天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 冀教版（2012） / 八年级上册 / 第十二章 分式和分式方程 / 12.4 分式方程 / 最新冀教版八年级数学上册第十二章分式和分式方程PPT
资料简介
第十二章 分式和分式方程
12.1
分式（第
1
课时）
某种商品
,
原来每盒售价为
p
元
,
现在每盒的售价降低了
2
元
.
用
500
元钱购买这种商品
,
现在比原来可多买多少盒
?
怎样用代数式表示现在比原来可多买多少盒
?
问题思考
学 习 新 知
1.
一项工程
,
甲施工队
5
天可以完成
.
甲施工队每天完成的工程量是多少
?3
天完成的工程量又是多少
?
如果乙施工队
a
天可以完成这项工程
,
那么乙施工队每天完成的工程量是多少
?
b(b
1)
的正方形去掉一个边长为
1
m
的正方形蓄水池后余下的部
,
“丰收
2
号”小麦的试验田是边长为
(
a
-1)m
的正方形
,
两块试验田的小麦都收获了
500
kg.
(1)
哪种小麦的单位面积产量高
?
(2)
高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍
?
(a-
1
)
m
a
m
1m
解
:(1)
“丰收
1
号”小麦的试验田面积是
(
a
2
-1)m
2
,
单位面积产量是
kg,
“丰收
2
号”小麦的试验田面积
是
(
a
-1)
2
m
2
,
单位面积产量是
kg.
故“丰收
2
号”小麦的单位面积产量高．
∵
a
＞
1
，∴
(
a
－
1)
2
＞
0
，
a
2
－
1
＞
0.
由图可得
(
a
－
1)
2
＜
a
2
－
1
．
∴
所以“丰收
2
号”小麦的单位面积产量是“丰收
1
号”小麦的单位面积产量的 倍
.
（
2
）
1.
分式的除法法则
:
语言叙述
:
分式除以分式
,
把除式的分子与分母颠倒位置后
,
与被除式相乘
.
字母表示
:
课堂小结
2.
注意事项
:
(1)
运用法则时
,
注意符号的变化
;
(2)
因式分解在分式除法中的应用
;
(3)
步骤要完整
,
结果要化最简
.
最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式
,
也可以写成一个多项式的形式
.
1.
化简
的结果是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
.
B
2.
计算
的结果是（ ）
D
．
A
．
a
B
．
a
2
C
．
D
检测反馈
【
解析
】
原式
=
．故选
B
．
【
解析
】
原式
=
．故选
D
．
3.
计算
的结果为（
）
B
．
C
．
D
．
A
．
D
【
解析
】
原式
=
．故选
D
．
4.
化简
的结果是（ ）
C
．
m﹣
1
A
．
m
B
．
D
．
【
解析
】
原式
=
．故选
A
．
A
5
.
化简
的结果是（ ）
B
．
C
．
D
．
A
．
A
【
解析
】
原式
=
．故选
A
．
6.
计算
的结果是（ ）
B
．
C
．
D
．
A
．
C
【
解析
】
原式
=
故选
C.
8
.
计算
解：
【
解析
】
将分式的除法转化为分式的乘法，然后按照分式的乘法法则进行计算。
9.
由甲地到乙地的一条铁路全程为
v
km
，火车全程运行时间为
a
h
；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的
m
倍，汽车全程运行时间为
b
h
．那么火车的速度是汽车速度的多少倍？
解：火车速度为
km/h
，汽车速度为
km/h,
则
即火车的速度是汽车速度的
倍
.
【
解析
】
根据路程除以时间等于速度分别表示出火车与汽车的速度，即可得出所求．
第十二章 分式和分式方程
12.3 分式的加减（
第
1
课时
）
大约公元
250
年前后
,
希腊数学家丢番图研究一个数学问题
:
如何把
4
2
写成两个数的平方和的形式
,
即
,
演算过程中出现了
由于
,
于是他求得了一组解
:
这个问题还有其他的解吗
? ,
用到了什么法则呢
?
你能计算 吗
?
导入新课
计算
学 习 新 知
一起探究
——
同分母分式加减法
活动一
:
类比同分母分数的加减运算法则，完成下面同分母分式的加减运算。
;
;
同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）
．
;
;
用式子表示为：
例
1
计算下列各式：
解：
活
动二
:
异分母分式相加减
1.
观察与思考
——
法则的探究
(1)
异分母两个分数相加减
,
是将其化为同分母分数的加减法来进行的
.
如
:
(2)
类比异分母分数的加减
,
异分母分式的加减应当怎样进行呢
?
(3)
试计算
:
同分母分式相加减
结果为
转化为
异分母分式
相加减
=
=
分母不变，
分子相加减
像这样
,
把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式
,
叫做分式的通分
,
这个相同的分母叫做这几个分式的公分母
.
几个分式的公分母不止一个
,
通分时一般选取最简公分母
.
