资料简介
第
4
章 一元二次方程
4.1
一元二次方程
4.1
一元二次方程
1、什么叫方程？什么叫方程的解？我们学了哪些方程？
2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?
知识回顾
重点：
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念
.
难点
：
尝试的方法求简单的二元一次方程的解
.
重
、
难点
新课引入
问题一
如图所示，某住宅小区内有一栋旧建筑，占地
为边
长为35 m的正方形.现打算拆除建筑并在其正中间铺上一面积为900 m
2
的正方形草坪，使四周留出的人行道的宽度相等，问人行道的宽度为多少米？
35cm
35cm
x
x
x
x
解：
设人行道的宽度为
x
m
，则草坪的边长为
m
.
35
-
2
x
根据题意，列出方程
(
35
-
2
x
)
2
= 900
把方程通过移项，写成
(
35
-
2
x
)
2
-
900 =0
即
4
x
2
-140
x
+325=0
问题二
据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆 . 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率
x
应满足的方程
。
分析：
问题涉及的等量关系是：
两年后的汽车拥有量
=
前年的汽车拥有量
×
（1+年平均增长率）
2
.
解：
该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为
x
.
根据等量关系，可以列出方程
化简，整理得
上述两个方程有什么共同特点？
如果一个方程通过整理可以使右边为
0
，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做
一元二次方程
，它的一般形式是：
4
x
2
-140
x
+325=0
ax
2
+
bx
+
c
=0（
a
，
b
，
c
是已知数
，
a
≠0），
其中
a
，
b
，
c
分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
例：
下列方程是否为一元二次方程，若是，指出其二次项系数、一次项系数和常数项。
3x(1-x)+10=2(x+2)
解：
去括号，得：
整理，得：
3x-3x
2
+10=2x+4
-3x
2
+x+6=0
可以写成
：
3x
2
-x-6=0
二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6。
例：
已知关于
x
的一元二次方程
x
2
+
ax
+
a
=0
的一个根是
3
，求
a
的值
.
解：
由题意得
把
x
=3
代入方程
x
2
+ax+a=0
得，
3
2
+3
a
+
a
=0
9+4
a
=0
4
a
=
-9
1
.关于x的方程(k－3)x
2
＋
2x－1＝0,当
k
时，是一元二次方程．
≠3
2
.一元二次方程(2x＋1)(x－2)＝5－3x的二次项系数、一次项系数及常数项之和为______．
－
5
课堂练习
3.
已知关于
x
的方程
(
k
2
－
1)
x
2
＋
(
k
＋
1)
x
－
2
＝
0.
(1)
当
k
取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根；
(2)
当
k
取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
1.
了解
一元二次方程的概念和一般形式
.
2.
会判别一元二次方程的二次项系数
,
一次项系数和常数项
.
3.
注意
:
一元二次方程的二次项系数不能为零
.
课堂小结
第
4
章 一元二次方程
4.2
用配方法解一元二次方程
用配方法求解一元二次方程
开心练一练：
(1)
(2)
2、下列方程能用直接开平方法来解吗?
1
、
用直接开平方法解下列方程
:
静心想一想：
(1)
(2)
(3)
能否把
(3)
转化成
(x+b)
2
=a(a≥0)
的
形式呢
?
(1)
(2)
(3)
=( + )
2
=(
)
2
=(
)
2
左边
:
所填常数等于一次项系数一半的平方
.
右边
:
所填常数等于一次项系数的一半
.
填上适当的数或式,使下列各等式成立.
大胆试一试：
共同点：
( )
2
=(
)
2
(4)
观察
(1)(2)
看所填的常数与一次项系数之间有什么关系
?
(1)(2)
的结论适合于
(3)
吗
?
适用于
(4)
吗
?
现在你会解方程 吗
?
把常数项移到方程右边得：
两边同加上 得
：
即
两边直接开平方得：
解:
∴原方程的解为
如何配方
?
例
1:
用配方法解方程
解
:
配方得：
开平方得：
移项得：
∴原方程的解为：
一次项系数变为负又如何配方呢
?
例
2:
你能用配方法解方程
吗？
解
:
配方得
：
开平方得：
移项得：
∴
原方程的解为：
化二次项系数为
1
得
：
想一想用配方法
解一元二次方程
一般有哪些步骤?
