天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 人教版（2012） / 八年级上册 / 第十二章 全等三角形 / 人教版八年级数学上册第十二章全等三角形
资料简介
第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质.（重点）
2.能正确表示两个全等三角形，能找准全等三角形的对应边、对应
角.（难点）
3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，并解决一些实
际问题.
学习目标
新课导入
情境导入
观察下列几组图形，他们的形状和大小有什么特点？
归 纳
1、形状相同；2、大小相同；3、能够完全重合.
新课导入
情境导入
你能举出一些生活中的形状大小都相同的例子吗？
新课讲解
知识点1 全等形
定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
思考 判断下列两组图形是不是全等形？
不是。形状不同，大小不等 不是。形状相同，大小不等
新课讲解
知识点1 全等形
思考 将△ABC沿直线BC平移得到△DEF，两个三角形之间有什么关系？
A
B C
D
E F
1、△ABC与△DEF大小相等.
2、△ABC与△DEF形状相同.
3、△ABC与△DEF完全重合.
结论：一个图形经过平移后，位置发生变化，但是
大小、形状没有发生变化，平移前后的图形是全等形.
新课讲解
知识点1 全等形
思考 将△ABC沿直线BC翻折180°得到△DBC，两个三角形之间有什么
关系？
1、△ABC与△DEF大小相等.
2、△ABC与△DEF形状相同.
3、△ABC与△DEF完全重合.
结论：一个图形经过翻折后，位置发生变化，但是
大小、形状没有发生变化，翻折前后的图形是全等形.
新课讲解
知识点1 全等形
思考 将△ABC绕点A旋转，得到△ADE，两个三角形之间有什么关系？
1、△ABC与△DEF大小相等.
2、△ABC与△DEF形状相同.
3、△ABC与△DEF完全重合.
结论：一个图形经过旋转后，位置发生变化，但是
大小、形状没有发生变化，旋转前后的图形是全等形.
新课讲解
知识点2 全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
对应顶点：点A与点D，点B与点E，
点C与点F.
对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF.
对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F.
全等三角形中的对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，重
合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对
应角.
A
B C
D
E F
新课讲解
知识点2 全等三角形
全等三角形的表示：全等用符号“≌ ”表示，读作“全等于”.
△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌ △DEF ，读作“三角形ABC
全等于三角形DEF”.
注意：书写时应把对应顶点写在相对应的位置上.
如果两个三角形全等，它们的对应边、对应角
有怎样的大小关系？
新课讲解
例 1 如图，△ABN≌ △ACM，∠B、∠C是对应角，AB和AC是对应边，
写出其他对应边及对应角.
典例分析
解：对应边：AN和AM，BN和CM.
对应角：∠ANB和∠AMC，
∠NAB和∠MAC.
B M N
A
C
新课讲解
知识点3 全等三角形的性质
如图，△ABC≌ △DEF，
AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）.
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）.
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的
对应角相等.
A
B C
D
E F
新课讲解
例 2 如图，△ABD≌ △EBC，如果AB=3cm，BC=5cm，∠D=30°，求BE，
BD的长和∠C的度数.
典例分析
解：∵△ABD≌△EBC，
∴AB=EB，BD=BC（全等三角形对应边相等），
∠D=∠C（全等三角形对应角相等）.
∵AB=3cm，BC=5cm，∠D=30°，
∴BE=3cm，BD=5cm，∠C=30°.
A B C
D
E
新课讲解
合作探究
观察下列3组全等三角形的对应边和对应角，你能得出什么结论？
A
DB
C
B
A
C
E D
B D
CE
A
△ABC≌ △DCB △ABC≌ △ADE △ABC≌△ADE
新课讲解
A
DB
C
B
A
C
E D
B D
CE
A
对应边：AB=DC，
AC=DB，BC=CB.
对应角：∠A=∠D，
∠ABC=∠DCB，
∠ACB=∠DBC.
对应边：AB=AD，
AC=AE，BC=DE.
对应角：
∠B=∠D，
∠C=∠E，
∠BAC=∠DAE.
对应边：AB=AD，
AC=AE，BC=DE.
对应角：
∠A=∠A，
∠C=∠E，
∠ABC=∠ADE.
新课讲解
1、全等三角形中，公共边一定是对应边.
2、全等三角形中，公共角一定是对应角.
3、全等三角形中，对顶角一定是对应角.
