天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 人教版（2012） / 七年级上册 / 第三章 一元一次方程 / 人教版七年级数学上册第3章一元一次方程
资料简介
第三章 一元一次方程
3.1一元一次方程
问题
一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公
路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡
车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过
B地，A,B两地间的路程是多少？
17060
xx
设A、B两地相距x km,则根据题意得：
1.算术方法解决应怎样列算式：
2.如果设A,B两地相距x km，那么客车从A 地到B地
的行驶时间为 ，货车从A地到B地的行驶时间
为 。
3.客车与货车行驶时间的关系是:
4.根据上述相等关系，可列方程为 。
5、对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如
果能，你依据的是哪个相等关系？
方程的定义：含有未知数的等式叫做方程.
判断方程的条件
1、含有未知数
2、是等式
讨论交流
算术方法: 列出的算式表示解题的计算过程,其中只
能 用已知数.对于较复杂的问题,列算式比较困难.
列方程(代数方法): 方程是根据题中的等量关系列出的
等式.其中既含已知数,又含未未知数.使问题的已知量
与未知量之间的关系很容易表示,解决问题就比较方便.
什么叫方程 ?
含有未知数的等式叫方程。
什么是方程的解呢？
使得方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.
1、x=2是2x=4的解吗？
2、x=3是2x-1=7的解吗？
用一根长为24cm的铁丝围成一个正方形，正方形
的边长为多少？（只列方程）
等量关系：正方形的周长=边长×4
4x=24
一台电脑已经使用1700h，预计每个月再使用150 h，经过多少个
月这台电脑的使用时间达到规定的检修时间2450 h？（只列方程）
已知量
未知量
等量关系 原来使用时间+还可以使用的时间=规定
的检修时间
1700+150x=2450
1、已经使用了1700 h; 2、预计每月再使用
150 h；3、这台电脑规定检修时间是2450 h
这台电脑还能用几个月达到规定的检修时
间
我校女生人数占全体学生数的52%，比男生多80
人，我们学校有多少学生？（只列方程）
等量关系：
女生数--男生数=80 或
女生数=男生数+80 或
女生数-80=男生数
52％ x-(1-52％)x=80或
52％x=(1-52％)x+80或
52％x-80=(1-52％)x
构建方程解决实际问题的关键是什么？
一般步骤又是什么呢？
找等量关系
分析题意 找等量关系 设未知数
根据等量关系列方程
以下五个方程具有什么样的共同特征呢？
2x+5=27 1700+150x =2450
52％ x -(1-52％) x =80 ④ 4x=24
1、都只含有一个未知数;
2、未知数的次数都是1
一元一次方程的概念：
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这
样的方程叫做一元一次方程。
b a
a = b
右左
b a
a = b
c
右左
cb
a
右左
a = b
a
cb
右左
a = b
cb
ca
右左
a = b
cb ca
a+c b+c=
右左
a = b
c c ab
右左
a = b
c
右左
学科网
b
a
a = b
c
右左
b a
a = b
右左
b a
a = b
a-c b-c=
右左
b a
a = b
等式的性质１：等式的两边加
（或减）同一个数（或式子），
结果仍相等．
b a
右左
ab
2a = 2b
a = b
b a
a = b
右左
b b b b
b
b a aaaa a C个 C个
ac = bc
b a
右左
a = b
回答：(1)从x=y能否得到x+5=y+5？为什么
(2)从x=y能否得到 ?为什么？
等式的性质２：等式的两边乘同一个数，或除以同
一个不为０的数，结果仍相等．
可以，由等式性质1可得
可以，由等式性质2可得
9 9
x y
(3)从a+2=b+2能否得到a=b？为什么？
中学学科网
(4)从-3a=-3b能否得到a=b？为什么？
可以，由等式性质1可得
可以，由等式性质2可得
267)1( x 2052 x
解:（1）两边减7得
72677 x
19x所以：
（2）两边同时除以-5得
5
20
5
5
x
4x所以：
453
1)3( x
解：两边加5，得 54553
1 x
93
1 x
27x
化简得：
两边同乘-3，得
约公元825年，中亚细亚数学家
阿尔—花拉子米写了一本代数书，
重点论述怎样解方程。这本书的拉
丁译本为《对消与还原》。“对消”
与“还原”是什么意思呢？
实际问题 一元一次方程
设未知数 列方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相
等关系列出方程，是解决实际问题的一种数学方法.
