资料简介
北师大版八年级数学上册第一章同步测试题及答案
1 探索勾股定理
一、选择题。
1. 直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则下列关于a，b，c三边的关系式不正确的是（ ）
A. b2=c2﹣a2 B. a2=c2﹣b2 C. b2=a2﹣c2 D. c2=a2+b2
2. 一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A. 斜边长为5 B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为25 D. 三角形的面积为20
3. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ）
A. 48 B. 60 C. 76 D. 80
4. 在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（ ）
A. 18 B. 9 C. 6 D. 无法计算
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5，BC=12，则AB的长为（ ）
A. 5 B. 12 C. 13 D. 15
6. 若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（ ）
A. S1=S2 B. S1＜S2 C. S1＞S2 D. 无法确定
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ）
A. 365 B. 1225 C. 94 D. 334
9. 直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
二、填空题。
10. 在Rt△ABC中，∠B=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a=12，b=13，则c的值为______．
11. 甲船以15海里/时的速度离开港口向北航行，乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距______海里．
12. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2=4，S3=6，则S1=______．
13. 如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是______．
14. 如图，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB，EF=10cm，则CE2+CF2=______．
15. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=9，则AB=______．
16. 等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是______cm．
17. 如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt△ABF中，∠AFB=90°，AF=4，AB=5．四边形EFGH
的面积是______．
18. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=______．
三、解答题。
19. 如图，测得某楼梯的长为5m，高为3m，宽为2m，计划在表面铺地毯，若每平方米地毯50元，你能帮助算出至少需要多少钱吗？
20. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=15cm，AC=13cm，AD=12cm，求：△ABC的面积．
21. 如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？
22. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D．
（1）求AB的长；
（2）求CD的长．
23. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出BD的长吗？
答案
一、选择题。
1.【答案】C
【解析】根据勾股定理可得：a2＋b2＝c2，故D正确；将上式变形可得：b2＝c2﹣a2，a2＝c2﹣b2，故A、B正确，所以错误的是C，故选C．
点睛：本题考查了勾股定理，熟记勾股定理的内容（直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解决此题的关键．
2.【答案】A
【解析】有勾股定理得：斜边＝32+42＝5，故A正确，C错误；三角形的周长为：3＋4＋5＝12，故B错误；三角形的面积为：12×3×4＝6，故D错误．故选A．
3. 【答案】C
【解析】∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴AB=AE2+BE2=62+82=10,∴S阴影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=
102-12×6×8=100-24=76.故选C.
考点：勾股定理.
4. 【答案】A
【解析】∵Rt△ABC中，BC为斜边，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AB2＋AC2＋BC2＝2BC2＝2×32＝18．故选A．
点睛：本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键．
5. 【答案】C
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB为斜边，由勾股定理得：AB＝AC2+BC2＝52+122＝13．故选C．
6. 【答案】B
【解析】当x为斜边时，x＝52+32＝34；当5为斜边时，x＝52−32＝4．∴x的可能值有2个：34或4；故选：B．
点睛：本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
7.【答案】A
【解析】根据圆的面积可得：；，根据直角三角形的勾股定理可得：，则.
考点：勾股定理的应用
8. 【答案】A
【解析】首先根据勾股定理可得：AB=，根据等面积法可得：点C到AB的距离为：(9×12)÷15=.