4、全等三角形中，最长的边与最长的边是对应边，最短的边与最短
的边是对应边，最大的角与最大的角是对应角，最小的角与最小的
角是对应角.
知识点3 全等三角形的性质
结论
新课讲解
5、对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角.
6、全等三角形中，对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线
相等，面积相等，周长相等.（面积相等的三角形不一定是全等三角
形，周长相等的三角形也不一定是全等三角形）
知识点3 全等三角形的性质
结论
新课讲解
练一练
下列各组图形是全等形的是（ ）1 D
新课讲解
练一练
有下列说法：
①只有两个三角形才能完全重合；
②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同 ；
③两个正方形一定是全等形；
④边数相同的图形一定能够重合.
其中错误说法的个数为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
2 错.形状大小相同的图形均能
完全重合
对
错，形状相同，大小不一定相同
错，形状大小都不一定相同
B
新课讲解
练一练
如图，△OCA≌ △OBD，点C和点B，点A和点D是对应顶点.说出
这两个三角形中相等的边和角.
3
解：∵△OCA≌ △OBD，点C和点B，点A和点D是对应顶点，
∴OC=OB，OA=OD，CA=BD，
∠A=∠D，∠C=∠B，∠COA=∠BOD.
D
O
A
BC
新课讲解
练一练
如图，△ABC≌△DEF，若∠A=100°，∠F=46°，则∠DEF等于
（ ）
A.100° B.54° C.46° D.34°
4
：∵△ABC≌ △DEF，
∴∠A=∠D，∠C=∠F.
∵∠A=100°，∴∠D=100°.
∵在△DEF中，∠F=46°，∠D=100°，
∴∠DEF=180°-∠F-∠D=34°.
分析
课堂小结
全
等
三
角
形
用全等符号“ ≌ ”表示表示方法
有关概念 对应顶点、对应边、对应角
性质 对应边相等、对应角相等
定义 能够完全重合的两个三角形
当堂小练
1.判断题：
(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等.（ ）
(2)全等三角形的周长相等，面积也相等.（ ）
(3)面积相等的三角形是全等三角形.（ ）
(4)周长相等的三角形是全等三角形.（ ）
√
√
×
×
当堂小练
（2）如图，△ABC≌ △ADE，则AB = _______，∠E = _______．若
∠BAE = 120°，∠BAD = 40°，则∠BAC = _______.
AD ∠C
80°
分析：∵△ABC≌ ADE，∴∠BAC=∠DAE
∵∠DAE=∠BAE-∠BAD
∴∠DAE=120°-40°=80°
∴∠BAC=80°
当堂小练
（3）在△ABC中，∠B = ∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，
那么在△ABC中与100°角对应相等的角是（ ）
A.∠A B.∠B
C.∠C D.∠B或∠C
分析：△ABC为等腰三角形，等腰三角形的底角不可能为钝角。
所以∠A=100°
A
D
拓展与延伸
解：（1）∵△BAD≌ ACE，∴BD=AE，AD=CE.
∵AE=AD+DE， ∴BD=AD+DE=DE+CE.
（2）当△BAD满足∠ADB=90°时，BD//CE.理由如下：
∵△BAD≌ ACE， ∴∠ADB=∠CEA.
若∠ADB=90°，则∠CEA=90°，∠BDE=90°.
∵∠BDE=∠CEA， ∴BD//CE.
如图，点A、D、E在同一条直线上，且△BAD≌△ACE.
（1）试说明BD=DE+CE；
（2）△BAD满足什么条件时，BD//CE？并说明理由.
D
B E
A
C
第十二章 全等三角形
12.2 全等三角形的判定
课时一 用“边边边”判定三角形全等
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解并掌握三角形全等判定“边边边”条件的内容.（重点）
2.熟练利用“边边边”条件证明两个三角形全等.（难点）
3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力.
学习目标
新课讲解
思考 画出△ABC和△A'B'C'，使得满足仅有一条边相等或者仅有一个角
相等，此时的△ABC和△A'B'C'全等吗？
结论：只有一条边或者一个角对应相等的两个三角
形不一定全等.
1、只有一条边相等的情况：
2、只有一个角相等的情况：
新课讲解
思考 画出△ABC和△A'B'C'，使得满足有两个相等条件，此时的△ABC
和△A'B'C'全等吗？
结论：两条边对应相等的两个三角形不一定全等.
