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天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 人教版(2012) / 七年级上册 / 第三章 一元一次方程 / 人教版七年级数学上册第3章一元一次方程

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第三章 一元一次方程 3.1一元一次方程 问题 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公 路同方向行驶,客车的行驶速度是70km/h,卡 车的行驶速度是60km/h,客车比卡车早1h经过 B地,A,B两地间的路程是多少? 17060  xx 设A、B两地相距x km,则根据题意得: 1.算术方法解决应怎样列算式: 2.如果设A,B两地相距x km,那么客车从A 地到B地 的行驶时间为 ,货车从A地到B地的行驶时间 为 。 3.客车与货车行驶时间的关系是: 4.根据上述相等关系,可列方程为 。 5、对于上面的问题,你还能列出其他方程吗?如 果能,你依据的是哪个相等关系? 方程的定义:含有未知数的等式叫做方程. 判断方程的条件 1、含有未知数 2、是等式 讨论交流 算术方法: 列出的算式表示解题的计算过程,其中只 能 用已知数.对于较复杂的问题,列算式比较困难. 列方程(代数方法): 方程是根据题中的等量关系列出的 等式.其中既含已知数,又含未未知数.使问题的已知量 与未知量之间的关系很容易表示,解决问题就比较方便. 什么叫方程 ? 含有未知数的等式叫方程。 什么是方程的解呢? 使得方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 1、x=2是2x=4的解吗? 2、x=3是2x-1=7的解吗? 用一根长为24cm的铁丝围成一个正方形,正方形 的边长为多少?(只列方程) 等量关系:正方形的周长=边长×4 4x=24 一台电脑已经使用1700h,预计每个月再使用150 h,经过多少个 月这台电脑的使用时间达到规定的检修时间2450 h?(只列方程) 已知量 未知量 等量关系 原来使用时间+还可以使用的时间=规定 的检修时间 1700+150x=2450 1、已经使用了1700 h; 2、预计每月再使用 150 h;3、这台电脑规定检修时间是2450 h 这台电脑还能用几个月达到规定的检修时 间 我校女生人数占全体学生数的52%,比男生多80 人,我们学校有多少学生?(只列方程) 等量关系: 女生数--男生数=80 或 女生数=男生数+80 或 女生数-80=男生数 52% x-(1-52%)x=80或 52%x=(1-52%)x+80或 52%x-80=(1-52%)x 构建方程解决实际问题的关键是什么? 一般步骤又是什么呢? 找等量关系 分析题意 找等量关系 设未知数 根据等量关系列方程 以下五个方程具有什么样的共同特征呢? 2x+5=27 1700+150x =2450 52% x -(1-52%) x =80 ④ 4x=24 1、都只含有一个未知数; 2、未知数的次数都是1 一元一次方程的概念: 只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,这 样的方程叫做一元一次方程。 b a a = b 右左 b a a = b c 右左 cb a 右左 a = b a cb 右左 a = b cb ca 右左 a = b cb ca a+c b+c= 右左 a = b c c ab 右左 a = b c 右左 学科网 b a a = b c 右左 b a a = b 右左 b a a = b a-c b-c= 右左 b a a = b 等式的性质1:等式的两边加 (或减)同一个数(或式子), 结果仍相等. b a 右左 ab 2a = 2b a = b b a a = b 右左 b b b b b b a aaaa a C个 C个 ac = bc b a 右左 a = b 回答:(1)从x=y能否得到x+5=y+5?为什么 (2)从x=y能否得到 ?为什么? 等式的性质2:等式的两边乘同一个数,或除以同 一个不为0的数,结果仍相等. 可以,由等式性质1可得 可以,由等式性质2可得 9 9 x y (3)从a+2=b+2能否得到a=b?