考点：（1）、勾股定理；（2）、等面积法
9. 【答案】D
【解析】设一直角边长为x，另一直角边长为y，∵直角三角形的周长为12，斜边长为5，∴x＋y＝7①，由勾股定理得：x2＋y2＝25②，①两边平方得x2＋y2＋2xy＝49，整理得xy＝12，∴面积S＝12xy＝12×12＝6．故选：D．
二、填空题。
10.【答案】5
【解析】∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∴b为斜边，∴由勾股定理知，c＝b2−a2＝132−122＝5．故答案是：5．
点睛：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
11. 【答案】50
【解析】如图所示，甲、乙两船行驶的方向正好构成直角三角形，OA＝15×2＝30海里，OB＝20×2＝40海里，由勾股定理得AB＝OA2+OB2＝302+402＝50海里．
12. 【答案】2
【解析】∵△ABC中，∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2，∴BC2＝AC2－AB2，∵BC2＝S1、AB2＝S2＝4，AC2＝S3＝6，∴S1＝S3－S2＝6－4＝2．故答案为：2．
点睛：本题考查的是勾股定理及正方形的面积公式，先根据勾股定理得出AB、BC及AC之间的关系是解答此题的关键．
13. 【答案】54cm2
【解析】根据勾股定理，得直角三角形的另一条直角边是152−122＝9（cm）．则直角三角形的面积＝12×12×9＝54（cm2）．故答案为：54cm2．
14. 【答案】100cm2
【解析】∴∠MCF＋∠MCE＝90°，
即∠ECF＝90°，由勾股定理得：CE2＋CF2＝EF2＝102＝100（cm2）；故答案为：100cm2．
15.【答案】15
【解析】AB=92+122=15
16.【答案】8
【解析】如图，AD是BC边上的高线．∵AB=AC=10cm，BC=12cm，∴BD=CD=6cm，∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD=AB2−BD2=102−62=8cm．故答案是：8．
考点：1．勾股定理；2．等腰三角形的性质．
17. 【答案】1
【解析】因为AB＝5，所以S正方形ABCD＝5×5＝25．Rt△ABF中，AF＝4，AB＝5，则BF＝52−42＝3，所以SRt△ABF＝12×3×4＝6，四个直角三角形的面积为：6×4＝24，四边形EFGH的面积是25－24＝1．故答案为1．
18. 【答案】3
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=AC2+BC2=62+82=10，∵AD平分∠CAB，∴CD=DE，∴S△ABC=12AC•CD+12AB•DE=12AC•BC，即12×6•CD+12×10•CD=12×6×8，解得CD=3．
考点：1．角平分线的性质，2．勾股定理
三、解答题。
19. 【答案】至少需要700元．
【解析】试题分析：将每阶楼梯的横向线段和纵向线段分别向下和向右平移，则横向线段和纵向线段的和分别为直角三角形的两直角边长，根据勾股定理求得直角三角形下面直角边的长为4m，则楼梯表面所铺地毯是一个长为（4＋3）m，宽为2m的长方形，据此即可计算出答案．
解：由勾股定理得：直角三角形下面直角边长为52−32＝4m，
将每阶楼梯的横向线段和纵向线段分别向下和向右平移，则横向线段和纵向线段的和分别为直角三角形的两直角边长，
∴地毯的长度为4＋3＝7（m），地毯的面积为：7×2＝14（m2），
即：至少要购买地毯14平方米．
需要的费用为：14×50＝700（元）．
答：至少需要700元．
点睛：此题主要考查了生活中的平移现象和勾股定理，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
20. 【答案】84cm2．
【解析】由AD⊥BC可知，△ADB和△ADC都是直角三角形，根据勾股定理分别求得BD和CD的长，进而求出BC的长.根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积.
解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴BD2＝AB2－AD2＝81，∴BD＝9，
CD2＝AC2－AD2＝25，
∴CD＝5，
∴BC＝BD＋DC＝14，
∴△ABC的面积＝12×BC×AD＝84cm2．
21. 【答案】（1）5；（2）24.
【解析】根据勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方直接进行计算即可．
解：（1）根据勾股定理得：x2＝32＋42＝9＋16＝25，
解得：x＝5或x＝－5（舍去），
则x＝5；
（2）根据勾股定理得：252＝72＋x2，即x2＝576，
解得：x＝24或x＝－24（舍去），
则x＝24．
22. 【答案】（1）AB=25；（2）CD=6.72.
【解析】（1）利用勾股定理解得AB的长，再利用三角形的面积公式推出CD的长。
23. 【答案】15cm.