1、有2条边相等的情况：
新课讲解
思考 画出△ABC和△A'B'C'，使得满足有两个相等条件，此时的△ABC
和△A'B'C'全等吗？
结论：两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
2、有两个角对应相等的情况：
新课讲解
思考 画出△ABC和△A'B'C'，使得满足有两个相等条件，此时的△ABC
和△A'B'C'全等吗？
结论：一条边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
3、有一条边和一个角分别对应相等的情况：
新课讲解
思考 画出△ABC和△A'B'C'，使得满足有3个相等条件，此时的△ABC和
△A'B'C'全等吗？
1、有三条边对应相等的情况.
2、有两条边和一个角对应相等的情况.
3、有一条边和两个角对应相等的情况.
4、有三个角对应相等的情况.
新课讲解
思考 先画出一个△ABC，再画出一个△A'B'C'，使得AB=A'B'，BC=B'C'，
CA=C'A'，此时的△ABC和△A'B'C'全等吗？
画法：（1）画线段BC=B'C'；
（2）分别以B'C'为圆心，BA，BC为半径画弧，
两弧交点为A'；
（3）连接线段A'B'，A'C'.
通过画图，你能得出什么样的结论？
新课讲解
知识点1 全等形的判定1
判定1：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边
边边”或者“SSS”）.
符号语言表示：在△ABC和△A'B'C'中，
AB=A'B'，
AC=A'C'，
BC=B'C'，
∴△ABC≌ △A'B'C'.（SSS）
新课讲解
例 1 在如图所示的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D
的支架.求证△ABC≌△A'B'C'.
典例分析
证明：∵点D是BC的中点，∴BD=CD.
在△ABC和△A'B'C'中，
AB=AC，
BD=CD，
AD=AD，
∴△ABC≌ △A'B'C'（SSS）.
A
B CD
AD 称为公
共边.
新课讲解
练一练
如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE.求证△ACD≌△CBE.1
D
A
B
C
E
证明：∵点C是AB的中点， ∴AC=CB.
在△ACD和△CBE中，
AD=CE，
CD=BE，
AC=CB，
∴△ACD≌ △CBE（SSS）.
新课讲解
知识点2 作一个角等于已知角
用直尺和圆规作出一个角等于已知角.
如图，已知：∠AOB.
求作：∠A'O'B'，使得∠AOB=∠A'O'B'.
作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；
新课讲解
知识点2 作一个角等于已知角
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'；
新课讲解
知识点2 作一个角等于已知角
新课讲解
练一练 工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB是一
个任意角，在边OA，OB上分别截取OM=ON.移动角尺，使角尺
两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便
是∠AOB的平分线，为什么？
证明：在△MOC和△NOC中，
OM=ON,
OC=OC,
CM=CN,
∴△MOC≌△NOC（SSS）.
∴∠MOC=∠NOC，则OC便是∠AOB的平分线.
新课讲解
练一练 如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由.
解：△ABC≌△DCB
AB=CD
AC=BD
BC=CB
∴△MOC≌ △NOC（ SSS ）.
其中BC是两个三角
形的公共边.
新课讲解
练一练
如图，点D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，利用“SSS”判
定，要使△ABF≌△ECD，还需要增加条件（ ）.
B
A
CD F
E
BF=CD 或 BD=CF
方法2
解： ∵BD=CF，∴BD+DF=CF+DF.
在△ABF和△ECD中，
AB=CE，
AF=ED，
BF=CD，
∴△ABF≌ △ECD（SSS）.
方法1
解：在△ABF和△ECD中，
AB=CE，
AF=ED，
BF=CD，
∴△ABF≌ △ECD（SSS）.
课堂小结
三
角
形
全
等
的
判
定
三边分别相等的两个三角形全等SSS
尺规作图 作一个角等于已知角
应用 利用“SSS”解决实际问题
分类探讨
只满足一个条件或者两个条件时
不能判定三角形全等
当堂小练
已知：如图，AC=FE，AD=FB，BC=DE.求证：AC//EF，DE//BC.
A C
B
D
E F
证明：∵AD=FB， ∴AD+DB=FB+BD，即AB=FD.
在△ABC和△FDE中，
AC=FE，
BC=DE，
AB=FD，
∴△ABC≌ △FDE（SSS），则∠A=∠F，∠ABC=∠FDE.