确定最简公分母的方法：
（
1
）取各分母系数的最小公倍数作为公分母的系数；
（
2
）取各分母中相同因数的最高次幂作为公分母的因式；
（
3
）各分母中出现的因式都必须出现在公分母中。
如
ac,mac
(
m
为非
0
整式
)
都是分式 的公分母，但
ac
是最简公分母。
【
知识拓展
】
语言表述
:
异分母的两个分式相加
(
减
),
先通分
,
化为同分母的分式
,
再相加
(
减
)
.
异分母的分式加减法法则
字母表示为
:
解：
例
2
计算下列各式：
1.
同分母的分式相加减
,
分母不变
,
只需要分子作加减运算
,
但注意每个分子是个整体
,
要适时添上括号
.
2.
异分母分式的加减运算
,
首先观察每个分式是否为最简分式
,
能约分的先约分
,
使分式简化
,
然后再通分
.
通分时
,
先确定分式的最简公分母
,
再确定各分母所要乘的因式
,
然后根据分式的基本性质把异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式
.
课堂小结
确定最简公分母的方法
:①
如果各分母都是单项式
,
那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积
,
注意所有的不同字母都要写在积里
;②
如果各分母都是多项式
,
就要先把它们分解因式
,
然后把每个因式当成一个因式
(
或一个字母
),
再按照单项式求最简公分母的方法
,
从系数、相同因式和不同因式三个方面去找
.
3.
对于整式与分式之间的加减运算
,
则把整式看成一个整体
,
即看成分母为
1
的代数式
,
以便通分
.
4.
作为最后结果
,
如果是分式则应该是最简分式
.
1.
化简
的结果是（ ）
C
．
x
﹣1
D
．
A
．
x
+1
B
．
A
检测反馈
【
解析
】
原式
=
.
故选
A
.
2.
化简
的结果是（ ）
D
．
A
．
m+
3
B
．
m﹣
3
C
．
A
【
解析
】
原式
=
．故选
A
．
3
．下列运算正确的是（
）
A
．（
2
a
2
）
3
=6
a
6
B
．
﹣
a
2
b
2
•3
ab
3
=﹣3
a
2
b
5
=﹣1 D
．
C
．
【
解析
】
A.
原式
=8
a
6
，错误；
，正确；
，错误
.
B.
原式
=﹣3
a
3
b
5
，错误；
C.
原式
=
D.
原式
=
C
4.
化简
的结果是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
【
解析
】
原式
=
故选
A
．
A
A
．
B
．
C
．
D
．
【
解析
】
原式
=
5.
化简
的结果为
( )
C
6
．分式
的计算结果是（ ）
【
解析
】
原式
=
.
故选
D.
B
．
C
.
D
．
A.
D
7
．计算：
=_______
．
=
=
=
【
解析
】
原式
=
解答过程
解答步骤说明
解题依据（用文字或符号填写知识的名称和具体内容，每空一个）
此处不填
此处不填
示例：通分
示例：分式的基本性质：分式的分子和分母都
乘同
一个不等于零的整式，分式的值不变（或者“同分母分式相加减法则”
：
）
去括号
①
合并同类项
此处不填
②
=
③
④
8
．
按要求化简：
括号前面是“
+
”
,
去括号后括号内各项的符号不变
;
括号前面是“
-
”
,
去括号时
,
括号内各项的符号都要改变
约分
分式的基本性质
:
分式分子、分母同时除以公因式
,
分式的值不变
9
.
计算
.
解析
:(1)
根据同分母分式减法法则计算即可
.
(2)
首先通分
,
把异分母分式的减法转化为同分母分式的减法
,
然后根据同分母分式减法法则进行计算即可
.
解：
10.
已知：两个分式
A
=
，
B
=
，其中
x
≠±1
，下面三个结论：①
A=B
；②
A
、
B
互
为倒数；③
A
、
B
互为相反数，请问这三个结论中哪一个结论正确？为什么？
【
解析
】
先对
A
式通分、
B
式分解因式，再比较
A
、
B
的关系
.
解：
∴
A≠B
；
∵
A
×
B=
≠1
，
∴
A
、
B
不互为倒数；
∵
A+B
=
=0
，
∴
A
、
B
互为相反数．
1
2.3 分式的加减（
第
2
课时
）
导入新课
有一财主死后
,
几个儿子高兴地打开父亲留下的藏宝地图看到上面有一段文字记录
:
计算
的值
,
就是我留给你们的全部宝物
.
老大拿出纸笔一算
,
一气之下将藏宝图一把扔了
,
老二连忙捡起
,
经过仔细思考后干脆一把火烧掉了它
.
财主忘记了写 的值
,
他的儿子是怎么计算出宝物的情况的呢
?
财主到底留下了多少宝物呢
?
通过本节课的学习之后
,
你就会明白其中的道理
.
例
1
计算下列各式
:
学 习 新 知
复习异分母分式的加减法
活动一
:
（
1
）
（
2
）
解：
（
1
）
（
2
）
活动二
:
分式的混合运算
解：
试着做做
计算
例
2
计算：
解：
解：
原式化简得：
做一做：当
时，求
的值。
代入 得
例
计算：
方法一：
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果．
方法二：将
除法变为乘法，运用乘法分配律计算．
解：
原式
=
解：原式
=
例
4
计算
解：
例
5
计算
解：
进行分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点
:
(1)
数的运算顺序及运算规律对分式运算同样适用
.