【解析】根据勾股定理求出AB，由折叠的性质知CD＝DE，AC＝AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理列出关于BD的方程即可求出BD的长．
解：由勾股定理得，AB＝AC2+BC2＝30．
由折叠的性质知，AE＝AC＝18，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°．
∴BE＝AB－AE＝30－18＝12，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE2＋BE2＝BD2
即（24－BD）2＋122＝BD2，
解得：BD＝15cm．
点睛：本题考查的知识点：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．
2一定是直角三角形吗
一．选择题（共10小题）
1. 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对
2. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A. a=1.5，b=2，c=3 B. a=7，b=24，c=25
C. a=6，b=8，c=10 D. a=3，b=4，c=5
3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6 B. 1，1，2 C. 6，8，11 D. 5，12，23
4. 在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（ ）
A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 不确定
6. 线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A. a=7，b=24，c=25 B. a=41，b=4，c=5
C. a=54 ，b=1，c=34 D. a=40，b=50，c=60
7. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A. 北偏西30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60°
8. 有五组数：①25，7，24；②16，20，12；③9，40，41；④4，6，8；⑤32，42，52，以各组数为边长，能组成直角三角形的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
①a=3，b=4，c=5；②a=6，∠A=45°；③a=2，b=2，c=22；④∠A=38°，∠B=52°．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC的面积等于（ ）
A. 108cm2 B. 90cm2 C. 180cm2 D. 54cm2
二．填空题（共10小题）
11. 如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于_ _．
12. 三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形是_ _三角形（直角、锐角、钝角）．
13. 有一根长24cm的小木棒，把它分成三段，组成一个直角三角形，且每段的长度都是偶数，则三段小木棒的长度分别是_ _cm， cm， cm．
14.下列四组数：①4,5,8；②7,24,25；③6,8,10；④，，2.其中可以为直角三角形三边长的有 .（把所有你认为正确的序号都写上）
15. 我们把符合等式a2+b2=c2 的a、b、c三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能发现其中规律吗？请完成下列空格．
3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，__，__；…
16. 若△ABC得三边a，b，c满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC的形状为__．
17. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为__cm2．
18. 一个零件的形状如图，工人师傅量得这个零件的各边尺寸（单位：dm）如下：AB=3，AD=4，BC=12，CD=
13，且∠DAB=90°，这个零件的面积为 ．
19. 如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，则四边形ABCD的面积是__．
20. 小明有两条长分别是3厘米和4厘米的小木棒，当他再找一根长度为__厘米的小木棒时，可以使这三根木棒刚好拼成一个直角三角形．
三．解答题（共10小题）
21. 如图在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°，求∠DAB的度数．
22. 一块试验田的形状如图，已知：∠ABC=90°，AB=4m，BC=3m，AD=12m，CD=13m．求这块试验田的面积．
23. 如图，点E在正方形ABCD内，AE=6，BE=8，AB=10．试求出阴影部分的面积S．
24. 如图：∠ADC=90°，AD=12，CD=9，AB=39，BC=36，求四边形ABCD的面积．
25. 如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．
26. 如图，有一块土地形状如图所示，∠B=90°，AB=BC=4，CD=6，AD=2，请计算这块土地的面积．
27. 已知：△ABC中，AB=13，BC=10，中线AD=12，求证：AB=AC．
28. 在△ABC中，D为BC的中点，AB=5，AD=6，AC=13．试判断AD与AB的位置关系．
29. 去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成一所综合大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距5km的A、B两地之间修筑一条笔直的公路，已知在C地有一个以C为圆心，半径为2km
的果园，而且AC=4km，BC=3km，问：计划修筑的这条公路会不会穿过该果园？为什么？
30. 设点E，F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，BE=3EC，F为CD的中点，连结AF，AE，EF．问△AEF是什么形状的三角形？请说明理由．
答案
一．选择题
1. 【答案】A
【解析】∵正方形小方格边长为1，∴BC=42+62=213，AC=22+32=13，AB=12+82=65，在△ABC中，∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．故选A．
考点：１．勾股定理的逆定理；２．勾股定理．
2. 【答案】A
【解析】如果两条较小的边的平方和等于较大边的平方，则这个三角形就是直角三角形.A选项中a2+b2≠c2，这这个三角形不是直角三角形.
3. 【答案】B
【解析】根据勾股定理的逆定理即可判断.因为42+52≠62 ，所以4，5，6 不能构成直角三角形，所以A选项错误；因为12+12=(2)2 ，所以能构成直角三角形，所以B选项正确；因为62+82≠112 ，所以6，8，77 不能构成直角三角形，所以C选项错误；因为52+122≠232 ，所以5，12，13 不能构成直角三角形，所以D选项错误；故选B.