某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前
年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍．前年这个学
校购买了多少台计算机？
分析:设前年这个学校购买了计算机x台，则去年购买
计算机2x台，今年购买计算机4x台，
根据问题中的相等关系：
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台
列得方程
x + 2 x +4 x = 140 思考：怎样解
这个方程呢？
2 4 140x x x
分析：解方程，就是把方
程变形，变为 x = a（a为
常数）的形式。
合并同类项
系数化为1
想一想：上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？
根据等式的性质２
合并同类项起到了“化简”的作用，即把含有
未知数的项合并，从而把方程转化为ax=b，使其更
接近x=a的形式(其中a,b是常数) 。
合并同类项的作用：
实际问题 一元一次方程
设未知数
列方程
思考：如何列方程？分哪些步骤？
一.设未知数
二.分析题意找出等量关系
三.根据等量关系列方程
862
52)1( xx
364155.135.27)2( xxxx
合并同类项，得)1( 22
1 x
，得系数化为1 4x
解下列方程
解：
例2 有一列数，按一定规律排成1，-3, 9 ，-27, 81，-
243，...其中某三个相邻数的和是-1701，这三个数各是
多少？
解：后面一个数都是前一个数的 -3 倍，设某三个相
邻的数第一个是 x ，则第二、第三个分别是 -3x , 9x，
所以
x - 3x+9 x= -1701
解得
x = -243
解下列方程
3 0.3 0.5 10x x
(4)6 1.5 2.5 3m m m
1 5 2 9x x
1 32 72 2x x
请欣赏一首诗：
太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼；
一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；
剩下十五围着我，共有多少请算清。
你能列出方程来解决这个问题吗？
1 1 152 4x x x
一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，
它的全部，加起来总共是33。求这个数。
解：设这个数是x，则：
把一些图书分给某班同学阅读，如果每人3本，则剩
余20本；若每人4本，则还缺少25本，这个班的学生有多
少人？
问题
分析：设这个班有x名学生，这批书共有（3x+20）
本,或这批书共有（4x－25）本。
表示同一个量的两个不同的式子相等（即：这批书的
总数是一个定值）
3x+20=4x－25
1、使方程右边不含 x 的项
2、使方程左边不含常数项
等式两边减4x，得：
3x+20－4x=4x－25－4x
3x+20－4x=－25
3x+20－4x－20=－25－20
等式两边减20，得：
3x－4x=－25－20
3x－4x=－25－20
3x+20 = 4x－25
上面方程的变形，相当于把原方程左边的20变为－
20移到右边，把右边的4x变为－4x移到左边.
把某项从等式
一边移到另一
边时有什么变
化？
解方程中“移项”起了什么作用？
通过移项，含未知数的项与常数项分别列于方程
的左右两边，使方程更接近于 x = a 的形式.