(2)
分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理
,
结果中分子或分母的系数是负数时
,
要把“
-”
号提到分式本身的前边
.
(3)
注意括号的“添”或“去”
.
(4)
分式运算与数的运算一样
,
结果必须达到最简
,
能约分的要约分
,
保证结果是最简分式或整式
.
[
知识拓展
]
分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：
（
1
）先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；
（
2
）分式运算的最后结果分子、分母要进行约分，最后的结果化成最简分式或整式，恰当地使用运算律会使运算简便．
课堂小结
检测反馈
A
．
a
﹣2
B
．
a
+2
C
．
D
．
【
解析
】
原式
=
.
故选
B
．
1.
化简
的结果等于（ ）
B
2.
下列等式成立的是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
【
解析
】
A.
原式
=
，错误；
B.
原式不能约分，错误；
，正确；
D.
原式
=
，错误，
C.
原式
=
故选
C.
C
3.
化简
的结果为（ ）
C
．
D
．
1﹣
a
A
．
1+
a
B
．
【
解析
】
原式
=
故选
A
．
A
4.
下列各式的运算结果中，正确的是（
）
C
．
D
．
B
．
A
．
【
解析
】
A.
，故此选项错误；
，故此选项正确；
，故此选项错误；
，故此选项错误；故选
B
．
B.
C.
D
.
B
5.
计算
的结果为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
【
解析
】
原式
=
.
故选
A
．
A
A
．
2
m
2
+
2
m
B
．
0
C
．
﹣m
2
﹣
2
m
D
．
m
2
+
2
m+
2
6.
计算
的结果是（ ）
故选
D.
【
解析
】
原式
=
D
7.
化简
的结果是（ ）
A
．
x
﹣4
B
．
x
+1 C
．
x
D
．以上答案都不是
【
解析
】
原式
=
A
8.
化简
的结果为
______
．
【
解析
】
先确定分式的运算顺序：先算小括号内的，再将除法运算转化为乘法运算，在计算时要把分子或分母中的多项式进行因式分解，最后约分化简即可
.
原式
= .
x
-1
9.
先化简，再求值：
其中，
a
满足
a
－
2=0
．
解析
:
对括号里面的式子进行通分的同时
,
利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解
,
再根据运算顺序进行化简
,
最后代入求值
.
解：
由
a
－
2=0
，得
a
=2
，所以原式
=3
．
原式
=
解：甲单独完成任务的时间是
m
小时，甲乙两人合作完成任务的时间是
小时，则提前完成任务的时间是
比甲单独完成任务提前
小时．
（小时），则甲、乙两人同时工作，
10.
有两个工人甲和乙
,
他们每小时分别制作零件
a
个
,
b
个
,
现要赶制一批零件
,
若甲单独完成任务需要
m
小时
,
如果甲、乙两人同时工作
,
那么比甲单独完成任务提前多长时间
?
解析
:
由甲单独完成任务的时间是
m
小时
,
可表示出两人合作完成任务的时间
,
即可确定出甲、乙两人同时工作比甲单独完成任务提前的时间
.
第十二章 分式和分式方程
12.4 分式方程
小红家到学校的路程为
38 km.
小红从家去学校总是先乘公共汽车
,
下车后再步行
2 km,
才能到学校
,
路途所用时间是
1 h
.
已知公共汽车的速度是小红步行速度的
9
倍
,
求小红步行的速度
.
(1)
上述问题中有哪些等量关系
?
(2)
根据你所发现的等量关系
,
设未知数并列出方程
.
(3)
如果设小红步行的时间为
x
h,
又应该怎么列方程
?
问题思考
学 习 新 知
探究一
:
分式方程及其解法
一艘轮船在静水中的最大航速为
30
千米
/
时
,
它沿江以最大航速顺流航行
90
千米所用的时间与以最大航速逆流航行
60
千米所用时间相等
,
江水的流速为多少
?
1
.
分式方程
解：设江水的流速为
v
千米
/
时
,
则轮船顺流航行的速度为
(30
+v
)
千米
/
时
,
逆流航行的速度为
(30
-v
)
千米
/
时
,
顺流航行
90
千米所用的时间为 小时
,
逆流航行
60
千米所用的时间为 小时
.
可列方程
方程
与以前所学的整式方程有何不同？
【
知识拓展
】
（
1
）理解分式方程要明确两点：
①是方程；
②分母中含有未知数（也可以看作方程中含有分式）
.
（
2
）整式方程和分式方程统称为有理方程
.
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
例
1
如何解分式方程
和
呢？
2
．分式方程的解法
解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程
,
具体做法是“去分母”
,
即方程两边乘最简公分母
,
这是解分式方程的一般方法
.
