资料简介
第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率
随机事件
②明天，地球还会转动
③煮熟的鸭子，飞了 ④在0 0C下，这些雪融化
下列现象哪些是必然发生的，哪些是不可能发生的？
①木柴燃烧,产生热量
①可能出现哪些点数？
请考虑以下问题：掷一次骰
子，在骰子向上的一面上
②出现的点数大于0吗？
③出现的点数会是7吗？
④出现的点数会是4吗？
质地均匀的骰子
tóu
这两个问题的结果有什么共同点？
抽到的序号是1吗？ 出现的点数是4吗？
在一定条件下，可能发生也可能不发生的
事件，称为随机事件.
可能发生也可能不会发生
冠军属于外国选手是不可能事件
冠军属于王楠是随机事件
冠军属于中国是必然事件
我国运动员张怡宁、王楠在最后决赛
中会师
冠军属于中国
冠军属于王楠
冠军属于外国选手
（5）经过城市中某一有交通信号灯的路口，
遇到红灯；
（4）度量三角形的内角和，结果是360°；
（3）掷一枚骰子，向上的一面是6点；
（2）篮球队员在罚线上投篮一次，未投中；
下列事件中，哪些是必然发生的，哪些是不可能
发生的，哪些是随机事件。
（1）通常加热到100℃时，水沸腾； 必然事件
随机事件
随机事件
不可能发生
随机事件
（6）汽车累积行驶1万公里,从未出现故障。 随机事件
现在有一个盒子，4个黄球，
3个白球，每个球除颜色外
全部相同。 请你们按要求把
球放入盒子中：
①任意摸出一球是黄球是不可能事件
②任意摸出两球，一个是黄球，一个是
白球是必然事件
③任意摸出三个球，两个是黄球，
一个是白球是随机事件
摸球游戏
• 在 一 定 条 件 下 必 然 发 生 的 事 件 ， 叫 做 必 然 事 件 ；
• 在 一 定 条 件 下 不 可 能 发 生 的 事 件 ， 叫 做 不 可 能 事 件 ；
• 在 一 定 条 件 下 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 的 事 件 ， 叫 做 随 机 事 件 ；
概率的意义
温故知新
下面的一些事件是什么事件？
（1）“导体通电时，发热”；
（2）“抛一块石头，下落”；
（3）“标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；
（4）“在常温下，焊锡熔化”；
（5）“某人射击一次，中靶”；
（6）“掷一枚硬币，出现正面”。
在同样条件下，随机事件可能发生，也可能
不发生，那么它发生的可能性有多大呢？这
是我们下面要讨论的问题。
我们从抛掷硬币这个简单问题说起。
实验：让学生以同桌为一小组，每人抛掷50次，
记录正面朝上的次数。
表1 抛掷硬币试验结果表
抛掷次数
（n）
正面向上次数
（频数m)
频率（m/n)
2048
4040
12000
24000
30000
72088
1061
2048
6019
12012
14984
36124
0.5181
0.5069
0.5016
0.5005
0.4996
0.5011
抛掷次数（n) 2048 4040 12000 24000 30000
正面朝上次数(m) 1061 2048 6019 12012 14984
频率(m/n) 0.518 0.506 0.501 0.5005 0.4996
历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验，结
果如下表所示：
探索研究
结论：当抛硬币的次数很多时,出现下面的频率值是
稳定的,接近于常数0.5,在它附近摆动.
某乒乓球质量检查结果表
抽取球数n 50 100 200 500 1000 2000
优等品数m 45 92 194 470 954 1992
优等品频率m/n 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
概率的定义：
• 一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的
频率m/n稳定在某个常数p的附近，那么这个常数就
叫做事件A的概率，记作P（A）=P.
必然事件的概率和不可能事件的概率分别是多少呢？
P(必然事件)＝1
P(不可能事件)＝0
• 记随机事件A在n次试验中发生了m次，那么有0≤m≤n,
0≤m/n≤1
于是可得 0≤P(A) ≤1.