像上面那样，等式一边的某项变号后移到另一
边，叫做移项。
3 20 4 25x x
3 4 25 20x x
45x
45x
移项
合并同类项
系数化为1
例2 解方程
(1)3 7 32 2x x
3(2) 3 12x x
42
1
1
255
73223
)1(
x
x
xx
，得系数化为
合并同类项，得
移项，得
8
1
42
1
312
3
)2(
x
x
xx
，得系数化为
合并同类项，得
移项，得解：
例4 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排
量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺，则废
水排量比环保限制的最大量少100t.新、旧工艺的废水
排量之比为2︰5，两种工艺的废水排量各是多少？
分析：因为新，旧工艺的废水排量之比为2:5，所以可
设它们分别为2x t和5x t，再根据它们与环保限制的最
大量之间的关系列方程。
解：设新、旧工艺的废水排量分别为 2xt 和 5xt
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得
5x-200=2x+100
移项，得 5x-2x =100+200
合并同类项，得 3x=300
系数化为1，得x =100
所以
2x =200 5x =500
答：新、旧工艺生产的废水排量分别为200 t和500 t。
练习 解下列方程
(1)6 7 4 5;x x 1 3(2) 62 4x x
(3)5 2 7 8;x x 3 5(4)1 3 ;2 2x x
某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，
月平均用电量减少2000度，全年用电15万度，这个
工厂去年上半年每月平均用电多少度？
分析：若设上半年每月平均用电x度，
则下半年每月平均用电 度
上半年共用电 度，
下半年共用电 度。
等量关系：
所以,可列方程 。
（x-2000）
6（x-2000）
6x
6x+ 6（x-2000）=150000
上半年用电+下半年用电=全年用电15万度
解：设上半年每月平均用电x度，则下半年每月平均用电（x-
2000）度,上半年共用电6x度，下半年共用电6（x-2000）度。
根据题意列方程得：
6x+ 6（x-2000）=150000
去括号得： 6x+6x-12000=150000
移项得： 6x+6x=150000+12000
合并同类项得： 12x=162000
系数化为1得：x=13500
答:这个工厂去年上半年每月平均用电13500度。
解一元一次方程的步骤：
移项
合并同类项
系数化为1
去括号
例1 解方程 2x-(x+10)=5x+2(x-1)
解: 去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
2x-x-10=5x+2x-2
2x-x-5x-2x=-2+10
－6x = 8
X=-4/3
例2 解方程 3x-7(x-1)=3-2(x+3)
解: 去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
3x-7x+7=3-2x-6
3x-7x+2x=3-6-7
－2x =－10
x=5
解方程
20)33(27 xx②
)4(123234 xxx③
29)5(25 bb①
13
17242
16 xxx④
)(2)(3 axaxa 1、关于 x 的方程 的解为-1，
则a的值为（ ）
2、甲、乙两人登一座山，甲每分钟登高10米，
并且先出发30分钟，乙每分钟登高15米，两人同
时登上山顶。甲用多少时间登山？这座山有多高？
例2 一艘船从甲码头到乙码头顺流航行,用了2 小时;从
乙码头到甲码头逆流航行,用了2.5小时;已知水流的速度
是3千米/小时,求船在静水中的平均速度是多少千米/小
时?
分析:等量关系
甲码头到乙码头的路程=乙码头到甲码头的路程
也就是:
顺航速度___顺航时间=逆航速度___逆航时间××
解： 设船在静水中的平均速度为 x km/h，则顺流速
度为（x+3）km/h，逆流速度为（x-3）km/h。
根据往返路程相等，列得
2（x+3）=2.5（x-3）
去括号，得
2x+6=2.5x-7.5
移项及合并同类项，得
0.5x=13.5
系数化为1，得
x=27
答：船在静水中的平均速度为27 km/h。
3.大箱子装洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装
在4个大小相同的小箱子里，装满后还剩余2千克洗
衣粉，则每个小箱子装洗衣粉的千克数为（ ）
A． 6.5 B．7.5 C. ８.5 D. ９.5
4、某物品标价为130元, 若以9折出售,仍可获利10%,
则该物品进价约是( )
A. 105元 B. 106元 C. 108元 D. 118
元
C
B
1．会用去分母的方法解含分母的一元一次 方程．
2．会检验方程的解及总结解方程的一般步骤.
