资料简介
第
2
章 有理数
2.1
有理数
2.1
有理数
学过的数
:
古代猎人打了一只老鹰，用数如何表示一只老鹰
——
有了整数
二人分一只西瓜，用数如何表示半只西瓜
——
有了分数
货币购物，用数如何表示
10
元
5
角
3
分
——
有了小数
瓦罐没有东西了
——
有了
0
零上
5ºC
零下
5ºC
用小学学过的数能表示下列数吗？
0
用小学学过的数能表示下列数吗？
1
．会判断一个数是正数还是负数，能用正、负数表示具有相反意义的量。
2
．理解有理数的意义，会将有理数正确分类。
学习目标
1
、阅读教材内容，思考：正数与负数是怎样产生的？它们在生活中有何作用？你能举例说一说吗？
（
1
）生活中具有相反意义的量
如：运进
5
吨与运出
3
吨；上升
7
米与下降
8
米；向东
50
米与向西
47
米等都是生活中遇到的具有相反意义的量
.
请你也举一个具有相反意义量的例子：
_______________________________.
（
2
）负数的产生同样是生活和生产的需要
.
探究点一：正数与负数的意义
【展示点评】
用正数和负数如何表示具有相反意义的量，关键是看规定哪种意义的量为正，则与之相反意义的量为负
.
2
、用正数和负数表示具有相反意义的量
观察下面给出的每一对数量，指出各对数量有什么共同特点
.
⑴
零上
3℃
和零下
12℃
；
⑵
收入
800
元和支出
500
元；
⑶
增加
5kg
和减少
2kg
；
⑷
水位升高
0.5m
和降低
1.3m
通过观察，发现这里给出的每一对数量，都有一个共同的特点：
每个语句中都含有一对具有相反意义的量：如
“
零上
”
和
“
”
、
“
收入
”
和
“
”
、
“
增加
”
和
“
”
、
“
升高
”
和
“
”
.
【反思小结】
一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，如下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的
.
正的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个
“
+”
（读作正），如前面的
5
、
7
、
50
；负的量用小学学过的数前面放上
“
-”
（读作负）来表示，如上面的－
3
、－
8
、－
47.
1
、
阅读教材，思考：什么样的数是正数？负数呢？
0
是正数吗？
0
是负数吗？什么样的数是有理数？如何对有理数进行分类？
探究点二：有理数的概念及其分类
【
展示点评
】
正数和负数的概念：
⑴
像
5
，
1.2
，
，
……
这样的数叫做
，它们都比
____
大；
⑵
在正数前面加上
“
-
”
的数叫做
，如－
10
，－
3
等，它们都比
__
小；
⑶0
既不是
，也不是
.0
是
_______
和
________
的分界点，
0
是
____
数，也是
____
数，也是
____
数
.
有理数的概念：
整数与分数统称为
有理数
.
有理数的判断方法：
①
正整数、
0
、负整数都是有理数
.②
正分数和负分数都是有理数
.
2
、
理解正数和负数时，有什么要注意的问题？对有理数进行分类有哪些标准？如何分？
【反思小结】
理解正数和负数时，
①
对于正数和负数的意义，不能简单地理解为带
“
＋
”
号的数是正数，带
“
－
”
号的数是负数
.②
负数是在正数前面加上一个
“
－
”
号，如－
5
，－
(
＋
7)
等都是负数，负数中的
“
－
”
号不能省略，如－
5
省略
“
－
”
号就是
5
，变成
正数
了
.③0
：
0
既不是正数也不是负数
.
有理数可以怎样分类呢？
有
理
数
整数
分数
正整数
零
负整数
正分数
负分数
有理数
正有理数
零
负有理数
正整数
正分数
负整数
负分数
如果按性质（正数、负数）来分类，又该怎样来分呢？
把下列各数填入它所属于的集合的圈内
:
15,
，
, -5, , 0.1, -5.32 , -80, 123, + 2.33
正数集合
正分数集合
整数集合
负分数集合
…
…
…
…
在下表适当的空格里画上“√”号
有理数
整数
分数
正整数
负分数
自然数
-9
-2.35
0
+5
第
2
章 有理数
2.2
数轴
2.2
数轴
℃
℃
℃
5
0
-10
请读出下面温度计所表示的温度
在一条东西向的马路上
,
有一个汽车站
,
汽车站东
3m
和
7.5m
处分别有一棵柳树和一棵杨树
,
汽车站西
3m
和
4.8m
处分别有一棵槐树和一根电线杆
,
试画图表示这一情境
.
3
7.5
-
3
-
4.8
东
西
汽车站
柳树
杨树
槐树
电线杆
0
怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系
(
方向、距离
) ?
