资料简介
第四章 整式的加减
4.1 整式
（第
1
课时）
(4)
若
m
表示一个有理数，则它的
3
倍是
；
(2)
买一本笔记本
0.5
元，买
n
本的价钱是
；
用字母表示下列数量关系：
(1)
若正方形的边长为
a
，则正方形的面积是
；
0.5
n
3
m
(3)
若
x
表示正方
体的
棱长，则正方体的表面积是
；
1.
小亮家的电冰箱平均每天耗电量为
m
千瓦时，
那么
n
天耗电量为
_______
千瓦时
.
活动一
学习新知
2.
某物品包装箱的形状是长方体，如果包装箱
的宽和高都是
a
cm
，长是
b
cm
，那么它的体
积是
_________
立方厘米
.
mn
3.
一个两位数，个数数字是
x
，十位数字是
y
，
这个两位数可表示为
____
____
_
，如果个
位
数
字与十位数字交换位置，所得的两位数可表
示为
____________.
10
y+x
10
x+y
4.
为了保护环境，促进生态平衡，某地计划逐
年
增加植树造林的面积
.
如果第一年植树造林
a
公
顷，第二年比第一年增加了
10%
，那么第
二年
比第一年的植树造林的面积增加了
___
公
顷
.
10%
a
5.
如图，在边长为
a
的正方形内，挖去一个底为
b
，高为
的
三角形，则剩下部分的面积为
___________.
观察思考
：
观察
下
面得到的代数式
，并
尝试按照运算分类
活动二
知识拓展
（
1
）
判断一个式子是否
为
单项式的方法，一是必须是乘积的形式，也就是除乘号外没有其他符号；二是这个式子的分母是否含有字母，不含有字母的才是单项式
.
（
2
）
是单项式，表示一个具体的数，而不是字母，故出现在分母上可以成为单项式
.
（
3
）
单项式的概念
：
由数与字母
(
或字母与字母
)
相乘组成的代数式，我们把这样的代数式叫做单项式
.
（
4
）
单项式的系数和次数
：
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
.
强调：单个字母的指数是
1
，而不是
0.
例
：
用代数式表示，并指出它们的系数和次数
.
⑴某商店
8
月份营业额为
m
万元，
9
月份营业额比
8
月份增加了
25%.9
月份的营业额为多少万元？
活动三
9
月份的营业额为（
1+25%
）
m
它的系数是
1+25%
，次数是
1.
0.9
ab
⑵某品牌汽车原价为
a
元
/
辆，现按九折出售
.
如果一周内销售了这种汽车
b
辆，那么这周的销售额为多少元？
它的系数是
0.9
，次数是
2
abh
⑶一个长方体形状的零件，它的底边长分别为
a
cm
和
b
cm
，高是
h
cm
，这个零件的体积是多少立方厘米？
它的系数是
1
，次数是
3.
课堂小结
1.
单项式的概念：单项式是数与字母（或字母与字母）相乘组成的代数式
.
注意：单项式中数与字母或字母与字母之间都是乘积关系，单项式只含有乘法和以数字为除法的除法运算，不能含有加减运算，更不能含有以字母为除法的除法运算
.
2.
单项式的次数与系数：
注意：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；在判别单项式的时候，要注意包括数字前面的符号
.
一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式
.
1.
下列代数式不是单项式的是
(
)
D
检测反馈
解析
:
A
、
C
都是单独的一个数
,
是单项式
,
B
是数与字母的积
,
是单项式
,
D
中分母中含有字母
,
它不是单项式
.
-3
6
3
×
10
5
2
2.
填空：（
1
）
-3ab²c³
的系数是
.次数是
；
（
2
）
3×10
5
a²
的系数是
，次数是
.
解
:
这两个单项式的共同之处有
:
各含有
3
个字母，都含有字母
a
,
都是六次单项式
,
系数都是整数
,
并且都是
4
的倍数
;
它们的不同之处有
:
它们的系数不同
(
符号和绝对值不相同
),
字母
a
的指数不同，除了
a
之外
,
它
们所含有的字母也不相同
.
3.
比较单项式
12ab²c³
与
-8a³x²y
的异同
.
1.
（
1
）长方形的长与宽分别为
a
、
b
，则长方形
的周长是
；
2
a+
2
b
复习巩固
（
2
）某班有男生
x
人，女生
21
人，则这个班共
有学生
人；
（
3
）鸡兔同笼，鸡
a
只，兔
b
只，则共有头
个
脚
只
.
x+
21
a+b
2
a +
4
b
2.
观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别
.
（
1
）
2
（
a
＋
b
） ；
（
2
）
21
＋
x
；
（
3
）
a
＋
b
；
（
4
）
2
a
＋
4
b
.