解有分数系数的一元一次方程的步骤：
1．去分母；
2．去括号；
3．移项；
4．合并同类项；
5．系数化为1．
主要依据：等式的性质和运算律等．
以上步骤是不是
一定要顺序进行，
缺一不可？
这件珍贵的文物是纸莎草文书，是古代埃及人用
象形文字写在一种特殊的草上的著作，至今已有3700
多年的历史了，在文书中记载了许多有关数学的问
题．
问题： 一个数，它的
三分之二，它的一半，它
的七分之一，它的全部，
加起来总共是33．试问这
个数是多少？
你能解决这个问题吗？
解：设这个数为x，可得方程：
337
1
2
1
3
2 xxxx
为使方程变为整系数方程，方程两边应该
同乘以什么数？
各分母的最小公倍数 42．
解：去分母，得
28x＋21x＋6x＋42x＝1386．
合并同类项，得
97x＝1386．
系数化为1，得
1 386x = .97
1 386答 : 这个数为 .97
例3 解下列方程：
1 21=22 4
x x
1 2 13 32 3
x xx
（1）
（2）
4
1
123
42282
28422
-284-12
1
x
x
xx
xx
xx
，得系数化为
合并同类项，得
移项，得
去括号，得
）（）（
）去分母，得（
25
23
1
2325
32184318
24183318
)12(218)1(318
1
x
x
xxx
xxx
xxx
，得系数化为
合并同类项，得
移项，得
去括号，得
）去分母，得（解：
1、解方程 2 3
3 3
x x
观察：这个方程有什么特点？应该怎么解？
2 3 13 3
x x 2、解方程
观察：这个方程有什么特点？又应该怎么解？
• 解方程
解：去分母，得 2y-(y-2)=6
去括号，得 2y-y+2=6
移项，得 2y-y=6-2
合并同类项 y=4
2 13 6
y y
去分母时须注意：
1.确定分母的最小公倍数；
2.不要漏乘没有分母的项；
3.去掉分母后，若分子是多项式，应该多项式
（分子）添上括号，视多项式为一整体．
• 1.解一元一次方程的步骤:
(1)去分母 (2)去括号 (3)移项 (4)合并同
类项 (5)系数化为1.
• 2.解方程的五个步骤在解题时不一定都需要,可根
据题意灵活的选用.
• 3.去分母时不要忘记添括号,不漏乘不含分母的项.
例1、某车间有22名工人，每人每天可以生产1200
个螺钉或2000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母，为
使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺
钉和螺母的工人各多少名？
分析：每天生产的螺母数量是螺钉数量的（2倍）
时，它们刚好配套。
5(22-x)=6x,
110-5x=6x,
11x=110
X=10
22-x=12
答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。
方法规律：
生产调配问题通常从调
配后各量之间的倍、分
关系寻找相等关系，建
立方程。
解：设应安排x名工人生产螺钉，（22-x)名工人生产螺母
2000(22-x)=2×1200x
解方程，得
练习
1、一套仪器由一个A部件和三个B部件构成。用1立方米
钢材可做40个A部件或240个B部件。现要用6立方米钢
材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B
部件，恰好配成这种仪器多少套？
分析：根据题意知B部件的数量是A部件数量的3倍这一
等量关系式得方程。
解：设应用x立方米钢材做A部件，则应用（6-x)立方
米做B部件，根据 题意得方程：
40x×3=(6-x) ×240
解方程，得 X=(6-x) ×2
3x=12
X=4 6-x=2
答：应用4立方米钢材做A部件，应用2立方米钢材做B
部件。
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=
工作时间=
工作量=人均效率×人数×时间
工作总量
工作时间
工作总量
工作效率
例2. 整理一批图书，由一个人做要40h完成。现计划
由一部分人先做4h,然后增加2人与他们一起做8h,完成
这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体应先安
排多少人工作？
分析：解这类问题常常把总工作量看作1，并利用
“工作量=人均效率×人数×时间”的关系解题。
解：设安排x人先做4h，则根据题意列方程为：
解方程，得
12x=24
x=2
答：应安排2人先做4h.