由上述两问题得到什么启发？你能用一条直线上的点表示有理数吗
?
用射线上的点表示有理数
必须在直线上先确定零点
还需要正方向以及像温度计刻度一样的单位长度
有理数是无限的,应该采用直线
0
1
2
3
-1
-2
-3
(1)
取原点
(origin)
(2)
规定正方向
,
通常取向右为正方向
(3)
选取适当的长度为单位长度
规定了原点、
单位长度和
正方向的直线叫做数轴
。
1
2
3
-1
-2
-3
-4
4
-1.5
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
1.
在数轴上表示下列各数
+3
，
-4
，
-1.5
，
0
3
-4
0
0
0
1
2
3
-1
-2
A
D
C
B
解：
点
A
表示
-2
；
点
B
表示
2
；
点
D
表示
-1
。
点
C
表示
0
；
2.
指出数轴上
A
，
B
，
C
，
D
各点分别表示什么数。
情境导航中，按顺序写出各城市当天的最低气温是：
-8,
-19,
-2,
0,
-6,
-13,
7,
10,
-5,
15
-19,
-13,
-8,
-5,
-2,
0,
7,
10,
15
-6,
将这些气温按从低到高的顺序排列起来，依次是：
观察数轴，回答问题
1.
数轴上的两个点，右边的点表示的数与左边的点表示的数有怎样的大小关系？
2.
正数、负数在数轴的什么位置？判断它们的大小？
0
1
2
3
-
1
-
2
-
3
0
1
2
3
-
1
-
2
-
3
在数轴上，右边的点
所表示的数
比左边的点所表示的数大。
正数大于
0
，负数小于
0
，正数大于一切负数。
越 来 越 大
发现规律：
基础知识
:
掌握了数轴的画法，会用数轴上的点表示有理数。
利用数轴比较有理数的大小
思想方法
：数形结合思想
这节课有什么收获？
1
、
(1)
点
A
在数轴上距原点
3
个单位长度，且位于原点左侧，若将
A
向右移动
4
个单位长度，在向左移动
1
个单位长度，此时
A
点所表示的是什么数
?
(2)B
点所表示的数是
A
点开始时所表示数的相反数做同样的移动以后，
B
点表示什么数
?
练习
第
2
章 有理数
2.3
相反数与绝对值
2.3
相反数与绝对值（
1
）
填空：
数轴上与原点的距离是
2
的点有
____
个，这些点表示的数是
；与原点的距离是
5
的点有
个，这些点表示的数是
.
2
+2
，
-2
+5
，
-5
2
观察这两个数，有什么相同和不同？
数字相同
符号不同
一般地，设
a
是一个正数，数轴上与原点的距离是
a
的点有两个，它们分别在原点左右，表示
a
和
-a
，我
们就说这两点关于原点对称
.
0
-a
a
-5
-2
2
5
像
2
和
-2
，
5
和
-5
等这样，只有符号不同的两个数叫做互为
相反数
.
特别地，
0
的相反数是
0.
解
:
+5
的相反数是
-5.
-7
的相反数是
7.
的相反数是
11.2
的相反数是
-11.2.
【
例
1】
分别写出下列各数的相反数：
+5
，
-7
， ，
11.2.
通过刚才的例题，你能总结出如何求一个数的相反数吗？
我们通常在一个数的前面添上“
-”
号
,
表示这个数的相反数
.
例如
-(-4)=4,-(+5.5)=-5.5,-0=0.
同样
,
在一个数的前面添上“
+”
号
,
仍表示这个数本身
.
例如
+(-4)=-4,+(+12)=12,+0=0.
1.
求下列各数的相反数：
(1)-5 (2) (3)0 (4) (5)-2b
(6)a-b (7)a+2
【
解析
】
它们的相反数分别是：
(1)5 (2)- (3)0 (4)
(5)2b (6)-(a-b) (7)-(a+2)
【
跟踪训练
】
【
例
2】
化简：
-
（
-2.5
），
-
（
+3
），
+
（
-0.7
）
解：
-
（
-2.5
）
=2.5
-
（
+3
）
=-3
+
（
-0.7
）
=-0.7
【
例题
】
化简下列各数：
(1)+(-10.1);(2)-(-16);(3)+(-12);(4)+(-0).
解
:
(1)-10.1 . (2)16 . (3)-12 . (4)0.
【
跟踪训练
】
1.
填空题
(1)2.5
的相反数是
_____; (2)_____
是
-100
的相反数；
(3)
是
_____
的相反数
;(4)_____
的相反数是
-1.1;
(5)8.2
和
______
互为相反数
.
2.