为什么? 中学学科网 (4)从-3a=-3b能否得到a=b?为什么? 可以,由等式性质1可得 可以,由等式性质2可得 267)1( x   2052  x 解:(1)两边减7得 72677 x 19x所以: (2)两边同时除以-5得 5 20 5 5   x 4x所以: 453 1)3(  x 解:两边加5,得 54553 1  x 93 1  x 27x 化简得: 两边同乘-3,得 约公元825年,中亚细亚数学家 阿尔—花拉子米写了一本代数书, 重点论述怎样解方程。这本书的拉 丁译本为《对消与还原》。“对消” 与“还原”是什么意思呢? 实际问题 一元一次方程 设未知数   列方程 分析实际问题中的数量关系,利用其中的相 等关系列出方程,是解决实际问题的一种数学方法.   某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前 年的2倍,今年购买数量又是去年的2倍.前年这个学 校购买了多少台计算机? 分析:设前年这个学校购买了计算机x台,则去年购买 计算机2x台,今年购买计算机4x台, 根据问题中的相等关系: 前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台 列得方程 x + 2 x +4 x = 140 思考:怎样解 这个方程呢? 2 4 140x x x   分析:解方程,就是把方 程变形,变为 x = a(a为 常数)的形式。 合并同类项 系数化为1 想一想:上面解方程中“合并同类项”起了什么作用? 根据等式的性质2   合并同类项起到了“化简”的作用,即把含有 未知数的项合并,从而把方程转化为ax=b,使其更 接近x=a的形式(其中a,b是常数) 。 合并同类项的作用: 实际问题 一元一次方程 设未知数 列方程 思考:如何列方程?分哪些步骤? 一.设未知数 二.分析题意找出等量关系 三.根据等量关系列方程 862 52)1(  xx 364155.135.27)2(  xxxx 合并同类项,得)1( 22 1  x ,得系数化为1 4x 解下列方程 解: 例2 有一列数,按一定规律排成1,-3, 9 ,-27, 81,- 243,...其中某三个相邻数的和是-1701,这三个数各是 多少? 解:后面一个数都是前一个数的 -3 倍,设某三个相 邻的数第一个是 x ,则第二、第三个分别是 -3x , 9x, 所以 x - 3x+9 x= -1701 解得 x = -243 解下列方程  3 0.3 0.5 10x x   (4)6 1.5 2.5 3m m m    1 5 2 9x x    1 32 72 2x x  请欣赏一首诗: 太阳下山晚霞红,我把鸭子赶回笼; 一半在外闹哄哄,一半的一半进笼中; 剩下十五围着我,共有多少请算清。 你能列出方程来解决这个问题吗? 1 1 152 4x x x   一个数,它的三分之二,它的一半,它的七分之一, 它的全部,加起来总共是33。求这个数。 解:设这个数是x,则: 把一些图书分给某班同学阅读,如果每人3本,则剩 余20本;若每人4本,则还缺少25本,这个班的学生有多 少人? 问题 分析:设这个班有x名学生,这批书共有(3x+20) 本,或这批书共有(4x-25)本。 表示同一个量的两个不同的式子相等(即:这批书的 总数是一个定值) 3x+20=4x-25 1、使方程右边不含 x 的项 2、使方程左边不含常数项 等式两边减4x,得: 3x+20-4x=4x-25-4x 3x+20-4x=-25 3x+20-4x-20=-25-20 等式两边减20,得: 3x-4x=-25-20 3x-4x=-25-20 3x+20 = 4x-25 上面方程的变形,相当于把原方程左边的20变为- 20移到右边,把右边的4x变为-4x移到左边. 把某项从等式 一边移到另一 边时有什么变 化? 解方程中“移项”起了什么作用? 通过移项,含未知数的项与常数项分别列于方程 的左右两边,使方程更接近于 x = a 的形式. 像上面那样,等式一边的某项变号后移到另一 边,叫做移项。 