4.【答案】C
【解析】①因为∠A+∠B=∠C,则2∠C=180°,∠C=90°，所以△ABC是直角三角形；②因为∠A:∠B:∠C=1:2:3,设∠A=x,则x+2x+3x=180,x=30°,∠C=30°×3=90°，所以△ABC是直角三角形；③因为∠A=90°−∠B,所以∠A+∠B=90°,则∠C=180°−90°=90°，所以△ABC是直角三角形；④因为3∠A=2∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=13∠C
+12∠C+∠C=180°,∠C=1080011，所以三角形为钝角三角形。所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个。故选：C.
点睛：本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出每种情况的∠C的度数是解此题的关键.三角形内角和定理的应用：①直接根据两已知角求第三个角；②根据三角形中角的关系，用代数方法求第三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.
5. 【答案】C
【解析】当第三边是斜边时，根据勾股定理得，第三边的长为32+42=5；当第三边是直角边时，根据勾股定理得，第三边的长为42−32=7.故选C.
6.【答案】D
【解析】A、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B、42+52=（41）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、12+（34）2=（54）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、402+502≠602，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选D．
考点：勾股定理的逆定理．
7. 【答案】C
【解析】如图，根据题意得OA=40×15=600，OB=40×20=800，因为6002=360000，8002=640000，10002=1000000，360000+640000=1000000.所以6002+8002=10002.所以∠AOB=∠AOB=90°，所以∠BOS=∠B′ON=60°，所以乙客轮的航行方向可能是南偏东60°或北偏西60°.故选C.
8. 【答案】C
【解析】因为72+242=252；122+162=202；92+402=412；42+62≠82；（32）2+（42）2≠（52）2，所以能组成直角三角形的个数为3个.故选C.
本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，已知一个三角形三边的长，常用勾股定理的逆定理判断这个三角形是否是直角三角形.
9. 【答案】C
【解析】①a=3，b=4，c=5，∵32+42=25=52，∴满足①的三角形为直角三角形；②a=6,∠A=45°，只此两个条件不能断定三角形为直角三角形；③a=2,b=2,c=22 ，∵22+22=8=222 ，∴满足③的三角形为直角三角形；④∵∠A=38°,∠B=52°，∴∠C=180°−∠A−∠B=90°，∴满足④的三角形为直角三角形。综上可知：满足①③④的三角形均为直角三角形。故选C.
点睛:根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”或“有一个角是直角”，由此即可得出结论．
10.【答案】D
【解析】∵92+122=152，∴根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，两直角边为9和12，所以△ABC的面积=12×9×12=54(cm2).故选D.
点睛:根据勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形,再根据直角三角形的面积公式即可求解．
二．填空题
11. 【答案】96
【解析】如图，连接AC ，在Rt△ADC中，CD=6，AD=8，则AC=62+82=36+64=100=10.在△ ABC中，AB=26，BC=24，AC=10，则BC2+AC2=242+102=576+100=676=262=AB2 ,故△ ABC为直角三角形.
S阴影=S△ABC−S△ADC=12×24×10−12×8×6=120−24=96 .故本题的正确答案应为96.
12. 【答案】直角
【解析】（a+b）2﹣c2=2ab，a2+2ab+b2-c2=2ab，a2+b2=c2，所以此三角形是直角三角形.故答案为直角.
13. 【答案】 6 8 10
【解析】设直角三角形的三边长为x-2，x，x+2，则（x-2）2+x2=(x+2)2，解得，x=0(舍)或x=8.则x-2=8-2=6，x+2=8+2=10.故答案为6； 8； 10.
14.【答案】②③④
【解析】因为42+52≠82；72+242=252；62+82=102；22+22=22，所以可以为直角三角形三边长的有②③④.
故答案为②③④.
15. 【答案】 60 61
【解析】勾股数的第一个数是奇数，第三个数比第二个数大1，且第二个数是偶数，注意到4=2×1×2；12=2×2×3，24=2×3×4；40=2×4×5；60=2×5×6，60+1=61.故答案为(1). 60 ； (2). 61
16.【答案】等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
【解析】因为（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，所以a-b=0或a2+b2=c2，所以△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.
17.【答案】120
【解析】可设三角形的三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x=60，解得x=2，所以三角形三边长分别为10,24,26.因为102+242=262（cm2）.