判断下列各式哪个是分式方程．
根据定义可得：（
1
）（
2
）是整式方程，
（
3
）是分式，（
4
）（
5
）是分式方程．
例
2
解方程
解
:
两边同乘最简公分母
2(
x
+5)
得
:
2(
x
+1)=5+
x
,
2
x
+2=5+
x
,
x
=3.
检验
:
把
x
=3
代入原方程左边
= ,
右边
= ,
左边
=
右边
.
所以
x
=3
是原分式方程的解
.
解
:
方程的两边同乘
(30+
v
)(30
- v
),
得
90(30
- v
)=60(30+
v
),
解得
v
=6
.
如何解课件
3
中所列出的分式方程
?
检验
:
将
v
=6
代入分式方程中左边
= ,
右边
= ,
左边
=
右边
,
因此
v
=6
是原分式方程的解
.
解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程
,
具体做法是“去分母”
,
即方程两边同乘最简公分母
,
这也是解分式方程的一般方法
.
特点
说明
举例
整式
方程
方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数
有“元”和“次”的说法
分式
方程
方程里分母中含有未知数
是一元一次方程；
【
拓展延伸
】
分式方程与整式方程的定义区分
:
是二元一次方程
探究二
:
分式方程的增根
解
:
方程两边同乘
x-
1
,
得
x+
1
=-
(
x-
3)
+
(
x-
1)
,
解这个整式方程
,
得
x
=1
.
解分式方程
在解分式方程时
,
通过去分母将分式方程转化为整式方程
,
并解这个整式方程
,
再将整式方程的根代入分式方程
(
或公分母
)
中检验
.
当分母的值不等于
0
时
,
这个整式方程的根就是分式方程的根
;
当公分母的值为
0
时
,
分式方程无解
,
我们把这样的根叫做分式方程的增根
.
例
3
解方程：
方程两边同乘
x
+2,
得
2-(2-
x
)=3(
x
+2),
解这个整式方程，得
x
=-3,
经检验
x
=-3
是分式方程的根。
解：
(1)
检验的方法有两种
:
①
把未知数的值代入所乘最简公分母中
,
最简公分母为
0
是增根
,
舍去
.
最简公分母不为
0
的未知数的值就是原分式方程的解
.
②
把未知数的值代入原方程
,
若左右两边的值相等
,
则这个未知数的值就是原方程的根
;
若某个分式的分母为
0,
则这个未知数的值就是增根
,
舍去
.
知
识拓
展
(2)
解分式方程时
,
必须注意以下几点
:
①
若分式方程中的分母是多项式
,
应先对各分母因式分解
,
再寻求最简公分母
;
②
将一个分式方程的两边同时乘最简公分母时
,
每一个式子都应乘到
,
不要漏乘
,
特别是不要漏乘没有分母的项
;
③
解含字母系数的分式方程时
,
字母系数应视为具体数处理
;
④
解分式方程时
,
检验这一步必不可少
,
它是解分式方程的一个重要步骤
.
解分式方程的一般步骤
:
1.
在方程的两边都乘最简公分母
,
约去分母
,
化为整式方程
.
2.
解这个整式方程
.
3.
把整式方程的根代入最简公分母
,
看结果是不是零
;
使最简公分母为零的根不是原方程的根
,
必须舍去
.
课堂小结
检测反馈
1.
下列方程：① ；② ；③ ；④ ，属于分式方程的有（ ）
A
．①②
B
．②③
C
．③④
D
．②④
解析
:①
是整式方程
;②
是分式方程
;
是分式方程
;④
是整式方程
.
所以属于分式方程的是②③
.
故选
B.
B
2.
分式方程 的解是
(
)
A
.x
=1
B
.x
=-1 C
.x
=2 D.
无解
解析
:
在方程的两边同乘最简公分母 变为整式方程为
x
(
x
+2)-(
x
-1)(
x
+2)=3,
解得
x
=1,
检验
:
当
x
=1
时
,(
x
-1)(
x
+2)=0,
所以原分式方程无解
.
故选
D.
解析
:
去分母得
4
x
-12=3
x
-6,
解得
x
=6,
经检验
x
=6
是分式方程的解
.
故填
6.
3.
方程 的解是
x
=
.
6
D
4.
若代数式 和 的值相等
,
则
x
=
.
7
解析
:
根据题意
,
得
,
方程两边都乘最简公分母
,
得
.
解得
.
经检验
,
是原方程的解
.
故填
7.
解
:(1)
去分母
,
得
3
x
+6-2
x
=0,
解得
x
=-6.
经检验
,
x
= -6
是原方程的解
.
5.
解方程：
(1) ;(2) .
(2)
方程两边都乘最简公分母
x
(
x
-2),
得
5
x
=3(
x
-2).
解这个一元一次方程
,
得
x
=-3.
检验
:
把
x
=-3
分别代入原方程的左边和右边
,
得左边
=
，
右边
= ,
左边
=
右边
,
因此
,
x
=-3
是原分式方程的解
.
解析
:
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的公分母为
0
的根
.