1
、用配方法解下列方程
:
2
、用配方法将下列式子化a(x+h)
2
+k的形式。
(1)x
2
+8x-15=0
(2)x
2
-5x-6=0
(3)2x
2
-5x-6=0
(4)
x
2
+px+q=0(p
2
-4q
＞
0)
(3)
-3
x
2
-2x+1
(2) x
2
-x+1
(1) y
2
+y-2
（2）移项
（3）配方
（4）开平方
（5）写出方程的解
2
、用
配方法
解一元二次方程
ax
2
+bx+c=0(a≠0)
的
步骤
：
1
、
配方法：
通过配方
,
将方程的左边化成一个含未
知数的
完全平方式
,
右边是一个
非负常数
,
运用直接开平方求出方程的解的方法。
(1)
化二次项系数为
1
小结
第
4
章 一元二次方程
4.3
用公式法解一元二次方程
公式法是这样
产
生的
你能用配方法解方程
ax
2
+bx+c=0(a
≠0)
吗
?
1.
化
1:
把二次项系数化为
1;
3.
配方
:
方程两边都加上一次项系数
绝对值
一半的平方
;
4.
变
形
:
方程左分解因式
,
右边合并同类
;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.
求解:解一元一次方程
;
7.
定
解
:
写出原方程的解
.
2.
移
项
:
把常数项移到方程的右边
;
一般地,对于一元二次方程
ax
2
+bx+c=0(a≠0)
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式
.
用求根公式解一元二次方程的方法称为
公式法
老师提示用
公式法
解一元二次方程的
前提
是
:
1.
必需是一般形式的一元二次方程
:
ax
2
+bx+c=0(a≠0).
2.b
2
-4ac≥0.
当 时，方程有实数根吗？
例
1
、用公式法解方程
5x
2
-4x-12=0
1.
变形
:
化已知方程为一般形式
;
3.
计算
:
b
2
-4ac
的值
;
4.
代入
:
把有关数值代入公式计算
;
5.
定根
:
写出原方程的根
.
2.
确定系数
:
用
a, b,c
写出各项系数
;
例
2.
用公式法解方程
2x
2
+5x-3=0
解
: a=2 b=5 c= -3
∴ b
2
-4ac=5
2
-4×2×(-3)=49
即
x
1
= - 3 x
2
=
求根公式
:
X=
(
a≠0,
b
2
-4ac≥0
)
解：
a=
，
b=
，
c =
. b
2
-4ac=
=
.
x=
=
=
.
即
x
1
= , x
2
= .
（口答）填空：用公式法解方程
2x
2
+x-6=0
2
1
-6
1
2
-4×2×(-6)
49
-2
求根公式
:
X=
(
a≠0,
b
2
-4ac≥0
)
a=
，
b=
，
c =
. b
2
-4ac=
=
.
x=
=
=
.
即
x
1
= , x
2
= .
例
3
：用公式法解方程
x
2
+4x=2
1
4
-2
4
2
-4×1×(-2)
24
解：移项，得
x
2
+4x-2=0
这里的
a
、
b
、
c
的值是什么？
3
、代入
求根公式
:
X=
(a≠0,
b
2
-4ac≥0
)
1
、把方程化成一般形式
,
并写出
a
，
b
，
c
的值。
2
、求出
b
2
-4ac
的值。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
4
、写出方程的解：
x
1
=?, x
2
=?
例
4
解方程：
解
：
结论：当
时，一元二次方程有两个
相等的实数根
.
思考题：
1
、关于
x
的一元二次方程
ax
2
+bx+c=0
(a≠0)
。
当
a
，
b
，
c
满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
2
、
m
取什么值时，方程
x
2
+(2m+1)x+m
2
-4=0
有两个相等的实数解
关于一元二次方程
，当
a
，
b
，
c
满足什么条件时，方程的两根互
为相反数？
解：
一元二次方程
的解为：
解：
已知方程
求
c
和
x
的值
.
小结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤：
３
.
最后代入公式
当
时，有两个实数根
当
时，方程无实数解
１
.
先
写出
a
，
b
，
c
２
.