考点：方程思想；勾股定理的逆定理；直角三角形的面积公式.
18. 【答案】36
【解析】连接BD，由勾股定理得BD的长，由勾股定理的逆定理判断△BCD是直角三角形，然后分别求出这两个直角三角形的面积.连接BD，∵AB=3，AD=4，∠DAB=90°，∴BD===5，∵BC
=12，CD=13，∴BD2+BC2=CD2，∴∠DBC=90°．∴四边形ABCD的面积=×3×4+×5×12=36．这个零件的面积是36平方分米．
19.【答案】144
【解析】如图，连接AC，因为∠B=90°，所以AC2=AB2+BC2=62+82=100.因为AC2+CD2=AD2，所以∠ACD=90°.
所以S△ABC=12AB×BC=12×6×8=24；S△ACD=12AC×CD=12×10×24=120.所以四边形ABCD的面积为S△ABC+S△ACD
=24+120=144.故答案为144.
点睛：本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，当已知一个四边形的四边长和一个角是直角求四边形的面积时，通常连接一条对角线，将四边形分成两个三角形，将勾股定理和勾股定理的逆定理结合起来解题.
20.【答案】5或7
【解析】因为这个直角的第三边的长不确定是直角边还是斜边，所以需要分类讨论：当第三边是斜边时，根据勾股定理得，第三边的长为32+42=5；当第三边是直角边时，根据勾股定理得，第三边的长为42−32=7.故答案为5或7.
三．解答题（共10小题）
21. 【答案】135°
解：连接AC，
∵∠B=90°，AB=BC=2，∴AC==2，∠BAC=45°，
又∵CD=3，DA=1，∴AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，
∴AC2+DA2=CD2，∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD=90°，∴∠DAB=45°+90°=135°．
22. 【答案】36
【解析】连接AC，根据勾股定理得出△ABC和△ACD都是直角三角形，然后根据直角三角形的面积计算法则得出答案.
解：连接AC 根据勾股定理可得：AC=5m
∵AD=13m，CD=13m ∴△ACD为直角三角形
∴S=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36(平方米)
考点：勾股定理
23. 【答案】76
【解析】先判断△ABE是直角三角形，再用正方形的面积-直角△ABE的面积即可求解.
解：在△ABE中，∵AE=6，BE=8，AB=10，62+82=102，
∴△ABE是直角三角形，
∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE=AB2﹣×AE×BE=100﹣×6×8=76．
24.【答案】324
【解析】连接AC，在Rt△ACD中，由勾股定理求出AC的长，由勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，然后分别求这两个直角三角形的面积.
解：连接AC，
∵∠D=90°，AD=9，CD=12，∴AC=15，
在△BCA中，BC2+AC2=152+362=392=AB2，∴△BCA是直角三角形，
∴S四边形ABCD=AC•BC+AD•CD，=×9×12+×36×15，=54+270=324．
答：四边形ABCD的面积是324．
25.【答案】24
【解析】连接AC，根据解直角△ADC求AC，求证△ACB为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=△ABC面积-△ACD面积即可计算．
解：如图，连接AC，
∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，∴AC==5，∴S△ACD=6，
在△ABC中，∵AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴Rt△ABC的面积=30，∴四边形ABCD的面积=30-6=24．
考点：1．勾股定理的逆定理；2．勾股定理．
26.【答案】8+42
【解析】连接AC，在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长，由勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形，然后分别求这两个直角三角形的面积.
解：连接AC，
∵∠B=90°，AB=BC=4，∴，
∴，
∵CD2=62=36，∴AC2+AD2=CD2，∴∠DAC=90°，
∴S△ABC=，
∴S△ADC=，
∴这块土地的面积=．
27. 【解析】由勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，再根据线段垂直平分线的性质即可得证.
解：∵AD是△ABC的中线，BC=10，∴BD=DC=BC=5．
∵BD2+AD2=52+122=132=AB2，∴AD⊥BC，
∵AD是△ABC的BC边的中线，
∴AD是BC的中垂线，
∴AB=AC．
28.【答案】AD⊥AB
【解析】延长AD至E，使得AD=DE，连接BE，则易证△ADC≌△EDB（SAS），得EB=AC，在△ABE中由勾股定理的逆定理判断△ABE是直角三角形.