有增根
,
那么最简公分母
3(
x
-2)=0,
所以增根是
x
=2,
把增根代入化为整式方程的方程即可求出
m
的值
.
6.
当
m
为何值时
,
去分母解方程 会产生增根
?
解
:
方程两边都乘
3(
x
-2)
，得
4
x
+1=3
x
-6+3(5
x
-
m
)
，即
3
m
=14
x
-7.
分式方程若有增根
,
则公分母必为零，即
x
=2,
把
x
=2
代入整式方程
3
m
=14
x
-7
有
:3
m
=14
×
2-7
，解得
m
=7,
所以当
m
=7
时，去分母解方程 会产生增根
.
第十二章 分式和分式方程
12.5 分式方程的应用（
第
1
课时
）
(1)
行程问题
:
路程
=
速度
×
时间
,
而行程问题中 又分相遇问题、追及问题
.
(2)
数字问题
:
在数字问题中要掌握十进制数的表示法
.
(3)
工程问题
:
工作量
=
工时
×
工效
.
(4)
顺水逆水问题
:
v
顺水
=
v
静水
+
v
水
;
v
逆水
=
v
静水
-v
水
.
(5)
利润问题
:
售价
-
进价
=
利润率
×
进价
.
有一些实际问题
,
我们是否可以通过列分式方程解决
?
知识回顾
1.
解下列方程：
（
1
）
（
2
）
解：
2
．列方程应用题的步骤是什么？
(1)
审；
(2)
设；
(3)
列；
(4)
解；
(5)
答．
活动一
:
一起探究
小红和小丽分别将
9000
字和
7500
字的两篇文稿录入计算机
,
所用时间相同
.
已知两人每分钟录入计算机字数的和是
220
字
.
两人每分钟各录入多少字
?
学生分小组探究
:
(1)
请找出上述问题中的等量关系
;
(2)
试列出方程
,
并求方程的解
;
(3)
写出问题的答案
,
将结果与同学交流
.
学 习 新 知
(1)
小红录入
9000
字所用时间
=
小丽录入
7500
字所用时间
.
小红每分钟录入的字数
+
小丽每分钟录入的字数
=220.
(2)
设小红每分钟录入
x
字
,
则小丽每分钟录入
(220-
x
)
字
.
根据题意
,
得
,
解得
x
=120.
经检验
,
x
=120
是原方程的根
.220-
x
=100.
(3)
小红每分钟录入
120
字
,
小丽每分钟录入
100
字
.
活动二： 例题讲解
某工程队承建一所希望学校
.
在施工过程中
,
由于改进了工作方法
,
工作效率提高了
20%,
因此比原定工期提前
1
个月完工
.
这个工程队原计划用几个月的时间建成这所希望学校
?
解
:
设工程队原计划用
x
个月的时间建成这所希望学校
,
根据题意
,
得
:
解得
x
=6.
经检验
,
x
=6
是原分式方程的根
.
答
:
这个工程队原计划用
6
个月的时间建成这所希望学校
.
例
2
两个工程队共同参与一项筑路工程
,
甲队单独施工
1
个月完成总工程的三分之一
,
这时增加了乙队
,
两队又共同工作了半个月
,
总工程全部完成
,
哪个队的施工速度快
?
【
思路点拨
】
这是一道“工程工效”的模型
,
分析方面是先将两队的单位工效列出
,
可以设乙工程队单独完成施工需
x
个月
,
每个月完成
,
已知甲队每个月完成工程的
,
那么半个月完成工程的
,
乙队半个月完成工程的
,
再以总工程量
1
为不变量
,
列出等量关系
: ,
解得
x
=1.
例
3
某列车平均提速
v
km/h,
用相同的时间
,
列车提速前行驶
s
km,
提速后比提速前多行驶
50 km,
提速前列车的平均速度为多少
?
解
:
设提速前该列车的平均速度为
x
km/h,
则提速前它行驶
s
km
所用时间为
h;
提速后列车的平均速度为
(
x+v
)km/h,
提速后它运行
(
s
+50)km
所用时间为
h.
根据行驶时间的等量关系
,
得
.
方程两边乘
x
(
x+v
),
得
s
(
x+v
)=
x
(
s
+50).
解得
.
检验
:
由
v,s
都是正数
,
得 时
,
x
(
x
+
v
)≠0.
所以原分式方程的解为
.
答
:
提速前列车的平均速度为
km/h.
列方程解应用题时
,
设未知数很重要
,
分直接设未知数和间接设未知数两种
,
有时设一个未知数不好表示相等关系
,
还可设多个未知数
,
即设辅助未知数
.
一般情况下
,
一道题中有几个未知数
,
就列几个方程进行求解
.
[
知识拓展
]
请你说说用分式方程解实际问题的一般步骤
,
它与用一元一次方程以及二元一次方程组解决实际问题的一般步骤有哪些异同
?