回答下列问题
: (1)
什么数的相反数大于本身
? (2)
什么数的相反数等于本身
? (3)
什么数的相反数小于本身
?
-2.5
100
1.1
-8.2
负数
0
正数
3.
（青岛
·
中考）下列各数中，相反数等于
5
的数是
（ ）
A.
－
5 B.5 C
．
D
．
【
解析
】
选
A.-5
与
5
只有符号不同
.
4.
（南充
·
中考）计算－（－
5
）的结果是（ ）
A.5
B.
－
5
C.
D.
【
解析
】
选
A.-5
的相反数是
5.
相反数
相反数的代数意义
相反数的几何意义
相反数的表示方法
相反数的意义
相反数的应用
—
利用相反数化简双重符号
只要一门科学分支能提出大量的问题
,
它就充满着生命力
,
而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡
.
——
希尔伯特
2.3
相反数与绝对值（
2
）
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
大象距原点多远?
两只小狗分别距原点多远
?
例如：大象在数轴上
+4
点，距离原点
4
个单位长度，
即
+4
的绝对值等于
4
。
0
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
B
A
│
－５
│
＝５
│
４
│
＝４
在数轴上，表示一个数
a
的点与原点的距离叫做这个数的
绝对值
.
用“
| |”
表示
,
记作
|
a
|
（这里的数
a
可以是正数、负数和
0
）
如果一个数为
-5
，那么它的绝对值呢
?
绝对值：
求下列各组相反数的绝对值。
(1)9,-9;(2)0.6,-0.6;(3) 。
解
:
（
1
）
|9|=9 | -9 |= 9
（
2
）
|0.6|=0.6 |-0.6|=0.6
| |= |
-
|=
（
3
）
例
1.
|
－
4|=4
|
－
2|=2
|0|=0
|2|=2
|4|=4
观察数轴上的点所对应的数，它们的绝对值分别是多少？一个数的绝对值与它们本身又有什么关系呢？
0
2
4
－
2
－
4
6
－
6
A
B
C
D
E
1.
正数的绝对值是它本身
;
2.
负数的绝对值是它的相反数
;
3.0
的绝对值是
0.
性质
因为正数可用
a
＞
0
表示，负数可用
a
＜
0
表示，所以上述三条可表述成：
(3)
如果
a
＝
0
，那么
|a|
＝
______
(2)
如果
a
＜
0
，那么
|a|
＝
______
(1)
如果
a
＞
0
，那么
|a|
＝
______
a
-
a
0
(1)
绝对值小于
3
的整数有几个？各是什么？
(2)
绝对值是
0
的数有几个？它是什么？
(3)
是否存在绝对值是－
2
的数？若存在，请说出来？
绝对值小于
3
的整数一共有
5
个，它们分别是－
2
，－
1
，
0
，
1
，
2
。
绝对值是0的数有一个，就是0。
没有绝对值是－2的数。因为
0
a
≥
∣
∣
互为相反数的两个数的绝对值有什么关系
?
0
-4
-3
-2
-1
3
2
1
原点
-
3
到原点的距离是
3
+
3
到原点的距离是
3
互为相反数的两个数的绝对值相等
.
＜
＞
＞
＞
比较两个负数的大小
两个负数，绝对值大 负数反而小。
1.
判断：
(1)
若一个数的绝对值是
2
，则这个数是
2.
(2)|5|
＝
|
－
5|.
(3)|
－
0.3|
＝
|0.3|.
(4)|3|
＞
0.
(5)|
－
1.4|
＞
0.
(6)
有理数的绝对值一定是正数
.
(7)
若
a
＝
b
，则
|a|
＝
|b|.
(8)
若
|a|
＝
|b|
，则
a
＝
b.
(9)
若
|a|
＝－
a
，则
a
必为负数
.
(10)
互为相反数的两个数的绝对值相等
.
(1)
若一个数的绝对值是
7
，则这个数是
______.
(2)
满足
︱x︱≤3
的所有整数是
.
(3)
绝对值大于
2
并且不大于
5
的负整数有
________
.
(4)
如果
,
那么
a=_____,b=_____.
(5)
若
x
＝
30
，
y
＝
-
４，则
.
2.
填空
±7
±3
，
±2
，
±1
，
0
-3
，
-4
，
-5
0
1
42
3.
(1)在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小.
-1.5 ， -3 ， -1
，
-5 ;
0
1
3
2
-3
-1
-2
(2)求出（1）中各数的绝对值，并比较绝对值的大小.
(3)完成(1)(2)你发现了什么？
-4
-5
-1
-1.5
-3
-5
|
-3
|=
3,
|
-1.5
|=
1.5,
解：
-5
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