∵∠A=∠F，∠ABC=∠FDE，
∴AC//EF，DE//BC.
当堂小练
如图，AB=AD，DC=BC，求证∠B=∠D.
解： 在△ABC和△ADC中，
AB=AD，
BC=DC，
AC=AC，
∴ △ABC≌ △ADC（SSS）.
∴∠B=∠D.
当堂小练
如图，△ABC中，AB = AC，EB = EC，则由SSS可以判定（ ）
A.△ABD≌△ACD
B.△ABE≌△ACE
C.△BDE≌△CDE
D.以上答案都不对
B
D
拓展与延伸
解：作图如图所示：
作法：（1）以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，
分别交OA，OB于点 D，E；
（2）以点 C 为圆心，OD 长为半径画弧，交OB 于点 F；
（3）以点 F 为圆心，DE 长为半径画弧，
与第2步中所画的弧相交于点 P ；
（4）过C，P 两点作直线，直线 CP 即为要求作的直线.
已知∠AOB，点C是OB边上的一点，用尺规作图，画出经过点C与
OA平行的直线.
第十二章 全等三角形
12.2 全等三角形的判定
课时二 用“边角边”判定三角形全等
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解并掌握三角形全等判定“边角边”条件的内容.（重点）
2.熟练利用“边角边”条件证明两个三角形全等.（难点）
3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力.
学习目标
新课讲解
思考 画出△ABC和△A′B′C′，使得满足有两条边和一个角对应相等的条
件，此时的△ABC和△A′B′C′全等吗？
1、角夹在两条边的中间，形成两边夹一角的情况.
2、角不夹在两条边的中间，形成两边及其中一边对角的情况.
两种情况是否都能判定两个三角形全等？你能具体说明吗？
新课讲解
思考 先画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使得AB=A′B′，∠A=∠A′，
AC=A′C′（即两边及其夹角分别相等），此时的△ABC和△A′B′C′全
等吗？
画法：（1）画∠DA′E＝∠A；
（2）在射线A′D上截取A′B′＝AB，
在射线A′E上截取A′C＝AC；
（3）连接B′C′.
通过画图，你能得出什么样的结论？
D
新课讲解
知识点1 全等形的判定2
判定2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可
以简写成“边角边”或者“SAS”）.
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∴△ABC≌ △A′B′C′（SAS）.
新课讲解
例 1 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从
点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC
并延长到点E，使得CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？
典例分析
如图所示，通过连线构成了△CAB和△CDE，能
够证明△CAB≌△CDE，就能说明DE的长就是A，
B的距离.
新课讲解
解：由题可知，∠ACB=∠DCE（对顶角相等）.
在△CAB和△CDE中，
CA=CD，
∠ACB=∠DCE，
CB=CE，
∴△CAB≌ △CDE（SAS）.
∴AB=DE，即DE的长就是A，B的距离.
新课讲解
如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相
同的距离，到达C，D两地.此时C，D到B的距离相等吗？为什么？
解：C，D到B的距离相等.
∵AB是南北方向，CD是东西方向，
∴∠BAD=∠BAC=90°.
在△BAD和△BAC中，
AD=AC，
∠BAD=∠BAC，
BA=BA，
∴△BAD≌ △BAC（SAS），∴BD=BC.
AD
B
C
练一练
新课讲解
思考 先画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使得AB=A′B′，∠B=∠B′，
AC=A′C′（即两边及其中一边的对角分别相等），此时的△ABC和
△A′B′C′全等吗？
结论：两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
新课讲解
练一练
判断下列结论的对错.
（1）有两条边及一个角对应相等的两个三角形全等.
（2）如图，AD=BC，要根据“SAS”判定△ABD≌△BAC，还需
要添加的条件是（∠D=∠C）.
（3）“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角.
A
C
B
D O
错，两边及其中一边的
对角分别相等的两个三
角形不一定全等.
错，需要添加∠DAB=∠CBA
对
新课讲解
结 论
（1）一定牢记“边边角”不能判定两个三角形全等，只有两边及
其夹角分别相等才能判定两个三角形全等.
（2）在已知的两个三角形中，有两条边对应相等，一般要根据题
意去找第三条边对应相等（“SSS”），或者去找这两组边的夹角
对应相等（“SAS”）.
新课讲解
练一练
如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD.求证：△ABC≌△ADC.
证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC.