4.1
整式（第
2
课时）
这些式子有什么共同的特点？
归纳：多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．同单项式一样，一个多项式的次数是几，我们就称它为几次式
.
学习新知
活动一
⑴在地球上生存的动物约有
150
万种，其中，无脊椎动物约有
m
万种，脊椎动物约有
______
万种
.
150-
m
活动二
它的项是
150
和
-
m
，次数是
1
⑵如图，城楼门口的形状，下部是长方形，上部是半圆形
.
它的面积是
________
_
__.
100
c
+10
b
+
a
⑶
一个三位数的个位数字为
a
，十位数字
为
b
，百位数字为
c
，这个三位数可表示
为
.
它的项是
100
c
，
10
b
和
a
，次数是
1
想一想
整式与单项式、多项式有什么关系？
单项式是整式，多项式也是整式
多项式中包括单项式和多项式
整式
单项式
多项式
例
：
如图所示
的
是由一个正方体和一个长方体组成
的组合体
.
这个代数式是多项式，它是三次二项式
⑴请用代数式表示这个组合体的体积
；
⑵这个代数式是多项式还是单项式？如果是多项式，请你说出它是几次几项式
.
整式、单项式与多项式的联系与区别
知识拓展
整式
单项式
多项式
概念：数与字母的乘积叫做单项式；
注意：单独的一个数或一个字母也是单项式
.
系数：单项式中的数字因数
次数：单项式中所有字母的指数的和
概念：几个单项式的和
次数：多项式里，次数最高项的次数
1
．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数
．
2
．多项式的组成元素是单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有
a
个单项式，次数是
b
，那么这个多项式就叫
b
次
a
项式
．
3.
单项式和多项式统称为整式，它们都有次数，但是单项式有系数；多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．如果一个代数式既不是单项式也不是多项式，那么它就一定不是整式．
课堂小结
1.
下面说法正确的是
（
）
A
.
一个代数式不是单项式就是多项式
B
.
单项式是整式
C
.
整式是单项式
D
.
以上都不对
B
检测反馈
解析
:
单项式和多项式统称为整式
.
2.
多项式
1+
xy-xy
²
的次数及最高次项的系数分别是
(
)
A
．
2
，
1
B
．
2
，
-1
C
．
3
，
-1
D
．
5
，
-1
C
解析
:
多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数，是
3
，最高次项的系数是
-1
.
3.
多项式
的次数和项数
分
别是
( )
A
.
次数为
3
，项数为
2
B
.
次数为
5
，项数为
2
C
.
次数为
3
，
项数为
3
D
.
次数为
5
，项数为
1
A
解析：因为
有两项，分别是
和
，而 为常数项，次数为
0
，
的次数为
3
，
所以是三次二项式
.
解
:
单项式有
:
多项式有
:
不是整式的有
:
第四章 整式的加减
4.2 合并同类项
小亮用Ⅰ型和Ⅱ型的积木块搭成了如图所示的两个不同形状的“桥”
.
怎样计算两个“桥”的体积呢？ 大家能用哪些方法计算“桥”的体积呢？
活动一
学习新知
图
1
中“桥”的体积
：
图
2
中“桥”的体积
：
观察
等式的左边和右边有什么联系呢？
在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项
.
几个常数项也叫同类项
.
（
1
）同类项不一定是两个，也可以是多个，所有的常数项都是同类项
.
（
2
）判断同类项的两个标准：一是所含的字母相同，二是相同字母的指数相同
.
两个无关：一是系数无关，二是与字母顺序无关
.
（
3
）同类项的前提必须是单项式
.
知识拓展
活动二
在多项式中，几个同类项可以合并成一项，这个合并的过程，叫做合并同类项．在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变
.
观察下面图式中的式子，请你总结什么是合并同类项？合并同类项的法则是什么？
算一算
例
：
合并同类项：
算一算
算一算
注意
：
①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项结果为
O
；
②合并同类项时，只能把同类项合并为一项，不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上；
③只要不再有同类项，就是最后的结果，结果可能是单项式，也可能
是
多项式；
④同类项移动位置时，不要漏掉它的性质符号，特别注意“
-
”号．
课堂小结
1.
判断同类项：一是所含的字母相同；二是相同的字母的指数也必须相等
.
同类项只与字母和字母的指数有关，与字母
的
排列顺序和前面的系数无关
.
2.
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并的法则是：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变．
3.
合并同类项的步骤是：
第二步
准确找出同类项，并用不同的记号标出
利用分配律，把同类项的系数加在一起，字母和字母的指数不变
写出合并后的结果
第一步
第三步
1.
下列各组式子中，为同类项的是（
）
.