再求出
第
4
章 一元二次方程
2.4
用因式分解法解一元二次方程
教学目标
1、熟练掌握用因式分解法解一元二次方程。
2
、通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化的思想。
重点 难点
重点：用因式分解法解一元二次方程
难点：正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0（ A、B表示两个因式）
用因式分解法求解一元二次方程
自学检测题
1
、 什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解？
2
、用因式分解法解一元二次方程，其关键是什么？
3
、用因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么
?
4
、用因式分解法解一元二方程，必须要先化成一般形式吗？
因式分解主要方法
:
(1)
提取公因式法
(2)
公式法
:
a
2
－
b
2
=(a+b) (a
－
b)
a
2
±2ab+b
2
=(a±b)
2
因式分解法
解方程
4x
2
=9
解：移项，得
利用平方差公式分解因式，得
可得
所以，原方程的根是
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。它的基本步骤是：
(1)
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
(2)
将方程的左边分解因式；
(3)
根据若
A
·
B=0,
则
A=0
或
B=0,
将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。
填空
：
（
1
）方程
x
2
+x=0
的根是
；
（
2
）
x
2
－
25=0
的根是
。
X
1
=0,
x
2
=-1
X
1
=5, x
2
=-5
例
1
解下列一元二次方程：
(3x
－
4)
2
=(4x
－
3)
2
.
解
:
移项，得 （
3x-4)
2-
(4x-3)
2
=0.
将方程的左边分解因式，得
[(3x-4)+(4x-3)][(3x-4)-(4x-3)]=0,
即
(7x-7) (-x-1)=0.
∴7x-7=0,
或
-x-1=0.
∴x
1
=1, x
2
=-1
(1) 4x
2
=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6;
(3) x
2
+9=-6x ; (4) 9x
2
=(x
-
1)
2
(5)
用因式分解法解下列方程
：
练一练
1.
解方程
x
2
－
2√3x=-3
2.
若一个数的平方等于这个数本身
,
你能求出这个数吗
(
要求列出一元二次方程求解
)?
注意：当方程的一边为
0
时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便
.
练一练
因式分解法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程变形，使方程的右边为零；
（2）将方程的左边因式分解；
（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二
次方程转化为解两个一元一次方程。
能用因式分解法解一元二次方程遇到类似例
1
这样的，移项后能直接因式分解就直接因式分解，否则移项后先化成一般式再因式分解
.
课堂小结
第
4
章 一元二次方程
4.5
一元二次方程根的判别式
4.5
一元二次方程根的判别式
教学目标
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；
2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；
3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的范围.
新课引入
我们在运用公式法求解一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
= 0 (
a
≠0)
时，总是要求
b
2
-4
ac
≥0.
这是为什么？
把方程
ax
2
+
bx
+
c
= 0(
a
≠0)
配方后得到：
由于
a
≠0
，所以 ＞
0
，因此我们不难发现：
此时，原方程有两个不相等的实数根.
（
1
）
当 时，
由于正数有两个平方根，所以原方程的根为
此时，原方程有两个相等的实数根
.
当 时，
（
2
）
由于
0
的平方根为
0
，所以原方程的根为
由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方程没有实数根
.
当 时，
（
3
）
我们把 叫作一元二次方程
的根的判别式，记作“
Δ
”
即
Δ=
ax
2
+
bx
+
c
= 0
(
a
≠0
)
综上可知，我们不难发现一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
= 0
(
a
≠0
)
的根的情况可由
Δ=
来判断
.
当
Δ > 0
时，
原方程有两个不相等的实数根
，其根为
当
Δ = 0
时，
原方程有两个相等的实数根
，其根为
当
Δ < 0
时，
原方程没有实数根
.
例题：
已知关于
x
的方程
x
2
－
2(
k
＋
1)
x
＋
k
2
＝
0
有两个不相等的实数根．
(1)
求
k
的取值范围；
(2)
求证：
x
＝－
1
不可能是此方程的实数根．
(2)
证明：若
x
＝－
1
是方程
x
2
－
2(k
＋
1)x
＋
k
2
＝
0
的实数根，则有
(
－
1)
2
＋
2(k
＋
1)
＋
k
2
＝
0
，即
k
2
＋
2k
＋
3
＝
0.∵Δ
＝
b
2
－
4ac
＝－
8
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