在△ABC和△ADC中，
AB=AD，
∠BAC=∠DAC，
AC=AC，
∴△ABC≌ △ADC（SAS）.
课堂小结
两边和它们的夹角分别相等的两
个三角形全等SAS
应用 利用“SAS”解决实际问题
分类探讨 两边及其夹角分别相等
两边及其中一边的对角分别相等三
角
形
全
等
的
判
定
当堂小练
如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D.
证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+FE，即BF=CE.
在△ABF和△DCE中，
AB=DC，
∠B=∠C，
BF=CE，
∴△ABF≌ △DCE（SAS）.
∴∠A=∠D.
B
D
FE
A
C
当堂小练
如图，AB=AC，利用“SAS”判定△ADC≌ △AEB，需要添加什么条件，
请证明你的结论.
由题可知：∠A=∠A，AB=AC， 利用“SAS”判定， 需
要∠A的另一对应边相等，也即是AD=AE.
在△ADC和△AEB中，
AC=AB，
∠A=∠A，
AD=AE，
∴ △ADC≌ △AEB（SAS）.
解：
当堂小练
如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB//DE，AB=DE，AF=DC.
求证：BC//EF.
证明：∵ AB//DE， ∴∠A=∠D.
∵AF=DC， ∴ AF+FC=DC+CF.即AC=DF.
在△ABC和△DEF中，
AB=DE，
∠A=∠D，
AC=DF，
∴ △ABC≌ △DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，BC//EF.
B
A D
E
C
F
D
拓展与延伸
解： DE=BF，DE//BF.
在△ADC和△CBA中，
CD=AB，
DA=BC，
AC=CA，
∴ △ADC≌ △CBA（SSS）.
∴∠DAC=∠BCA.
如图，已知AB=CD，BC=DA，E、F是AC上的两点，且AE=CF，写
出DE和BF之间的关系，并证明你的结论.
第十二章 全等三角形
12.2 全等三角形的判定
课时三 用“两角一边”判定三角形全等
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解并掌握三角形全等判定“角边角、角角边”条件的内容.（重点）
2.熟练利用“角边角、角角边”条件证明两个三角形全等.（难点）
3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力.
学习目标
新课讲解
思考 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使得AB=A′B′，
∠A=∠A′，∠B=∠B′（即两角和它们的夹边分别相等）.此时的
△ABC和△A′B′C′全等吗？
画法：1、画A′B′=AB.
2、在A′B′的同旁画∠DA′B′=∠A
∠EB′A′=∠B， A′D，B′E相交于点C′.
3、△A′B′C′即为所作三角形.
通过画图，你能得出什么样的结论？
新课讲解
如图，△A′B′C′就是所求作的三角形.
将原来的△ABC和△A′B′C′叠加在一起，能否完全重合？
C
A B
结论：有两个角及其夹边对应相等的两个三角形能够完全重合.
新课讲解
知识点1 全等形的判定3
判定3：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可
以简写成“角边角”或者“ASA”）.
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∠C=∠C′，
∴△ABC≌ △A′B′C′（ASA）.
新课讲解
例 1 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：AD=AE.
典例分析
D E
B C
A 解：在△ACD和△ABE中，
∠A=∠A （公共角），
AC=AB，
∠C=∠B，
∴△ACD≌ △ABE（ASA）.
∴AD=AE.
新课讲解
例 2 如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF.
典例分析
证明：在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D，
BC=EF，
∠B=∠E，
∴△ABC≌ △DEF（ASA）.
A
B
E
D C
F
你是不是这样证明的，错在哪里？
新课讲解
例 2 如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF.
典例分析
分析：BC，EF不是已知两对角的夹边，
在三角形中，知道两个角的关系，利用三
角形内角和定理可以求得第三个角之间的
关系.通过转化来构造“ASA”的判定条件.
A
B
E
D C
F
新课讲解
例 如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF.
证明：在△ABC和△DEF中，
∵∠A=∠D，∠B=∠E，
∠C=180°-∠A-∠B，∠F=180°-∠D-∠E，
∴∠C=∠F.
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠E，
BC=EF，
∠C=∠F，
∴△ABC≌ △DEF（ASA）.
A
B
E
D C
F
新课讲解
如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为点B，点D，∠1=∠2.
求证：AB=AD.