解：延长AD至E，使得AD=DE，连接BE，
∵D为BC的中点，∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，，
∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB=AC=13，
∵AD=6，∴AE=12，
∵52+122=132，∴AB2+AE2=EB2，
∴∠BAE=90°，∴AD⊥AB．
29.【答案】不会穿过
【解析】先由勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，再由三角形的面积公式求出点C到AB的距离即可.
解：计划修筑的这条公路不会穿过该果园，理由如下：
∵BC2+AC2=32+42=52=AB2，∴△ABC为直角三角形，
作CD⊥AB于D点，
∴S△ABC=BC•AC=AB•CD，即：3×4=5•CD，解得CD=2.4，
∵2.4＞2，∴不会穿过．
30. 【答案】△AEF是直角三角形
【解析】分别在Rt△ABE，Rt△ECF，Rt△FDA中用勾股定理求出AE，EF，AF的长，再根据勾股定理的逆定理判断△AEF是直角三角形.
解：∵AB=4，BE=3EC，∴EC=1，BE=3，
∵F为CD的中点，∴DF=FC=2，
∴EF==，AF==2，AE==5．
∴AE2=EF2+AF2．
∴△AEF是直角三角形．
点睛：本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理及正方形的性质，在正方形中一定存在有直角三角形，所以判断一个三角形是否是直角三角形，往往需要结合使用勾股定理和勾股定理的逆定理.
3勾股定理的应用
一、选择题（共8小题）
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3．将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA、BC为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为（ ）
A. 3π B. 3π C. 9π D. 6π
2. 为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（ ）
A. 0.7米 B. 0.8米 C. 0.9米 D. 1.0米
3. 小华和小刚兄弟两个同时从家去同一所学校上学，速度都是每分钟走50米．小华从家到学校走直线用了10分钟，而小刚从家出发先去找小明再到学校（均走直线），小刚到小明家用了6分钟，小明家到学校用了8分钟，小刚上学走了个（ ）
A. 锐角弯 B. 钝角弯 C. 直角弯 D. 不能确定
4. 如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A. 5≤a≤12 B. 5≤a≤13 C. 12≤a≤13 D. 12≤a≤15
5. 一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（ ）组．
A. 13，12，12 B. 12，12，8 C. 13，10，12 D. 5，8，4
6. 如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）
A. 3m B. 5m C. 7m D. 9m
7. 如图，带阴影的长方形面积是（ ）
A. 9 cm2 B. 24 cm2 C. 45 cm2 D. 51 cm2
8. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A. 521 B. 25 C. 105+5 D. 35
二、填空题（共5小题）
9. 如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是______．
10. 如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等干4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是______cm．（π取3）
11. 如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM=3，BN=5，MN=15，则AC+BC=______．
12. 如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm、和103cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是______cm．
13. 如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm，A点在内壁距杯口2cm处，在A点正对面的外壁距杯底2cm的B处有一只小虫，小虫要到A处饱餐一顿至少要走______cm．（杯子厚度忽略不计）
三、解答题（共4小题，满分38分）
14. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
15. 如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
16. 有一个长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm的长方体铁盒，铁盒内能放入的最长的木棒长为多少？
17. 印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅”
请用学过的数学知识回答这个问题．
答案
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】圆环的面积=π•AB2-π•BC2=π（AB2-BC2），在直角△ABC中，根据勾股定理得到AC2=AB2-BC2，因而圆环的面积是π•AC2=9π．故选C．
考点：圆的认识．
2. 【答案】A
【解析】由题意分析，满足2.5是该直角三角形的斜边，所以需要满足条件x2+2.42=2.52⇒x=0.8，故选B
考点：勾股定理
点评：本题属于对勾股定理的基本知识的理解和运用以及分析
3. 【答案】C
【解析】∵小华从家到学校走直线用了10分钟，速度是每分钟走50米，∴小华家到学校的直线距离=50×
10=500（米）；∵小刚到小明家用了6分钟，∴小刚到小明家的距离=50×6=300（米）；∵小明家到学校用了8分钟，∴小明家到学校的距离=50×8=400（米）．∵3002+4002=5002，∴小刚上学走了个直角弯．故选C．
4. 【答案】C
【解析】a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：52+122=13．即a的取值范围是12≤a≤13．故选C．
5. 【答案】C
【解析】等腰三角形的高把等腰三角形分成两个直角三角形，腰为斜边，高和底边长一半为直角边，因此由三角形的三边关系及勾股定理即可解答.每组线段中最长线段为腰，另两条线段中一条为高，一条为底.利用三角形的三边关系判定即可得到哪条是底边，哪条是高.通过验证只有选项C符合题意.
