资料简介
第二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
分别指出下面的方程叫做什么方程？
(l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；(3)
34
3
5
xx
解：（1）一元一次方程；
（2）二元一次方程；
（3）分式方程.
一、新课导入
理解一元二次方程的概念及它的一般形式;
会判断一元二次方程的二次项系数、一次项
系数和常数项；理解一元二次方程的解的概念.
1
2
二、学习目标
三、研读课文
认真阅读课本上的内容，完成练习并体验知识点的
形成过程.
知
识
点
一
引言中的方程
① 0422 xx
请问方程是什么方程呢？
如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm，
在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将
四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如
果要制作的无盖方盒的底面积为3600,则铁皮各
角应切去多大的正方形？
问题1
设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为___________,
宽为___________,
得方程___________________.
整理得_______________②
(100-2x)cm
(50-2x)cm
(100-2x)(50-2x)=3600
x2-75x+350=0
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之
间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛
程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组
织者应邀请多少个队参赛？
问题 2
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他 ____个队
各比赛一场，可列方程 ______________
整理得________③
观察 方程①②③的共同点：
（1）这些方程的两边都是_____；
（2）都只含______未知数x；
（3）它们的最高次数都是____次的。
28)1(2
1 xx
x-1
x2-x=56
整式
一个
2
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一
个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2
（二次）的方程叫做 一元二次方程．
一元二次方程的概念
练
一
练
下列方程是一元二次方程的是_____（填序
号）.
①3x2+7=0
②3x-4=5x+6
③(x-2)(x+5)=x2-1
④3x2- =05
x
①
一元二次方程一般的形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经
过 整 理 ， 都 能 化 成 如 下 形 式 a x 2 + b x + c = 0
（a≠0）．这种形式叫做一元二次方的一般形
式．
因为当a=0时，二次项就不存在了，方程就不
再是一元二次方程了，所以规定a≠0.
一元二次方程一般的形式
根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列
方程化成一元二次方程的一般形式:
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求
正方形的边长x；
解：所列方程为：______,化成一元二次方程
的一般形式为：_______.
4x2=25
4x2-25=0
练
一
练
（2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，
求矩形的长x；
解：所列方程为：__________ ，化成一
元二次方程的一般形式为 ：__________ 。
x(x-2)=100
x2-2x-100=0
练
一
练
（3)把长为1的木条分成两段，使较短一段
的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，
求较短一段的长x.
解：所列方程为：_______,化成一元二次
方程的一般形式为：___________.
x=(1-x)2
x2+3x-1=0
练
一
练
一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2
是二次项, a是二次项系数；bx是一次项, b是
一次项系数; c是常数项。
二次项、一次项和常数项
例
题
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次
方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、
一次项系数及常数项．
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10，移项，合
并同类项，得 3x2-8x-10=0，其中二次项系数
为 3 ，一次项系数为 -8 ，常数项为-10 .
将下列方程化成一般形式，并写出其中的二
次项系数、一次项系数、常数项：
4x(x+2)=25
(3x-2)(x+1)=8x-3
814 2 c
xx 415 2
练
一
练
(2) 把 814 2 c 化为一般形式 4c2-81=0，二次项
系数为 4，一次项系数 0 ，常数项 -81．
(3) 4x(x+2)=25 把 化为一般形式4x2+8x-25=0，二次
项系数为4，一次项系数为8，常数项 -25．
(4) (3x-2)(x+1)=8x-3 把 化为一般形式 3x2-7x+1=0，
二次项系数为 3，一次项系数为 -7 ，常数项 为1．
练
一
练
(1) 把 化为一般形式 5x2-4x-1=0，
二次项系数为 5，一次项系数为 -4 ，常数项为-1．
xx 415 2
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做一
元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
一元二次方程的解（根）
下面那些数是方程 x2-x-6=0 的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
解：因为 -2 和 3 能使方程 x2-x-6=0 的左右
两边相等，所以 -2 和 3 是方程 x2-x-6=0 的
根.
练
一
练
4、学习反思：________________________.
1、等号两边都是____，只含有一个未知数，并且
未知数的最高次数是 ___的方程，叫做一元二次方
程.
2、一元二次方程的一般形式是：______________.
3、使方程____________的未知数的值，叫做一元
二次方程的解，也叫做_______________.
四、归纳总结
Thank you!