练一练
分析：图中的两个三角形有公共边AC，有一
对角相等可以选择“SAS”或者“ASA”.根据题
意，有AB⊥BC，AD⊥DC，则构成
∠ABC=∠ADC=90°.可以选择“ASA”，需要
将已知角转化成两角及其夹边，即可求证.
A
B
C
D
1 2
新课讲解
如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为点B，点D，∠1=∠2.
求证：AB=AD.
练一练
A
B
C
D
1 2
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC， ∴∠ABC=∠ADC=90°.
∵在△ABC和△ADC中，∠1=∠2，∠ABC=∠ADC，
∴∠ACB=∠ACD.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2，
AC=AC（公共边），
∠ACB=∠ACD，
∴△ABC≌ △ADC（ASA）， ∴AB=AD.
新课讲解
练一练 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取
AB的垂线BF上的两点C，D，使得BC=CD.再画出BF的垂线DE，使得
E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？
A
B
C D F
E
┐
┐
分析：根据题意构造出两个直角三角形，利
用全等三角形的性质得出对应边相等.注意题
目中隐藏一对对顶角，根据“ASA”证明两个三
角形全等即可得出题目要求的结论.
新课讲解
练一练 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB
的垂线BF上的两点C，D，使得BC=CD.再画出BF的垂线DE，使得E与A，
C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？
A
B
C D F
E
┐
┐
解：由题可知：AB⊥BC，ED⊥DC，
则∠ABC=∠EDC=90°.
在△ABC和△EDC中，
∠ABC=∠EDC，
BC=DC，
∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌ △EDC（ASA）.
∴AB=ED，则DE的长就是AB的长.
新课讲解
练一练 如下图，已知∠B=∠D，DC=BC，还需要给出什么条件，即可用
学过的判定得出△ABC≌ △EDC.根据哪个判定？
C
E
A
D
B
（1）条件（ ），
根据（ ）.
（2）条件（ ），
根据（ ）.
AB=ED
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
∠ACB=∠ECD
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
新课讲解
思考 两角分别相等且其中一组等角的对边相等，这样的两个三角形全等吗？
在△ABC和△A'B'C'中，使得AB=A'B'，∠C=∠C'，∠B=∠B'.
此时的△ABC和△A'B'C'全等吗？
A
B
B'
A' C
C'
请选用已经学过的全等三角形的判定来证明
△ABC和△A'B'C'全等.
新课讲解
已知，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠C=∠C′，∠B=∠B′.
证明△ABC≌△A′B′C′.？
A
B
B'
A' C
C'
证明：∵∠C=∠C′，∠B=∠B′，
∠A=180°-∠B-∠C，
∠A′=180°-∠B′-∠C′，
∴∠A=∠A′.
在△ABC和△A′B′C′中，
∠A=∠A′，
AB=A′B′，
∠B=∠B′，
∴△ABC≌ △A′B′C′（ASA）.
新课讲解
知识点1 全等形的判定4
判定4：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三
角形全等.（可以简写成“角角边”或者“AAS”）.
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
∠A=∠A′，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∴△ABC≌ △A′B′C′（AAS）.
要按照”角—角—边“的顺序书写.
新课讲解
例 1 如图，在△ABC和△ADC中，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DAC.
求证：△ABC≌△ADC.
典例分析
解：在△ABC和△ADC中，
∠B=∠D，
∠BAC=∠DAC，
AC=AC（公共边），
∴△ABC≌ △ADC（AAS）.
┐
A
B D
C
┐
新课讲解
如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？练一练
分析： 利用三角形全等的性质说明AB=AC.
AB，AC分别在△AEB和△ADC中， 则需要证明
△AEB≌ △ADC.题目中已有一边和两角相等，可
以考虑选择 “ASA”或者“AAS”，将∠1=∠2转化
成△AEB 和△ADC中相等的角即可.
1
B
D
A
E
2
新课讲解
如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？练一练
1
B
D
A
E
2
证明：∵∠2是△AEB的外角，∴∠AEB=180°-∠2.
∵∠1是△ADC的外角，∴∠ADC=180°-∠1.
∵∠1=∠2，∴ ∠AEB=∠ADC.
在△AEB和△ADC中， ∠A=∠A
∠AEB=∠ADC，
BE=CD，
∴△AEB≌ △ADC（AAS）. ∴AB=AC.
新课讲解
如果两个三角形中，有两个角和一条边分别相等，那么这两
个三角形是全等三角形.
