资料简介
创新题型：新定义新概念新运算
1．在无穷等差数列 na 中，记 1
1 2 3 4 5 1 1,2,n
n nT a a a a a a n ，
则“存在 m N ，使得 2mmT T ”是“ na 为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若非空实数集 X 中存在最大元素 M 和最小元素 m，则记 ( )X M m ．下列命题
中正确的是（ ）
A．已知 { 1,1}X ， {0, }Y b ，且 ( ) ( )X Y ，则 2b
B．已知 [ , 2]X a a ， 2| ,Y y y x x X ，则存在实数 a，使得 ( ) 1Y
C．已知 { | ( ) ( ), [ 1,1]}X x f x g x x ，若 ( ) 2X ，则对任意 [ 1,1]x ，都有
( ) ( )f x g x
D．已知 [ , 2]X a a ， [ , 3]Y b b ，则对任意的实数 a，总存在实数 b，使得
( ) 3X Y
3．瑞士著名数学家欧拉在 1765 年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条
直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作 ABC ，
4AB AC ，点 ( 1,3)B ，点 (4, 2)C ，且其“欧拉线”与圆
2 2 2:( ) ( 3)M x a y a r 相切.则圆 M 上的点到直线 3 0x y 的距离的最小
值为（ ）
A． 2 2 B．3 2 C． 4 2 D．6
4．已知向量 , ,x y za a a a ， , ,x y zb b b b ， , ,i j k
是空间中的一个单位正交基
底．规定向量积的行列式计算：
y z y z x x z x yz y xa b a b a b i a b a b j a b a b k
, ,y z x yx z
x y z
y z x yx z
x y z
i j k a a a aa aa a a b b b bb bb b b
，其中行列式计算表示为 a b ad bcc d
，
若向量 2,1,4AB ， 3,1,2AC ，则 AB AC （ ）
A． 4, 8, 1 B． 1, 4, 8 C． 2,8, 1 D． 1, 4, 8
5．对于函数 ( )y f x ，若存在 0x ，使 0 0( ) ( )f x f x ，则点 0 0( , ( ))x f x 与点
0 0( , ( ))x f x 均称为函数 ( )f x 的“先享点”已知函数 3
16 , 0( ) ,6 , 0
ax xf x x x x
且函数
( )f x 存在 5 个“先享点”，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． (6, ) B． ( ,6) C． (0,6) D． (3, )
6．已知定义在 R 上的 Dirichlet 函数
1, ,
0, ,
xD x
x
为有理数
为无理数 2
2 , 0,
2 2, 0,
x xf x
x x x
则下列说法正确的是（ ）
A．存在 xR ，使得 D f x f D x
B．对任意的有理数 x ，总有 1D f x
C．函数 D f x 的单调性与函数 f x 的单调性是一致的
D．对任意的 xR ， f D x 的值始终为一个常数
7．高斯函数也称取整函数，记作[ ]x ，是指不超过实数 x 的最大整数，例如
[6.8] 6,[ 4.1] 5 ，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．下列关于
高斯函数 [ ]y x 的性质叙述错误的是（ ）
A． [ ]y x 值域为 Z B． [ ]y x 不是奇函数
C． [ ]y x x 为周期函数 D． [ ]y x 在 R 上单调递增
8．十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学
理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四
分集”，其操作过程如下：将闭区间[0,1] 均分为四段，去掉其中的区间段 1 1,4 2
记为
第一次操作；再将剩下的三个区间 1 1 3 30, , , , ,14 2 4 4
，分别均分为四段，并各自去
掉第二个区间段，记为第二次操作；···如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下
的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，
以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于 19
20
，则
需要操作的次数 n 的最小值为（参考数据： lg 2 0.3010,lg3 0.4771 ）（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
9．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 1 ，空气的温度是 0 ，t 分钟后
物体的温度 可由公式 0.24
0 1 0
te 求得. 把温度是100 C 的物体，放在
10 C 的空气中冷却t 分钟后，物体的温度是 45 C ，则t 约为（ ）（ ln 2 0.693 ）
A．1.69 B． 2.89 C． 4.58 D． 6.61
10．设函数 f x 的定义域为 D，如果对任意 1x D ，都存在唯一的 2x D ，使得
1 2 f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数 f x 在 D 上具有性质业 mψ ．现
有函数：
① 3f x x ; ② 3xf x ; ③ 3logf x x ; ④ tanf x x ．
其中，在其定义域上具有性质中．的函数的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