第二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第1课时
用直接开平方法解一元二次方程
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油
漆恰好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，
你能算出盒子的棱长吗？
创设情景 明确目标
这个一元二次方程有什么特点？
怎样解这个一元二次方程？
1．体会解一元二次方程降次的转化思想．
2．会利用直接开平方法解形如x 2＝p或
(mx ＋n)2＝p( p≥0)的一元二次方程．
探究点一
合作探究 达成目标
二元、三元一
次方程组
一元一次方程
一元二次方程
消元 降次
例1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油
漆恰好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你
能算出盒子的棱长吗？
10×6x2=1500
由此可得 x2=25
即 x1=5，x2=－5
可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能是负值，
所以正方体的棱长为5dm．
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为
6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
①
合作探究 达成目标
等量关系：10个正方体盒子的表面积＝油漆可刷的总面积
平方根的意义
形如x 2 = p(p≥0)的方程可用什么方法求解？
【针对练一】
解得：
【答案】
（2）对于常数p，为什么要限定条件p≥0？
一般地，对于x 2＝p
当p＞0时，方程有两个不相等的实数根，即：
当p＜0时，方程无实数根.
当p=0时，方程有两个相等的实数根，即：
探究点二
5)12)(1( 2 x 296)2( 2 xx
22 )34()43)(3( xx
例2：解方程
【思考】
①方程（1）与x 2=25这个方程有什么不同？可以直接开平方
吗？
②方程（2）与方程（1）有什么不同？怎样将方程 (2)转化
为方程（1）的形式？
③方程（3）左右两边有什么特点？怎样达到降次的目的？
对于可化为(mx ＋n)2＝p(p≥0)或（ax +b）2=(cx +d)2的方
程，可以用直接开平方发求解吗？
pnmx
1.当方程的一边容易变形为含未知数的完全平方式，另一边
是非负数时，可以用直接开平方法求解，
即：对于(mx ＋n)2＝p(p≥0)，得：
)( dcxbax
2.若两边都是完全平方式，
即：（ax +b）2=(cx +d)2，得
【针对练二】
5.方程（2x -1)2=(x +2)2的解为： x1=3, x2=
DD
1/5
D
1. 降次的实质：将一个二次方程转化为两个一次
方程；
降次的方法：直接开平方法；
降次体现了：转化思想；
2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：
先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式，右
边是非负数的形式，再利用平方根的定义求解.
总结梳理 内化目标
达标检测 反思目标
可以
可以
可以
不可以
可以
达标检测 反思目标
2.
3.
4.
-1 -5
解：
达标检测 反思目标
2)1( 22 kx 3x5.已知方程 的一个根是 ,
求k的值和方程的另一个根。
2)13( 22 k
3x 2)1( 22 kx解：把 代入 得：
2k解得：
4)1( 2 x原方程为：
1,3 21 xx所以方程的根为：
即方程的另一个根为-1
第二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
一元二次方程根与系数的关系
创设情景 明确目标
• 1．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由
已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系
数．
• 2．在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形
后）含有两根和与两根积的代数式的值，并从中体会
整体代换的思想．
探究点一 一元二次方程的根与系数的关系的推导
合作探究 达成目标
- -1
a
acbbx 2
42
1
a
acbbx 2
42
2
x1+x2=
a
acbb
2
42
a
acbb
2
42 +
=
a
b
2
2 = -
x1x2= ·
a
acbb
2
42
a
acbb
2
42
=
24
2)42(2)(
a
acbb = 24
4
a
ac =
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
推
论
1
【针对训练1】
-3 1
D
例1. 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程
两根 的和与积.1 2,x x
2 2
2
1 6 15 0 2 3 7 9 0
3 5 1 4
x x x x
x x
合作探究 达成目标
探究点二 一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)方程（3）与方程（1）（2）在形式上有何区
别 ？
u【小组讨论2】
(1)在求两根的和与积时，必须将方程怎样处理 ？
【针对训练2】
A
C
4.已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实
数根分别为x1＝－2，x2＝4，则m＋n的值是（ ）
A．－10 B．10 C．－ 6 D． 2
5.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2，则另一个
根为：（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【针对训练2】
C
总结梳理 内化目标
达标检测 反思目标
D
0
3
-2
第二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第3课时 公式法
创设情景 明确目标
请用配方法解方程：x2-x-1=0
1．理解一元二次方程求根公式的推导．
2．会用求根公式解简单数字系数的一元二次方
程．
3．理解一元二次方程的根的判别式，并会用它判
别一元二次方程根的情况．
任何一元二次方程都可以写成一般形式
2 0 0ax bx c a （ ）.