有两个角和一条边分别对应相等的两个三角形是否一定全等？思考
思考 “ASA”和“AAS”之间有什么关系？
在证明两个三角形全等过程中，“ASA”和“AAS”两个判定
是可以相互转化的.
你能总结一下“ASA”和“AAS”的区别与联系吗？
新课讲解
“ASA”和'AAS”的区别与联系
“S”的意义 书写格式 联系
ASA “S”是两角的夹
边
把夹边相等写在两角相
等的中间 由三角形的内角和定理可知，
“ASA”和“AAS”可以互相转化AAS “S”是其中一角
的对边
把两角相等写在一起，
边相等放在最后
新课讲解
练一练 如图，点O是AB的中点，∠C=∠D，则△AOC和△BOD全等吗？请
用两种方法证明.
BA
O
D
C解：△AOC和△BOD全等，理由如下：
∵点O是AB的中点， ∴OA=OB.
∵在△AOC和△BOD中，∠C=∠D，∠AOC=∠BOD，
∴∠A=∠B（三角形内角和定理）.
在△AOC和△BOD中, ∠A=∠B，
OA=OB，
∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌ △BOD（ASA）.
新课讲解
练一练 如图，点O是AB的中点，∠C=∠D，则△AOC和△BOD全等吗？请
用两种方法证明.
BA
O
D
C解：△AOC和△BOD全等，理由如下：
∵点O是AB的中点， ∴OA=OB.
∵在△AOC和△BOD中， ∠C=∠D，
∠AOC=∠BOD，
OA=OB，
∴△AOC≌ △BOD（AAS）.
新课讲解
练一练 已知，如图，点E是AC上一点，AB=CE，AB//CD，∠ACB=∠D.
求证：BC=ED.
证明：∵AB//CD， ∴∠A=∠ECD.
在△ACB和△CDE中，
∠ACB=∠D，
∠A=∠ECD，
AB=CE，
∴△ACB≌ △CDE（AAS）.
∴BC=ED.
A
B
E
C
D
课堂小结
两角和它们的夹边分别相等的两
个三角形全等ASA
应用 利用“ASA、AAS”解决实际
问题
分类探讨 两角及其夹边分别相等
两角及其中一角的对边分别相等三
角
形
全
等
的
判
定
AAS 两角和其中一组角的对边分别相
等的两个三角形全等
对比探究 对比“ASA”和“AAS”的区别和
联系
当堂小练
如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D.求证：AC=AD.
证明：∵∠1=∠2，∠C=∠D，
∴∠ABC=∠ABD （三角形内角和定理）.
在△ABC和△ABD中，
∠1=∠2，
AB=AB（公共边），
∠ABC=∠ABD，
∴△ABC≌ △ABD（ASA）.
∴AC=AD.
A B1
2
C
D
当堂小练
如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE//AB，∠B=∠DAE.
求证：△ABC≌ △DAE.
证明：∵DE//AB， ∴ ∠CAB=∠EDA.
在△ABC和△DAE中，
∠CAB=∠EDA，
AB=DA，
∠B=∠DAE，
∴△ABC≌ △DAE（ASA）.
为你支招：有平行线就可
以转化出相等的角.
当堂小练
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一
点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，如果EF=5cm，
那么AE=（ ）cm.
分析：题目中已经给出一对边相等，可以选择
“SSS”，“SAS”或者“ASA”.根据题意的垂直关系
可以转化出相等的角，所以本题选择“ASA”.
利用好垂直关系和余角定理是解决本题的关键.
当堂小练
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一
点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，如果EF=5cm，
那么AE=（ ）cm.3
分析：∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD=90°.
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°. ∴∠B=∠ACD.
∵EF⊥AC， ∴∠FEC=90°. ∴∠ACB=∠FEC.
在△ACB和△FEC中，∠B=∠FCE，
BC=CE，
∠ACB=∠FEC，
∴△ACB≌ △FEC（ASA）. ∴ AC=EF.
∵BC=2cm，EF=5cm. ∴ AE=3cm.
当堂小练
如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC//DF.
求证：（1）△ABC≌ △DEF.（2）BE=CF.
证明：（1）∵AC//DF， ∴∠ACB=∠F.
在△ABC和△DEF中，
∠ACB=∠F，
∠A=∠D，
AB=DE，
∴△ABC≌ △DEF（AAS）.
A
C
D
FB E
（2）∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF.∴BC-EC=EF-EC，即BE=CF.