11．如图，在3 3 的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，
每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化．
例如：
若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动（ ）次
A．2 B．3 C．4 D．5
12．设数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 2
4
n
n
S
S 为常数，则称数列 na 为“吉祥数列”.则下列
数列 nb 为“吉祥数列”的有（ ）
A． nb n B． 1 ( 1)n
nb n C． 4 2nb n D． 2n
nb
13．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
上点 0 0,P x y 处的曲率半径公式为
3
2 2 22 2 0 0
4 4
x yR a b a b
，
则下列说法正确的是（ ）
A．对于半径为 R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为 R
B．椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
上一点处的曲率半径的最大值为 a
C．椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
上一点处的曲率半径的最小值为
2b
a
D．对于椭圆
2
2
2 1 1x y aa
上点 0
1 ,2 y
处的曲率半径随着 a 的增大而碱小
14．已知有限集合 1 2 3, , , , nA a a a a ，定义集合 1 , ,i jB a a i j n i j N
中的元素的个数为集合 A 的“容量”，记为 L A ．若集合 1 3A x x N ，则
L A ______；若集合 1A x x n N ，且 4041L A ，则正整数 n 的值是
______．
15．对于一个函数 y f x x D ，若存在两条距离为 d 的直线 1y kx m 和
2y kx m ，使得 1 2kx m f x kx m 在 x D 时恒成立，称函数 f x 在 D 内
有一个宽度为 d 的通道．则下列函数在 1, 内有一个宽度为 1 的通道的有
______．（填序号即可）
① 1 sin cos2f x x ；
② ln xf x x
；
③ 2 1f x x ；
④ 2 cos3f x x x ．
16．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理
论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关
键概念，定义如下：设 ( )f x 是定义在 R 上的函数，对于 0x R ，令
1 ( 1,2,3, )n nx f x n ，若存在正整数 k 使得 0kx x ，且当 0 j k 时， 0jx x ，
则称 0x 是 ( )f x 的一个周期为 k 的周期点．给出下列四个结论：
①若 1( ) xf x e ，则 ( )f x 存在唯一一个周期为 1 的周期点；
②若 ( ) 2(1 )f x x ，则 ( )f x 存在周期为 2 的周期点；
③若
12 , ,2( ) 12(1 ), ,2
x x
f x
x x
则 ( )f x 不存在周期为 3 的周期点；
④若 ( ) (1 )f x x x ，则对任意正整数 n， 1
2
都不是 ( )f x 的周期为 n 的周期点．
其中所有正确结论的序号是_________．
17．颗粒物过滤效率 是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为
out in
out
100%C C
C
，其中 outC 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：
ind./L ）， inC 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ）．某
研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了 4 次测试，
测试结果如图所示．图中点 ijA 的横坐标表示第 i 种口罩第 j 次测试时 outC 的值，纵坐标
表示第 i 种口罩第 j 次测试时 inC 的值 1,2, 1,2,3,4i j ．
该研究小组得到以下结论：
①在第 1 种口罩的 4 次测试中，第 4 次测试时的颗粒物过滤效率最高;
②在第 2 种口罩的 4 次测试中，第 3 次测试时的颗粒物过滤效率最高;
③在每次测试中，第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过滤效率高;
④在第 3 次和第 4 次测试中，第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过
滤效率低．
其中，所有正确结论的序号是__________．
18．对任意两实数 a ，b ，定义运算“ ”： 2 2 , ,
2 2 , .
a b a ba b b a a b
给出下列三个结论：
①存在实数 a ，b ， c 使得 a b b c c a ≥ 成立；
②函数 ( ) sin cosf x x x 的值域为[0,2] ；
③不等式 2 (1 ) 1x x ≤ 的解集是[1, ) ．
其中正确结论的序号是_____________．
19.定义方程 f(x)＝f′(x)的实数根 x0 叫做函数 f(x)的“新不动点”，如果函数 g(x)＝ 1
2
x2(x∈(0，
＋∞))，h(x)＝sinx＋2cosx，x∈(0，π)，φ(x)＝－ xe －2x 的“新不动点”分别为α、β、γ，
那么α、β、γ的大小关系是( )
A．α
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