏东
60°
A
B
C
射线
OA
射线 OB
射线
OC
70°
60°
甲地
乙地
乙地
对
甲地的方
位角
1. 先找出中心点,
再
画出方向指标
2. 把中心点和目的地用线连接起來
3.
测
量向北的
射线
和
蓝
色
线
之
间
的角度
北
甲地
乙地
甲地对乙地的方位角
1. 先找出中心点,
再
画出方向指标
2. 把中心点和目的地用线连接起來
南
3.
测
量向南的射线和蓝色线之间的角度
例
4:
如图
.
货轮
O
在航行过程中
,
发现灯塔
A
在它南偏东
60°的
方向上
,
同时
,
在它北偏东
40°,
南偏西
10°,
西北
(
即北偏西
O
●
东
南
西
北
●
A
60°
●
B
●
D
C
●
40°
10°
45°
45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法,画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线.
所以
:
射线
OA
的方向就是南偏东
60°
，即灯塔
A
所在的方向。
射线
OB
的方向就是北偏东
40°
，即客轮
B
所在的方向。
射线
OC
的方向就是南偏西
10°
，即货轮
C
所在的方向。
射线
OD
的方向就是南偏西
45°
，即海岛
D
所在的方向。
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