B
检测反馈
2.
下列计算正确的是
（
）
A
．
8
x
+4=12
x
B
．
4
y
-4=
y
C
．
4
y
-3
y
=
y
D
．
3
x
-
x
=3
C
解析
:
根据合并同类项的法则计算各个选项，
A
.
不能合并；
B.
不能合并，
C
.
4
y-
3
y=y
，
D
.
不能合并
3
.
若单项式
与
是同类项
,
则
m+n
的值是
_______.
5
解析
:
本题考查同类项的定义
,
由题意可知
,
m
=3
,
n
=2,
故
m+n
=5
.
4.
下列各题中的两项是不是同类项
?
为什么
?
解
:
⑴是
.
因为所含字母相同
,
都有
x
、
y
且
x
、
y
的指数都是
1
，即相同字母的指数分别相同；
⑵不是，因为字母相同，但相同字母的指数不相同；
⑶是，因为只有系数不同，完全符合同类项的两个标准；
⑷是，因为它们只有字母的排列顺序和系数大小不同，所含字母及相同字母的指数都分别相同；
⑸是，因为两项都只含有字母
t
，并且
t
的指数都是
1
，
与
都是系数，它们是同类项
.
第四章 整式的加减
4.3
去括号
在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段、非冻土地段的行驶速度分别是
100 km/h和120 km/h．
列车通过冻土地段要比通过非冻土地段多用0.5h,如果通过冻土地段需要
u
小时，那么它通过非冻土地段的时间为（
u
-0.5）小时，冻土地段的路程为100
u
千米，非冻土地段的路程为120（
u
-0.5）千米，因此，这段铁路全长（单位：千米）为 100
u
+120(
u
-0.5) ① 冻土地段与非冻土地段相差100
u
-120(
u
-0.5) ② 上面的式子①、②都带有括号，它们应如何化简？
观察思考
活动一
学习新知
当
a
=2
，
b
=3
，
c
=4
时
计算第一组、第二组代数式的值
.
第一组
第二组
a+
（
b+c
）
a=
2
，
b=
3
，
c=
4
2
+
（
3+4
）
=9
a+b+c
2+3+4
=9
a+
（
b-c
）
2+
（
3--4
）
=1
a+b-c
2+3-4
=1
a=
2
，
b=
3
，
c=
4
a=
2
，
b=
3
，
c=
4
a=
2
，
b=
3
，
c=
4
第一组
第二组
思考：
去掉括号后，两组代数式之间有什么关
系？
第一组
第二组
当
a=
2
，
b=
3
，
c=
4
时
计算第
三
组、第
四
组代数式的值
.
a-
（
b
+
c
）
a
=2
，
b
=3
，
c
=4
2 -
（
3+4
）
= - 5
a
-
b
-
c
2-3-4
= - 5
a
-
（
b
-
c
）
2-
（
3-4
）
=3
a
-
b
+
c
2-3+4
=3
a
=2
，
b
=3
，
c
=4
a
=2
，
b
=3
，
c
=4
a
=2
，
b
=3
，
c
=4
思考：
去掉括号后，两组代数式之间有什么
关系？
第三组
第四组
为什么上面每组代数
式
的值相等呢？
如何
证明
？
a+
(
-
1)(
b+c
)
活动二
=a+
(
-
1)
b+
(-1)
c
=a-b-c
即
a-
(
b+c
)
=a-b-c.
例
：
先去括号，再合并同类项
（
1
）
5
a+
2(
b
-a
)
（
2
）2(
4
x-
6
y
)
－
3
(
2
x+
3
y-
1
)
=
5
a+
2
b
-
2
a
=
3
a+
2
b
=
8
x-
12
y-
6
x-
9
y+3
=
2
x-
21
y+
3
知识拓展
1.
去括号的依据是乘法分配律，不要漏乘
2.
注意法则中的
“
都
”
字，变号时，各项都变号，若不变号，各项都不变号
.
3.
多重符号，先去小括号，再去中括号，每去掉一层括号，如果有同类项要随时合并，这样简便下一步运算，减少差错
.
课堂小结
1.
根据去括号法则， 如果括号前面是“
+
”，把括号和它前面的“
+
”去掉，原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号前面是“
-
”，把括号和它前面的“
-
”去掉，原括号内各项的符号与原来的符号相反
.
2.
根据分配律去括号，如果把括号前面的“
+
”看成
+1
，“
-
”看成是
-1
，那么根据分配律也能达到去括号的目的
.
1
.
下列去括号正确的是
( )
A
.a-
(
b+c-
1)
=a-b+c-
1
B
.a-
(
b-c-
1)
=a-b+c-
1
C
.a-
(
b-c+
1)
=a-b+c-
1
D
.a-
(
b+c+
1)
=a-b+c-
1
C
检测反馈
2.