2 .ax bx c
2 .b cx xa a
2 2
2 ,2 2
b b c bx xa a a a
你能否也用配方法得出①的解呢？
二次项系数化为1，得
配方
即
2 2
2
4 .2 4
b b acx a a
①
②
移项，得
探究点一 一元二次方程根的判别式的应用
因为a≠0,4a2>0,当b2－4ac＞0时，所以方程有两个不相等的实数
根 2 4 .2 2
b b acx a a
2 4 .2
b b acx a
2 2
1 2
4 4, .2 2
b b ac b b acx xa a
由②式得
当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根
a
bxx 221
当b2－4ac＜0时，方程没有实数根
（1）一元二次方程根的判别式与根的情况有何关系？
（2）如何用根的判别式不解方程判断方程根的情况？
Ø 活动二：交流思考下面的问题 ：
当 时，方程有两个不相等的实根；
当 时，方程有两个相等的实根；
当 时，方程没有实根.
b 2 - 4ac＞0
b 2 - 4ac = 0
b 2 - 4ac＜0
u【小组讨论1】
一元二次方程根的判别式在使用时应注意什么 ？
【针对训练1】
A
2
-1
1.（2015重庆）已知一元二次方程
则该方程根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数
D．无实数根
（2015青岛）关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根，求m的取值范围.
一元二次方程 2 0 0ax bx c a （ ）.
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程
时，可以先将方程化为一般形式 ，当
2 4 0b ac
2 0 ax bx c
2 4
2
b b acx a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，
一元二次方程最多有两个实数根．
时，将a，b，c 代入式子
探究点二 用公式法解一元二次方程
例2：用公式法解下列方程 ：
探究点二 用公式法解一元二次方程
u【小组讨论2】
用公式法解一元二次方程的前提条件是什么 ？
【针对训练2】
C
(2)（2015大连）x2－6x－4=0 .
总结梳理 内化目标
达标检测 反思目标
A
D
4
-3 -5
a≥-1
解：
第二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第2课时 用配方法解一元二次方程
1.解下列方程：
(1)2x²=8
(2)(x+3)²-25=0
(3)9x²+6x+1=4
2.你能解这个方程吗？
x²+6x+4=0
直接开
平方法
1．理解配方的基本过程，会运用配方法解一元二
次方程．
2．经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，
体会转化的数学思想．
回顾与复习
因式分解的完全平方式，你还记得吗?
.2
;2
)(
)(
222
222
baba
baba
ab
ab
完全平方式
___)(
___)(
___)(
___)(
22
22
22
22
____2
1)4(
_____5)3(
_____8)2(
_____2)1(
yy
yy
xx
xx
y
y
x
x
它们之间有什么关系?
25
2
21
4
5
2
1
4
(1)x²+10x+ =(x+ )²
(2)x²-12x+ =(x- )²
(3)x²+5x+ =(x+ )²
(4)x²- x+ =(x- )²
(5)4x²+4x+ =(2x+ )²
3
2
6²
55²
6
1² 1
移项
两边加上32,使左边配成完全平方式
左边写成完全平方的形式
开平方
变成了(x+h)2=k的
形式
想一想如何解方程？
以上解法中,为什么在方程 两边加9?加其他数
行吗?
像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元
二次方程的方法,叫做配方法.
这个方程怎样
解？
变
形
为
的形式．（ａ为非负常数）
变形为x2－8x＋1＝0
(x－4)2=15
x2-8x+16=-1+16
Ø活动一：
探究点一 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
（1）解答过程都有哪些步骤？
（1）移项:把常数项移到方程的右边
（2）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方
（3）开方:根据平方根意义,方程两边开平方
（4）求解:解一元一次方程
（5）定解:写出原方程的解
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤:
（1）把常数项移到方程右边后，两边加上的常数和一次项
系数有何关系？
（2）左边的平方式中的符号与一次项系数的符号有什么关
系？
【针对练一】
36 6
4 2
16 4
（2015随州）用配方法解一元二次方程x2－6x－4=0，下列变
形正确的是（ ）
A．(x－6)2=－4+36 B．(x－6)2=4+36
C．(x－3)2=－4+9 D．(x－3)2=4+9
D
解：
探究点二 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
(1)这两个小题与活动一中的方程有什么不同？如何
将此例方程转化为活动一中方程的情形？
u配方法解一元二次方程应注意些什么 ？
在用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，通
常是先让方程的各项除以二次项系数，即把这类方程转
化为例1中的方程类型；
解一元二次方程的基本思路
把原方程变为(x+n)2＝p的形式 (其中n、p是常数）
当p≥0时，两边同时开平方，这样原方程就转化为
两个一元一次方程
二次方程 一次方程
当p
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