3 20 4 25x x   3 4 25 20x x    45x   45x     移项 合并同类项 系数化为1 例2 解方程 (1)3 7 32 2x x   3(2) 3 12x x   42 1 1 255 73223 )1(    x x xx ,得系数化为 合并同类项,得 移项,得 8 1 42 1 312 3 )2(    x x xx ,得系数化为 合并同类项,得 移项,得解: 例4 某制药厂制造一批药品,如用旧工艺,则废水排 量要比环保限制的最大量还多200t;如用新工艺,则废 水排量比环保限制的最大量少100t.新、旧工艺的废水 排量之比为2︰5,两种工艺的废水排量各是多少? 分析:因为新,旧工艺的废水排量之比为2:5,所以可 设它们分别为2x t和5x t,再根据它们与环保限制的最 大量之间的关系列方程。 解:设新、旧工艺的废水排量分别为 2xt 和 5xt 根据废水排量与环保限制最大量之间的关系,得 5x-200=2x+100 移项,得 5x-2x =100+200 合并同类项,得 3x=300 系数化为1,得x =100 所以 2x =200 5x =500 答:新、旧工艺生产的废水排量分别为200 t和500 t。 练习 解下列方程 (1)6 7 4 5;x x   1 3(2) 62 4x x  (3)5 2 7 8;x x   3 5(4)1 3 ;2 2x x   某工厂加强节能措施,去年下半年与上半年相比, 月平均用电量减少2000度,全年用电15万度,这个 工厂去年上半年每月平均用电多少度? 分析:若设上半年每月平均用电x度, 则下半年每月平均用电 度 上半年共用电 度, 下半年共用电 度。 等量关系: 所以,可列方程 。 (x-2000) 6(x-2000) 6x 6x+ 6(x-2000)=150000 上半年用电+下半年用电=全年用电15万度 解:设上半年每月平均用电x度,则下半年每月平均用电(x- 2000)度,上半年共用电6x度,下半年共用电6(x-2000)度。 根据题意列方程得: 6x+ 6(x-2000)=150000 去括号得: 6x+6x-12000=150000 移项得: 6x+6x=150000+12000 合并同类项得: 12x=162000 系数化为1得:x=13500 答:这个工厂去年上半年每月平均用电13500度。 解一元一次方程的步骤: 移项 合并同类项 系数化为1 去括号 例1 解方程 2x-(x+10)=5x+2(x-1) 解: 去括号得: 移项得: 合并同类项得: 系数化为1得: 2x-x-10=5x+2x-2 2x-x-5x-2x=-2+10 -6x = 8 X=-4/3 例2 解方程 3x-7(x-1)=3-2(x+3) 解: 去括号得: 移项得: 合并同类项得: 系数化为1得: 3x-7x+7=3-2x-6 3x-7x+2x=3-6-7 -2x =-10 x=5 解方程 20)33(27  xx②   )4(123234  xxx③ 29)5(25  bb①        13 17242 16 xxx④ )(2)(3 axaxa 1、关于 x 的方程 的解为-1, 则a的值为( ) 2、甲、乙两人登一座山,甲每分钟登高10米, 并且先出发30分钟,乙每分钟登高15米,两人同 时登上山顶。甲用多少时间登山?这座山有多高? 例2 一艘船从甲码头到乙码头顺流航行,用了2 小时;从 乙码头到甲码头逆流航行,用了2.5小时;已知水流的速度 是3千米/小时,求船在静水中的平均速度是多少千米/小 时? 分析:等量关系 甲码头到乙码头的路程=乙码头到甲码头的路程 也就是: 顺航速度___顺航时间=逆航速度___逆航时间×× 解: 设船在静水中的平均速度为 x km/h,则顺流速 度为(x+3)km/h,逆流速度为(x-3)km/h。 根据往返路程相等,列得 2(x+3)=2.5(x-3) 去括号,得 2x+6=2.5x-7.5 移项及合并同类项,得 0.5x=13.5 系数化为1,得 x=27 答:船在静水中的平均速度为27 km/h。 3.大箱子装洗衣粉36千克,把大箱子里的洗衣粉分装 在4个大小相同的小箱子里,装满后还剩余2千克洗 衣粉,则每个小箱子装洗衣粉的千克数为( ) A. 6.5 B.7.5   C. 8.5    D. 9.5 4、某物品标价为130元, 若以9折出售,仍可获利10%, 则该物品进价约是( ) A. 105元 B. 106元 C. 108元 D. 118 元 C B 1.会用去分母的方法解含分母的一元一次 方程. 2.会检验方程的解及总结解方程的一般步骤. 解有分数系数的一元一次方程的步骤: 1.去分母; 2.去括号; 3.移项; 4.