方法总结：
解这类问题常常把总工
作量看作1，并利用“工
作量=人均效率×人数×
时间”的关系解题。
解方程，得 4x+8(x+2)=40
4x+8x+16=40
归纳小结：
实际问题 设未知数，列方程 一元一次方程
实际问题的答案
解
方
程
一元一次方程的解
（x= a)检验
这一过程包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数，
列方程，解方程，检验所得结果，确定答案。正确分析
问题中的相等关系是列方程的基础。
思考？
• 商品销售中的盈亏问题里有哪些量?
成本价(进价) 标价 销售价
利润 盈利 亏损 利润率
= 售价—进价
售价、进价、利润的关系式：
利润
进价、利润、利润率的关系：
利润率= 进价
利润 ×100%=
销
售
中
的
盈
亏 利润
售价—进价 ×100%
标价、折扣数、商品售价关系 :
售价＝ 标价× 折扣数
10
商品售价、进价、利润率的关系：
进价×（1±利润率）售价=
销
售
中
的
盈
亏
某商店在某一时间以
每件60元的价格卖出两件
衣服,其中一件盈利25﹪，
另一件亏损25﹪，卖这两
件衣服总的是盈利还是亏
损，或是不盈不亏?
￥60 ￥60
1.这一问题情境中有哪些已
知量?哪些未知量?如何设未
知数?相等关系是什么？
2.如何判断是盈是亏？
销售中的盈亏
某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其
中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是
盈利还是亏损，或是不盈不亏？
分析：售价=进价+利润
售价=(1+利润率)×进价
解：设盈利25%的那件衣服的进价是x元, 另一 件
的进价为y元，依题意，得
x+0.25x=60 解得 x=48
y－0.25y=60 解得 y=80
60+60－48－80=－8(元)
答：卖这两件衣服总的亏损了8元。
（1）随州某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960
元。其中一台盈利20%，另一台亏损20%。这次琴行
是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
（2）某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，
其中一个盈利60%，另一个亏本20%.这次交易中的
盈亏情况？
分组探讨 :
1、某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，
仍获利10%, 则该商品的标价为 元.
解：设该商品标价为x元，则
x-1980×80%=1980×10%
答：则该商品的标价为2722.5元．
解:设在2005年涨价前的价格为 x 元.
（1+0.3）×（1－0.7）x = a
解得 x=
2、我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品
的价格，某种药品在2012年涨价30%后，2013降价70%至
a元，则这种药品在2012年涨价前价格为 元.
39
100a
答：在2005年涨价前价格为 元。
39
100a
小结:
通过本节课的学习你有哪些收获？你还
有哪些疑惑？
下表中有两种移动电话计费方式
月使用费/元 主叫限定时间
/分
主叫超时费
（元/分）
被叫
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 0.19 免费
考虑下列问题：
（1）设一个月内移动电话主叫为t min（t是正整数）。
根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按
方式一和方式二如何计费。
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据时间选择
省钱的计费方式吗？
通过计算验证你的看法
（一）思考：
①猜一猜，使用哪一种计费方式合算？跟什么有关？
②从表格数据中，你能把主叫时间分为几部分？
③你能分别把主叫时间不同的话费情况用含t的代数式表
示出来吗？
④一个月内在本地通话200分和300分，按两种计费方式
各需交费多少元？
⑤对于某个本地通话时间，会出现两种计费方式的收费
一样的情况吗？如果有这一时间，那么如何分别表示收
费表达式呢？（等量关系“收费相等”）
⑥你能根据表格判断两种收费方式哪种更合算吗？
⑦你的父母各有一部手机，父亲业务繁忙，通话时间比
较长，母亲家庭主妇，通话时间短，你能帮助你的父母
设计一个省钱的方案吗?
主叫时间t/min 方式一计费/元 方式二计费/元
t
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