显然，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
大家试验，抛掷一个骰子，它落地
时向上的的数为1的概率是多少？
第二十五章 概率初步
25.2 用列举法求概率
在一次试验中，如果可能出现的结果只有____个，
且各种结果出现的可能性大小____，我们可以通过列
举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。
有限 相等
当一次试验要涉及两个因素(如:同时掷两个骰子）
或一个因素做两次试验（如:一个骰子掷两次）并
且可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出
所有可能的结果，通常可以采用列表法，也可以用
树形图。
由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张,它可能
出现的结果有36个,它们出现的可能性相等。
解：根据题意，画出如下树形图：
由树形图可以看出,在两堆牌中分别取一张,有36
种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等。
因为P(A) < P(B),所以如果我是小亮,我不愿意接 受这个游戏的规则。 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出 现的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所 有可能的结果,通常采用列表法. 一个因素所包含的可能情况 另一个 因素所 包含的 可能情 况 两个因素所组合的 所有可能情况,即n 在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个 数m,最后代入公式计算. 列表法中表格构造特点: 当一次试验 中涉及3个因 素或更多的 因素时,怎么 办? 想一想，什么时候用“列表法”方便，什么时候用 “树形图”方便？ 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 当一次试验涉及两 个因素时，且可能 出现的结果较多时， 为不重复不遗漏地 列出所有可能的结 果，通常用列表法 A C D E H I H I H I B C D E H I H I H I B C H A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C I B D H B D I B E H B E I 当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表法就不方 便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树形图 例2.同时抛掷三枚硬币,求下列事件的概率: (1) 三枚硬币全部正面朝上; (2) 两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上; (3) 至少有两枚硬币正面朝上. 解:由树形图可以看出,抛掷3枚硬币有8种可能的结果, 并且它们发生的可能性都相等. (1)满足三枚硬币全部正面朝上(记为事件A)的结果有 1种 (2)满足两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上(记为事 件B)的结果有3种 (3)满足至少有两枚硬币正面朝上(记为事件C)的结 果有4种 第二十五章 概率初步 25.3 用频率估计概率 用列举法求概率的条件是什么? n mAP (1)实验的所有结果是有限个(n) (2)各种结果的可能性相等. 当实验的所有结果不是有限个;或各种可能结果发生的 可能性不相等时.又该如何求事件发生的概率呢? 25.3 用频率估计概率 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果. 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 350 投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 251 投中频率（ ）m n 把全班同学分成10组，每组同学掷一枚硬币100次，整理 同学们获得的试验数据，并记录在表中. 第一组的数据填在 第一列，第一、二组的数据之和在第二列，…，10个组的 数据之和填在第10列. 根据上表中的数据，在图中标注出对应的点. 0.5 1 100200 300 400 600 800 900500 700 1000 “正面向上”的频 率 n m 请同学们根据试验所得数据想一想：“正面向上” 的频率有什么规律？ 在抛掷一枚硬币时，结果不是“正面向上”就是“反 面向上”，因此，从上面提到的试验中也能得到相应“反 面向上”的频率. 当“正面向上”的频率逐渐稳定到0.5 时，“反面向上”的频率呈现什么规律吗？容易看出， “反面向上”的频率也相应地稳定到0.5，于是我们也用 0.5这个常数表示“反面向上”发生的可能性的大小，至 此，试验验证了我们的猜想：抛掷一枚质地均匀的硬币时， “正面向上”与“反面向上”的可能性相等（各占一半）. 因为在n次试验中，事件A发生的频数m满足 0≤m≤n，所以 ，进而可知频率 所稳定到的常数p满足0≤p≤1， 因此0≤P(A) ≤1。 n m10 n m 上面我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了 随机事件发生的可能性的大小. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常 数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p . 事件一般用大写英文字 母A，B，C…表示 历史上，有人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，他们的试验结果见表 试验者 抛掷次数（n） “正面向上” 次数（m） “正面向上” 频率（ ） 莫弗 2048 1061 0.518 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 n m 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势 有何规律？ 在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5的左右摆动. 从一定的高度落下的图钉，落地后可能图钉尖着地， 也可能图钉尖不找地，估计一下哪种事件的概率更 大，与同学合作，通过做实验来验证一下你事先估 计是否正确？ 你能估计图钉尖 朝上的概率吗？ 【拓展】 你能设计一个利用频 率估计概率的实验方法估算 该不规则图形的面积的方案 吗? 了解了一种方法----用多次试验频率去估计概率 体会了一种思想： 用样本去估计总体 用频率去估计概率 弄清了一种关系------频率与概率的关系 当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,一件事 件发生的频率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以 用一件事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
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