列分式方程解应用题按下列步骤进行
:
(1)
审题
,
了解已知量与所求各量所表示的意义
,
弄清它们之间的数量关系
;
(2)
设未知数
;
(3)
找出能够表示题中全部含义的相等关系
,
列出分式方程
;
(4)
解这个分式方程
;
(5)
验根
,
检验是不是增根
;
(6)
写出答案
.
课堂小结
1.
为迎接“六一”儿童节
,
某儿童品牌玩具专卖店购进了
A
,
B
两类玩具
,
其中
A
类玩具的进价比
B
类玩具的进价每个多
3
元
,
经调查
:
用
900
元购进
A
类玩具的数量与用
750
元购进
B
类玩具的数量相同
.
设
A
类玩具的进价为
m
元
/
个
,
根据题意可列分式方程为
(
)
检测反馈
解析
:
根据题意得
B
类玩具的进价为
(
m
-3)
元
/
个
,
根据用
900
元购进
A
类玩具的数量与用
750
元购进
B
类玩具的数量相同这个等量关系列出方程
.
故选
C.
C
2.
某小区为了排污
,
需铺设一段全长为
720
米的排污管道
,
为减少施工对居民生活的影响
,
需缩短施工时间
,
实际施工时每天的工作效率比原计划提高
20%,
结果提前
2
天完成任务
.
设原计划每天铺设
x
米
,
下面所列方程正确的是
(
)
解析
:
先分别用代数式表示原计划和实际完成任务所用的时间
,
再根据“原计划所用时间
-
实际所用时间
=2”
列出方程
.
原计划施工所用的天数为
,
实际施工所用的天数为
.
依题意可得
.
故选
A.
A
3.
某玩具店用
6000
元购进甲、乙两种陀螺
,
甲种陀螺单价比乙种的单价便宜
5
元
,
单独买甲种陀螺比单独买乙种陀螺可多买
40
个
.
设甲种陀螺单价为
x
元
,
则根据题意可列方程为
(
)
解析
:
因为甲种陀螺的单价为
x
元
,
所以乙种陀螺的单价为
(
x
+5)
元
,
根据关键语句“单独买甲种陀螺比单独买乙种陀螺可多买
40
个”可得方程
.
故选
C.
C
4.
一次夏令营活动中
,
班长购买了甲、乙两种矿泉水
,
其中甲种矿泉水共花费
80
元
,
乙种矿泉水共花费
60
元
,
甲种矿泉水比乙种矿泉水多
20
瓶
,
乙种矿泉水的价格是甲种矿泉水的价格的
1.5
倍
.
若设甲种矿泉水的价格为
x
元
/
瓶
,
根据题意可列方程为
(
)
解析
:
因为甲种矿泉水的价格为
x
元
/
瓶
,
所以乙种矿泉水的价格为
1.5
x
元
/
瓶
,
根据甲种矿泉水比乙种矿泉水多
20
瓶
,
列分式方程
.
故选
B.
B
5.
轮船在顺水中航行
30 km
所用时间与在逆水中航行
20 km
所用时间相等
.
已知水流速度为
2 km/h,
设轮船在静水中的速度为
x
km/h,
则下列方程不正确的是
(
)
解析
:
根据关键语句“轮船在顺水中航行
30 km
所用时间与在逆水中航行
20 km
所用时间相等”列出方程
,
此方程可变形为
,
故
A,B,C
都正确
,D
错误
.
故选
D.
D
6.
小马自驾私家车从
A
地到
B
地
,
驾驶原来的燃油汽车所需油费为
108
元
,
驾驶新购买的纯电动车所需电费为
27
元
.
已知每行驶
1
千米
,
原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多
0.54
元
,
求新购买的纯电动汽车每行驶
1
千米所需的电费
.
解析
:
先寻找等量关系
:
驾驶原来的燃油汽车消耗
108
元的燃油费能够行使的路程等于驾驶新购买的纯电动车耗费
27
元的电费能够行驶的路程
.
根据等量关系
,
设未知数、列方程解答即可
.
解
:
设新购买的纯电动汽车每行驶
1
千米所需的电费为
x
元
,
则每行驶
1
千米
,
原来的燃油汽车所需的油费为
(
x
+0.54)
元
.
依题意列方程得
解得
x
=0.18,
经检验
,
x
=0.18
是原方程的解
.
答
:
新购买的纯电动汽车每行驶
1
千米所需的电费为
0.18
元
.
7.
扬州建城
2500
年之际
,
为了继续美化城市
,
计划在路旁栽树
1200
棵
,
由于志愿者的参加
,
实际每天栽树的棵数比原计划多
20%,
结果提前
2
天完成任务
,
求原计划每天栽树多少棵
.
解析
:
设原计划每天栽树
x
棵
,
则实际每天栽树的棵数为
(1+20%)
x
,
根据题意可得实际比计划少用
2
天
,
据此列方程求解
.
解
:
设原计划每天栽树
x
棵
,
则实际每天栽树的棵数为
(1+20%)
x
,
由题意得
解得
x
=100,
经检验
,
x
=100
是原分式方程的解
,
且符合题意
.