考点：等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理
点评：综合运用等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理、三角形三边关系定理进行判断．
6.【答案】A
【解析】连接OA，交⊙O于E点，在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，所以OA=BO2+AB2=10.又因为OE=OB=6，所以AE=OA-OE=4．因此选用的绳子应该不大于4，故选A．
7.【答案】C
【解析】由图可知，△ABC是直角三角形，∵AC=8cm，BC=12cm，∴AB=BC2−AC2=172−82=15cm，∴S阴影=15×3=45cm2．故选C．
8. 【答案】B
【解析】将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，（1）如图①，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得：AB=AD2+BD2=152+202=625=25．（2）如图②，BC=5，AC=20+10=30，由勾股定理得，AB=AC2+BC2=52+302=925=537．（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图③.∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=
10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=BD2+AD2=102+252=529；由于25＜529＜537
，故选B．
① ② ③
点睛：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
二、填空题
9. 【答案】54cm2
【解析】根据勾股定理，得直角三角形的另一条直角边是152−122＝9（cm）．则直角三角形的面积＝12×12×9＝54（cm2）．故答案为：54cm2．
10.【答案】20
【解析】本题考查的是两点之间线段最短先将图形展开，再根据两点之间线段最短及勾股定理即可得到结果．如图，将圆柱体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，根据题意可得：AC是圆周的一半，，
11.【答案】17
【解析】以MN为轴作A点对称点A′，连接A′B交MN于C，则A′B就是AC+BC最小值；根据勾股定理求得A′B的长，即可求得AC+BC的最小值．作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，则AC+BC=A′C+
BC=A′B，A′B就是AC+BC的最小值；延长BN使ND=A′M，连接A′D，∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴AA′∥BD，
∴四边形A′DNM是矩形，∴ND=AM=3，A′D=MN=15，∴BD=BN+ND=5+3=8，∴A′B==17，∴AC+BC=17，
故答案为17．
考点：轴对称-最短路线问题．
12. 【答案】5
【解析】由题意知：盒子底面对角长为62+82=10cm，盒子的对角线长：102+(103)2=20cm，细木棒长25cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是：25-20=5cm．
考点：勾股定理的应用．
13.【答案】10
【解析】将圆柱的侧面展开成平面，其形状是一个矩形，如图是展开图的一半，将A点对称到A′点，线段A′B的长就是所求的最短距离，在Rt△A′BE中，BE=12×12=6cm，A′E=AE+AA′=8cm，则AB=BE2+AE2=
10cm，小虫要到A处饱餐一顿至少要走10cm．
三、解答题
14.【答案】12cm
【解析】本题设旗杆高为x m，表示出绳子的长，利用勾股定理列出方程即可.
解：设旗杆的高AB为x m,则绳子AC的长为(x+1) m.
在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,
即x2+52=(x+1)2.
解得x=12.∴AB=12 m.
∴ 旗杆高12 m.
15. 【答案】15.
【解析】先根据题意，正确画出图形，还要根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算．
解：设BD=x米，则AD=（10+x）米，CD=（30-x）米.
根据题意，得：（30-x）2-（x+10）2=202，
解得x=5．
即树的高度是10+5=15米．
16. 【答案】13cm.
【解析】本题根据题目中所给的信息，可以构造出直角三角形，再利用勾股定理解答即可．
解：如图，
木棒的长为122+42+32=144+16+9=13（cm）．
17.【答案】3.5尺.
【解析】首先设湖水深x尺，则荷花(x+1)尺，然后根据勾股定理求出x的值，得出答案.
解：设湖水深x尺，则荷花(x+1)尺，根据勾股定理定理可得：
解得：x=12 即湖水深12尺.
考点：勾股定理的应用
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