资料简介
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
1、如果一个正方形的边长为5,那这个正方形的面积为什么?
2、如果一个正方体的边长为4,那么这个正方体的表面积
为多少?
5s
96446 s
22.1 二次函数的图象和性质 性质
3、如果一个正方体的边长为 ,这个正方体的表面积为y,
你可以列出y关于x的表达式吗?
26 xy
问题1: n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,比赛
的场次数 与球队数 有什么关系?
(1)每个队要与其他的队比赛多少场?怎么用 来表示?n
每个队要与其他(n-1)个队比赛,所以每队应该是比
(n-1) 场。
(2)把每个队要比赛的场次数相加,是不是就是总场数?有
重复场次吗?
现在你能得出什么关系式吗? )1(2
1 nnm
nnm 2
1
2
1 2
26xy nnm 2
1
2
1 2 204020 2 xxy
你能看出这三个式子又什么特点吗?
这三个式子都是等式,最高次是2次,有两个未知数,
并且其中一个未知数随另一个未知数变化而变化。
观察
一般地,形如
)0,,(2 acbacbxaxy 是常数,
的函数,叫做二次函数。
这些式子和一次函数有什么区别和联系呢?仿照一次函数,
你能给这样的式子下个定义吗?
(1)在这个二次函数中,哪个是自变量,哪个是函数?
的函数是是自变量, xyx
(2)你能说出二次项系数,一次项系数,常数项吗?
cba 常数项是,一次项系数是二次项系数是 ,
(3)二次项系数、一次项系数和常数项能为0吗?
二次项系数不能为0,否则就是一次函数了,一次项
系数和常数项可以为0。
一个长方形的周长为36,其中一边长为 x ,写出函数 y 与 x
的关系式,并说出二次项系数,一次项系数,常数项。
0181-
18
),18(
-18
2
,常数项是,一次项系数是它的二次项系数是
整理得:
系式:这样就可以列出函数关
),,那另一边长是(分析:其中一边长为
xxy
xxy
xx
的值是二次函数,求的函数关于 mxmyx mm 2
)1(
0
1,010
.102
2
2
m
mm
mmmm
由此
,,即二次项系数不能为
或,解得即
次,为二次函数,所以最高次分析:因为所给式子为
拓展
(1) 一次函数的图象是一条_____,反比例函数的图
象是________.
(2) 通常怎样画一个函数的图象?
直线
双曲线
(3) 二次函数的图象是什么形状呢?
列表、描点、连线
结合图象讨论性质是数形结合的研究
函数的重要方法.我们得从最简单的二次
函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的
图象和性质.
二次函数 y=ax2 的图象和性质
1. 列表:在y = x2 中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值:
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y =
x2 ··· ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y)
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
-3 3
3
6
9
0 1 4 9149
3. 如图,再用平滑曲线顺次连接各点,就
得到y = x2 的图象.
二次函数 y = x2的图象是一条曲线,它的形状类似于投篮球时球在空中
所经过的路线,只是这条曲线开口向上,这条曲线叫做抛物线 y = x2
-3 3
3
6
9
二次函数的图象都是抛物线, 它们的开口或者向上或者向下.一般地,
二次函数 y = ax2 + bx + c(a≠0)的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
实际上,每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫
做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴,抛物线y = x 2 与它的对称轴的交
点(0,0)叫做抛物线y = x2 的顶点,它是抛物线y = x 2 的最低
点.
函数 的图象与函数 y=x2 的图象相比,有什么
共同点和不同点?
相同点:开口都向上,顶点是原
点而且是抛物线的最低点,对称
轴是 y 轴
不同点:a 要越大,抛物线的开
口越小.
观察
你画出的图象与图中相同吗?
探究
画出函数 的图象,并考虑这
些抛物线有什么共同点和不同点.
222 2,2
1, xyxyxy
-2 2
-2
-4
-6
4-4
-8
对比抛物线,y=x2和
y=-x2.它们关于x轴
对称吗?一般地,抛
物线y=ax2和y=-ax2
呢?
二次函数y=ax2的性质
1.顶点坐标与对称轴
2.位置与开口方向
3.增减性与最值
根据图形填下表:
2xy
2xy
抛物线 y=x2 y =-x2
顶点坐标 (0,0) (0,0)
对称轴 y轴 y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方(除顶点外)
开口方向 向上 向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x
的增大而减小. 在对
称轴的右侧, y随着x
的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x
的增大而增大. 在对称轴
的右侧, y随着x的增大而
减小
最值 当x=0时,最小值为0 当x=0时,最大值为0.
一般地,抛物线 y=ax2 的对称轴是y轴,顶点是原点.
当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物
线的开口越小,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴右
侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a0时,函数y=a(x-h)2的图象可由
y=ax2的图象向左平移 h 个单位得到,
当h0向左平移h个单位,当h0时,向上移k个单位,当k0时, 开口向上;
当a0开口向上,对称轴为x=-3,顶点坐标为(-3,5);
(2)a=-30开口向上,对称轴为x=3,顶点坐标为(3,7);
(4)a=-50
b2-4ac 0
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 排球运动员从地面竖直向上抛 出排球,排球的高度 h(单位:m) 与排球的运动时间 t(单位:s)之 间的关系式是h= 20t - 5t 2 (0≤t≤4).排球的运动时间是多 少时,排球最高?排球运动中的最 大高度是多少? 问题 0 h t4 22.3 实际问题与二次函数 变式1:现要用60米长的篱笆围成一个矩形场地( 一边靠墙且墙长40米)。应怎样围才能使矩形的面 积s最大?最大是多少? 牛刀小试 变式2 现要用60米长的篱笆围成一个矩形场地(一边 靠墙且墙长28米)。应怎样围才能使矩形的面积s最大? 最大是多少? (1)列出二次函数的解析式,并根据自变量的 实际意义,确定自变量的取值范围; (2)在自变量的取值范围内,运用公式法或 通过配方求出二次函数的最大值或最小值。 问题: 从地面竖直向上抛出一个小球,小球的 高度 h(单位:m)与小球的运动时间 t (单位:s)之间的关系是 h=30t-5t² (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时,小 球最高?小球运动中的最大高度是多少? (1)图中抛物线的顶点在哪里? (2)这个抛物线的顶点是否是小球运动的 最高点? (3)小球运动至最高点的时间是什么时间? (4)通过前面的学习,你认为小球运行轨 迹的顶点坐标是什么? h=30t-5t²(0≤t≤6)3 45 小球运动的时间是 3 s 时,小球最高. 小球运动中的最大高度是 45 m. 30 32 2 5 bt a ( ) , 2 24 30 454 4 5 ac bh a ( ) . 问题: 从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度 h(单 位:m)与小球的运动时间 t(单位:s)之间的关系 是 h=30t-5t²(0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时, 小球最高?小球运动中的最大高度是多少? 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低(高)点, 当 时,二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小 (大) 值 2 bx a 24 4 ac by a 如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小(大)值? 用总长为 60 m 的篱笆围城一个矩形场地,矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化. (1)你能求出S与L之间的函数关系吗? 答:S= l(30- l )=- l ²+ 30 l (0< l
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