合并同类项; 5.系数化为1. 主要依据:等式的性质和运算律等. 以上步骤是不是 一定要顺序进行, 缺一不可? 这件珍贵的文物是纸莎草文书,是古代埃及人用 象形文字写在一种特殊的草上的著作,至今已有3700 多年的历史了,在文书中记载了许多有关数学的问 题. 问题: 一个数,它的 三分之二,它的一半,它 的七分之一,它的全部, 加起来总共是33.试问这 个数是多少? 你能解决这个问题吗? 解:设这个数为x,可得方程: 337 1 2 1 3 2  xxxx 为使方程变为整系数方程,方程两边应该 同乘以什么数? 各分母的最小公倍数 42. 解:去分母,得   28x+21x+6x+42x=1386.   合并同类项,得   97x=1386.   系数化为1,得 1 386x = .97 1 386答 : 这个数为 .97 例3 解下列方程: 1 21=22 4 x x   1 2 13 32 3 x xx     (1) (2) 4 1 123 42282 28422 -284-12 1      x x xx xx xx ,得系数化为 合并同类项,得 移项,得 去括号,得 )()( )去分母,得( 25 23 1 2325 32184318 24183318 )12(218)1(318 1      x x xxx xxx xxx ,得系数化为 合并同类项,得 移项,得 去括号,得 )去分母,得(解: 1、解方程 2 3 3 3 x x  观察:这个方程有什么特点?应该怎么解? 2 3 13 3 x x  2、解方程 观察:这个方程有什么特点?又应该怎么解? • 解方程 解:去分母,得 2y-(y-2)=6 去括号,得 2y-y+2=6 移项,得 2y-y=6-2 合并同类项 y=4 2 13 6 y y   去分母时须注意:   1.确定分母的最小公倍数;   2.不要漏乘没有分母的项;   3.去掉分母后,若分子是多项式,应该多项式 (分子)添上括号,视多项式为一整体. • 1.解一元一次方程的步骤: (1)去分母 (2)去括号 (3)移项 (4)合并同 类项 (5)系数化为1. • 2.解方程的五个步骤在解题时不一定都需要,可根 据题意灵活的选用. • 3.去分母时不要忘记添括号,不漏乘不含分母的项. 例1、某车间有22名工人,每人每天可以生产1200 个螺钉或2000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母,为 使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,应安排生产螺 钉和螺母的工人各多少名? 分析:每天生产的螺母数量是螺钉数量的(2倍) 时,它们刚好配套。 5(22-x)=6x, 110-5x=6x, 11x=110 X=10 22-x=12 答:应安排10名工人生产螺钉,12名工人生产螺母。 方法规律: 生产调配问题通常从调 配后各量之间的倍、分 关系寻找相等关系,建 立方程。 解:设应安排x名工人生产螺钉,(22-x)名工人生产螺母 2000(22-x)=2×1200x 解方程,得 练习 1、一套仪器由一个A部件和三个B部件构成。用1立方米 钢材可做40个A部件或240个B部件。现要用6立方米钢 材制作这种仪器,应用多少钢材做A部件,多少钢材做B 部件,恰好配成这种仪器多少套? 分析:根据题意知B部件的数量是A部件数量的3倍这一 等量关系式得方程。 解:设应用x立方米钢材做A部件,则应用(6-x)立方 米做B部件,根据 题意得方程: 40x×3=(6-x) ×240 解方程,得 X=(6-x) ×2 3x=12 X=4 6-x=2 答:应用4立方米钢材做A部件,应用2立方米钢材做B 部件。 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率= 工作时间= 工作量=人均效率×人数×时间 工作总量 工作时间 工作总量 工作效率 例2. 整理一批图书,由一个人做要40h完成。现计划 由一部分人先做4h,然后增加2人与他们一起做8h,完成 这项工作。假设这些人的工作效率相同,具体应先安 排多少人工作? 分析:解这类问题常常把总工作量看作1,并利用 “工作量=人均效率×人数×时间”的关系解题。 解:设安排x人先做4h,则根据题意列方程为: 解方程,得 12x=24 x=2 答:应安排2人先做4h. 