答
:
原计划每天栽树
100
棵
.
12.5 分式方程的应用（
第
2
课时
）
龟兔赛跑的故事大家都知道吧
?
兔子自从输了以后
,
很不甘心
,
所以邀请乌龟再赛一场
:
兔子和乌龟要进行一次长跑比赛
,
从
A
地到
B
地
,
路程是
60 km.
兔子为了证明自己的实力
,
说好叫乌龟先出发
1
小时
,
结果二者同时到达终点
.
现在已知兔子的速度是乌龟速度的
3
倍
.
你能求出乌龟和兔子的速度吗？
在解决上述问题之前
,
请大家回忆一下
,
我们用分式方程解决实际问题的一般步骤是什么
?
审题
——
找出相等的数量关系
——
设未知数
——
列方程
——
解方程
——
检验
——
作答
.
问题思考
(1)
这个问题涉及哪个公式
?
(2)
你能找到上题中的等量关系吗
?
(3)
如何设未知数
?
(4)
如何列出分式方程
?
(5)
解这个方程
,
并检验
,
作答。
(
s
=
vt
)
(
乌龟用时
=
兔子用时
+1;
兔子速度是乌龟速度的
3
倍
)
活动一
:
一起探究
学 习 新 知
今年父亲的年龄是儿子年龄的
3
倍
,5
年后父亲的年龄与儿子的年龄的比是
22∶9.
求父亲和儿子今年的年龄各是多少
.
思考
:
上述问题中有哪些等量关系
?
题目中有两个等量关系
:
1.
今年父亲的年龄
=
今年儿子的年龄
×
3;
2.
如果设今年儿子的年龄是
x
岁
,
那么今年父亲的年龄是
.
解
:
设今年儿子的年龄是
x
岁
,
则今年父亲的年龄是
3
x
岁
,
根据题意
,
有
解得
x
=13,3
x
=39.
经检验
x
=13
是原方程的解
,
且符合题意
.
答
:
今年儿子的年龄是
13
岁
,
父亲的年龄是
39
岁
.
活动二
:
例题讲解
某服装店销售一种服装
.
若按原价销售
,
则每月销售额为
10000
元
;
若按八五折销售
,
则每月多卖出
20
件
,
且月销售额还增加
1900
元
.
每件服装的原价为多少元
?
想一想
:(1)
本题中的等量关系是什么
?
(
按八五折销售这种服装的数量
-
按原价销售这种服装的数量
=20
件
)
(2)“
八五折”指的是什么
?
(
八五折指的就是原价的
85%)
解
:
设每件服装原价为
x
元
,
根据题意，得
解这个方程
,
得
x
=200.
经检验
,
x
=200
是原方程的解
.
答
:
每件服装的原价为
200
元
.
对于
例
1
,
你还能找到其他的等量关系吗
?
另一组等量关系
:
每件服装的原价
×
85%=
每件服装打折后的价格
.
解
:
设每月原价销售这种服装
x
件
,
根据题意
,
得
解这个方程
,
得
x
=50.
经检验
,
x
=50
是原方程的解，
答
:
每件服装的原价为
200
元
.
(
补充例题
)
为体验中秋时节浓浓的气息
,
某校小记者骑自行车前往距学校
6
千米的丹尼斯商场采访
,10
分钟后
,
小记者李琪坐公交车前往
,
公交车的速度是自行车的
2
倍
,
结果两人同时到达
.
求两车的速度各是多少
.
自学提示
:
1
.
速度之间有什么关系
?
时间之间有什么关系
?
2
.
怎样设未知数
?
根据哪个关系
?
路程
(
千米
)
速度
(
千米
/
时
)
时间
(
时
)
自行车
公交车
3
.
填表
.
4
.
怎样列方程
?
根据哪个关系
?
例
3
某商店经销一种泰山旅游纪念品
,4
月份的营业额为
2000
元
,
为扩大销售量
,5
月份该商店对这种纪念品打
9
折销售
,
结果销售量增加
20
件
,
营业额增加
700
元
,
该种纪念品
4
月份的销售价格为多少元
?
【
解析
】
设该种纪念品
4
月份的销售价为
x
元
/
件
,
则
4
月份的销售量为
件
,5
月份的售价为
0.9
x
元
/
件
,
营业额为
(2000+700)
元
,5
月份的销售量为
件
,
根据
5
月份的销售量比
4
月份的销售量增加
20
件
,
可列出分式方程
.
解
:
设该种纪念品
4
月份的销售价为
x
元
/
件
,
根据题意得
:
解得
x
=50.
经检验
,
x
=50
是所列方程的解且符合题意
.
答
:
该种纪念品
4
月份的销售价格是
50
元
/
件
.
张师傅卖月饼
,
现在每天卖的斤数是原来的
2
倍
,1000
斤月饼比原来少卖
5
天
.
原来、现在每天各卖多少斤
?