化简
-16
（
x
-0.5
）
的结果是（ ）
A
．
-16
x
-0.5
B
．
-16
x
+0.5
C
．
16
x
-8
D
．
-16
x
+8
D
解析
:
根据去括号的法则计算即可．
-16
（
x
-0.5
）
=-16
x
+8
，
3.
化简
a
-[-2
a
-(
a-b
)]
等于（
）
A
.
-2
a
B. 0
C
.
4
a-b
D
.
2
a-
2
b
C
解析
:
a-
[
-
2
a-
(
a-b
)]
=a-
(
-
2
a-a+b
)
=a+
2
a+a-b=
4
a-b.
4.
容量是
56
升的铁桶，装满油，取出
(
x
+1)
升后，桶内还剩油
_______
升
.
（
55-
x
）
解析：由题意，得
56-(
x
+1)=56-
x
-1=55-
x.
5.
化简：
（
1
）
m-
(5
m-
3
n
)
+
2(
n-m
)
m-
(5
m-
3
n
)
+
2(
n-m
)
=m-
5
m+
3
n+
2
n-
2
m
=-
6
m
+5
n
第四章 整式的加减
4.4 整式
的加减
1
．填空：整式包括
_______
和
________
．
复习巩固
单项式
多项式
2
．下列各式，是同类项的一组是（
）
A
3
．去括号后合并同类项：
(3
a
－
b
)
＋
(5
a
＋
2
b
)
－
(7
a
＋
4
b
)
．
=3
a
－
b
＋
5
a
＋
2
b
－
7
a
-4
b
=
（
3+5-7
）
a
+
（
-1+2-4
）
b
=
a
-3
b
活动一
学习新知
七年级
(
一
)
班分成三个小组，利用星期日参加社会公益活动．第一组有学生
m
名；第二组的人数比第一组的
2
倍少
10
人；第三组的人数是第二组的一半．七年级
(
一
)
班共有学生多少名
?
(1)
用代数式表示每组的人数？
第一组人数为
m
；第二组人数为
（
2
m
-10
）；
（
2
）怎样计算全班一共有多少人？
答：七年级一班共有学生
(4
m
-15)
名
.
小结：
整式的加减运算，实质上就是去括号和合并同类项的问题
.
先去括号，再合并同类项是整式运算的基本步骤
.
观察与思考
对于“求整式
的差”，小明
的做法是：
解：
=
请你观察并思考小明的解题过程，说明整式相减的步骤有哪些．
活动二
思考：
（
1
）上面算式中的第一步是什么？
去括号
（
2
）上面的算式
中的
第二步是什么？
合并同类项
例
：
一个长方形的宽为
a
，长比宽的
2
倍小
1.
(1)
写出这个长方形的周长．
(2)
当
a
=2
时，这个长方形的周长是多少？
2
a
+2(2
a
-1)
6
a
-2=6
×
2-2
=6
a
-2
=10
所以这个长方形的周长是
10
(3)
当
a
为何值时，这个长方形的周长是
16?
如果
6
a
-2=16
，
那么
6
a
=18
，
a
=3
所以当
a
=3
时，这个长方形的周长是
16.
知识拓展
1.
整式加减
的
一般步骤并不绝对，在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号（当然要按运算顺序去做）
2.
已知代数式和代数式中字母的值，求代数式的值，一般不直接将字母的值代入代数式，而是先把代数式化简，
再
代入求值
.
课堂小结
整式的加减实质上就是把合并同类项
和
去括号综合起来，求两个多项式的和或差时，首先把多项式看作一个整式，分别括在括号里，给出整式中字母的值
.
求整式的值的问题，一般要先化简，
再
把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不
要
把数值直接代入整式中计算
.
对于整式中的应用问题，应根据题意列出算式，再进行整式的加减运算，计算出结果
.
1.
计算
-3
（
x-
2
y
）
+
4
（
x-
2
y
）
的结果是（
）
A
．
x-
2
y
B
．
x+
2
y
C
．
-x-
2
y
D
．
-x+
2
y
A
检测反馈
解析
:
原式去括号合并
同类项
即可得到结果．原式
=-
3
x+
6
y+
4
x-
8
y=x-
2
y.
2.
若
m
、
n
互为相反数，则
（
3
m
-2
n
）
与
（
2
m
-3
n
）
的差为
．
0
解析
:
因为
m
、
n
互为相反数，所以
m
+
n
=0,
所以
（
3
m-
2
n
）
-
（
2
m
-3
n
）
=3
m
-2
n
-2
m
+3
n
=
m
+
n=
0
.
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