方法总结: 解这类问题常常把总工 作量看作1,并利用“工 作量=人均效率×人数× 时间”的关系解题。 解方程,得 4x+8(x+2)=40 4x+8x+16=40 归纳小结: 实际问题 设未知数,列方程 一元一次方程 实际问题的答案 解 方 程 一元一次方程的解 (x= a)检验 这一过程包括设、列、解、检、答等步骤,即设未知数, 列方程,解方程,检验所得结果,确定答案。正确分析 问题中的相等关系是列方程的基础。 思考? • 商品销售中的盈亏问题里有哪些量? 成本价(进价) 标价 销售价 利润 盈利 亏损 利润率 = 售价—进价 售价、进价、利润的关系式: 利润 进价、利润、利润率的关系: 利润率= 进价 利润 ×100%= 销 售 中 的 盈 亏 利润 售价—进价 ×100% 标价、折扣数、商品售价关系 : 售价= 标价× 折扣数 10 商品售价、进价、利润率的关系: 进价×(1±利润率)售价= 销 售 中 的 盈 亏 某商店在某一时间以 每件60元的价格卖出两件 衣服,其中一件盈利25﹪, 另一件亏损25﹪,卖这两 件衣服总的是盈利还是亏 损,或是不盈不亏? ¥60 ¥60 1.这一问题情境中有哪些已 知量?哪些未知量?如何设未 知数?相等关系是什么? 2.如何判断是盈是亏? 销售中的盈亏 某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其 中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是 盈利还是亏损,或是不盈不亏?         分析:售价=进价+利润 售价=(1+利润率)×进价 解:设盈利25%的那件衣服的进价是x元, 另一 件 的进价为y元,依题意,得 x+0.25x=60 解得 x=48 y-0.25y=60 解得 y=80 60+60-48-80=-8(元) 答:卖这两件衣服总的亏损了8元。 (1)随州某琴行同时卖出两台钢琴,每台售价为960 元。其中一台盈利20%,另一台亏损20%。这次琴行 是盈利还是亏损,或是不盈不亏? (2)某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元, 其中一个盈利60%,另一个亏本20%.这次交易中的 盈亏情况? 分组探讨 : 1、某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售, 仍获利10%, 则该商品的标价为 元. 解:设该商品标价为x元,则 x-1980×80%=1980×10% 答:则该商品的标价为2722.5元. 解:设在2005年涨价前的价格为 x 元. (1+0.3)×(1-0.7)x = a 解得 x= 2、我国政府为解决老百姓看病难的问题,决定下调药品 的价格,某种药品在2012年涨价30%后,2013降价70%至 a元,则这种药品在2012年涨价前价格为 元. 39 100a 答:在2005年涨价前价格为 元。 39 100a 小结: 通过本节课的学习你有哪些收获?你还 有哪些疑惑? 下表中有两种移动电话计费方式 月使用费/元 主叫限定时间 /分 主叫超时费 (元/分) 被叫 方式一 58 150 0.25 免费 方式二 88 350 0.19 免费 考虑下列问题: (1)设一个月内移动电话主叫为t min(t是正整数)。 根据上表,列表说明:当t在不同时间范围内取值时,按 方式一和方式二如何计费。 (2)观察你的列表,你能从中发现如何根据时间选择 省钱的计费方式吗? 通过计算验证你的看法 (一)思考: ①猜一猜,使用哪一种计费方式合算?跟什么有关? ②从表格数据中,你能把主叫时间分为几部分? ③你能分别把主叫时间不同的话费情况用含t的代数式表 示出来吗? ④一个月内在本地通话200分和300分,按两种计费方式 各需交费多少元? ⑤对于某个本地通话时间,会出现两种计费方式的收费 一样的情况吗?如果有这一时间,那么如何分别表示收 费表达式呢?(等量关系“收费相等”) ⑥你能根据表格判断两种收费方式哪种更合算吗? ⑦你的父母各有一部手机,父亲业务繁忙,通话时间比 较长,母亲家庭主妇,通话时间短,你能帮助你的父母 设计一个省钱的方案吗? 主叫时间t/min 方式一计费/元 方式二计费/元 t 查看更多

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