总量（斤）
日销售量（斤）
天数（天）
原
来
现
在
第一种相等
关系：
另
一种相等
关系：
设未知数：
列方程 ：
方法探索
:
张师傅用
5000
元购进若干斤月饼
,
以每斤
7
元的价格出售
,
很快售完
,
又用
9000
元购进同种月饼
,
数量比第一次多了一半
,
每斤进价比第一次多了
1
元
,
张师傅仍按每斤
7
元出售
,
全部售完
,
则张师傅这笔生意盈利多少元
?
分析提示
:
(1)
盈利
=
.
(2)
解决问题你先求哪个量
?
(3)
题中有哪些相等关系
?
(4)
根据哪个相等关系列方程
?
大显身手
联系实际生活你能根据方程
自编一道应用题吗
?
列分式方程解应用题
:
1
.
步骤
:
审、设、列、解、验、答
.
必须按照这六步做题
,
规范解题步骤
,
另外要注意完整性
:
如设和答叙述要完整
,
要写出单位等
.
2
.
列方程解应用题的关键是分析题意找出相等关系
(1)
在确定相等关系时
,
一定要理解一些常用的数量关系和一些基本做法
.
(2)
列分式方程解应用题时要多思、细想
,
寻求多种解题思路
.
课堂小结
1.
遂宁市某生态示范园计划种植一批核桃
,
原计划总产量达
36
万千克
,
为了满足市场需求
,
现决定改良核桃品种
,
改良后平均每亩产量是原计划的
1.5
倍
,
总产量比原计划增加了
9
万千克
,
种植亩数减少了
20
亩
,
则原计划和改良后平均每亩产量各是多少万千克
?
设原计划每亩平均产量为
x
万千克
,
则改良后平均每亩产量为
1.5
x
万千克
,
根据题意列方程为
(
)
解析
:
根据题意可得等量关系
:
原计划种植的亩数
-
改良后种植的亩数
=20
亩
,
列出方程
.
故选
A.
A
2.
九年级学生去距学校
10 km
的博物馆参观
,
一部分学生骑自行车先走
,
过了
20 min
后
,
其余学生乘汽车出发
,
结果他们同时到达
.
已知汽车的速度是骑车学生速度的
2
倍
,
求骑车学生的速度
.
设骑车学生的速度为
x
km/h,
则所列方程正确的是
(
)
解析
:
表示出汽车的速度
,
然后根据汽车行驶的时间加上时间差等于骑车行驶的时间可列方程
.
故选
C.
C
3.
从甲地到乙地有两条公路
,
一条是全长
450
公里的普通公路
,
一条是全长
330
公里的高速公路
,
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快
35
公里
/
时
,
由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半
.
如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为
x
小时
,
那么
x
满足的分式方程是
(
)
解析
:
设出未知数
,
根据客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快
35
公里
/
时
,
可列出方程
.
故选
D.
D
4.
某商店销售一种玩具
,
每件售价
90
元
,
可获利
15%,
求这种玩具的成本价
.
设这种玩具的成本价为
x
元
,
依题意列方程正确的是
(
)
解析
:
根据等量关系“利润
÷
成本价
=15%”
列方程即可
.
因为这种玩具每件的成本价为
x
元
,
所以这种玩具每件的利润为
(90-
x
)
元
,
可得方程
.
故选
A.
A
5.
兴化市教育局为帮助全市贫困师生举行“一日捐”活动
,
甲、乙两校教师各捐款
30000
元
,
已知“
…”,
设乙校教师有
x
人
,
则可得方程
根据此情境
,
题中用“
…”
表示的缺失的条件应补
(
)
A.
乙校教师比甲校教师人均多捐
20
元
,
且甲校教师的人数比乙校教师的人数多
20%
B.
甲校教师比乙校教师人均多捐
20
元
,
且乙校教师的人数比甲校教师的人数多
20%
C.
甲校教师比乙校教师人均多捐
20
元
,
且甲校教师的人数比乙校教师的人数多
20%
D.
乙校教师比甲校教师人均多捐
20
元
,
且乙校教师的人数比甲校教师的人数多
20%
解析
:
方程 中
,
表示乙校教师人均捐款额
,(1+20%)
x
表示甲校教师的人数比乙校教师的人数多
20%,
则 表示甲校教师人均捐款额
,
所以方程表示的等量关系为乙校教师比甲校教师人均多捐
20
元
,
由此得出题中用“
…”
表示的缺失的条件应为
A
.
故选
A.
6.
在“母亲节”前夕
,
某花店用
16000
元购进第一批礼盒鲜花
,
上市后很快预售一空
.
根据市场需求情况
,
该花店又用
7500
元购进第二批礼盒鲜花
.
已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的
,
且每盒鲜花的进价比第一批的进价少
10
元
.
则第二批鲜花每盒的进价是多少元
?
解析
:
可设第二批鲜花每盒的进价是
x
元
,
根据等量关系
:
第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的
,
列出方程求解即可
.
解
:
设第二批鲜花每盒的进价是
x
元
,
依题意有
解得
x
=150,
经检验
,
x
=150
是原方程的解
.
故第二批鲜花每盒的进价是
150
元
.
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