等边加（减）等边，其和（差）
还是等边，等角加（减）等角，
其和（差）还是等角.
D
拓展与延伸
如图，已知∠1=∠2，∠E=∠C，AC=AE.求证：AB=AD，∠B=∠D.
1
B
E
D
A
2
分析：等角加等角，其和仍然是等角；同理，等
角减等角，其差仍然是等角.利用题目中已经给出
的角转化出新的相等的角，从而证明三角形全等，
利用全等的性质得出对应角相等，对应边相等.
D
拓展与延伸
如图，已知∠1=∠2，∠E=∠C，AC=AE.求证：AB=AD，∠B=∠D.
1
B
E
D
A
2
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE，
AC=AE，
∠C=∠E，
∴△ABC≌ △ADE（ASA）.
∴AB=AD，∠B=∠D.
D
拓展与延伸
如图，已知AD是∠BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，
要△AED≌ △AFD，可添加一个什么条件？并给予证明.
已有一边和一角分别相等，可
以构造一边相等选择“SAS”.
解：（1） 添加AE=AF，证明如下：
∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠FAD.
∵在△AED和△AFD中，AE=AF，
∠EAD=∠FAD，
AD=AD，
∴△AED≌ △AFD（SAS）.
D
拓展与延伸
如图，已知AD是∠BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，
要△AED≌ △AFD，可添加一个什么条件？并给予证明.
解：（2） 添加∠EDA=∠FDA ，证明如下：
∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠FAD.
∵在△AED和△AFD中，∠EDA=∠FDA，
AD=AD，
∠EAD=∠FAD，
∴△AED≌ △AFD（ASA）.
已有一边和一角分别相等，可
以构造一角相等选择“ASA”.
D
拓展与延伸
如图，已知AD是∠BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，
要△AED≌ △AFD，可添加一个什么条件？并给予证明.
解：（3） 添加∠DEA=∠DFA，证明如下：
∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠FAD.
∵在△AED和△AFD中，∠DEA=∠DFA，
∠EAD=∠FAD，
AD=AD，
∴△AED≌ △AFD（AAS）.
已有一边和一角分别相等，可
以构造一边相等选择“AAS”.
第十二章 全等三角形
12.2 全等三角形的判定
课时四用“斜边、直角边”
判定直角三角形全等
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解并掌握直角三角形全等判定“斜边、直角边”条件的内容（重点）
2.熟练利用“斜边、直角边”条件证明两个直角三角形全等.（难点）
3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力.
学习目标
新课讲解
思考 两个直角三角形中，已经有一对相等的直角，还需要满足几个条件就
可以说明两个三角形全等？
由已经学过的三角形全等的判定可知，满足“一边一
锐角分别相等”或者“两直角边分别相等”就可以借助
“ASA”，“AAS”或者“SAS”证明.
A
B C
B′
A′
┐
┐
如果满足斜边和一条直角边分别相
等，这两个直角三角形全等吗？
新课讲解
任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使得
∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB.试问Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等吗？
画法：（1）画∠MC′N=90°；
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC；
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′；
（4）连接A′B′.
C′
A
B C
B′
A′
M
N
新课讲解
知识点1 全等形的判定5
判定5：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
（可以简写成“斜边、直角边”或者“HL”）
符号语言表示：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
AC=A′C′，
BC=B′C′，
∴△ABC≌ △A′B′C′（HL）.
要按照”角—角—边
“的顺序书写.
A
B C
B
′
A
′
┐
┐
C′
新课讲解
已知条件 可选择的判
定方法 需寻找的条件
一锐角对应
相等 ASA或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或者与锐角（或
直角）的对边对应相等
斜边对应相
等 HL或AAS 可证一直角边对应相等或证一锐角对应相等
一直角边对
应相等
HL或ASA或
AAS
可证斜边对应相等或证已知边相邻的锐角对应相等或
证已知边所对的锐角对应相等
新课讲解
例 1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.
求证：BC=AD.
D
A B
C
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA，
AC=BD，
∴Rt△ABC≌ Rt△BAD（HL）.
∴BC=AD.
新课讲解
练一练 如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF.
求证：AE=DF.
A B
C
E
D
F
证明：∵CE=BF， ∴CE-FE=BF-EF，即CF=BE.
∵在Rt△ABE和Rt△DCF中，
AB=DC，
BE=CF，
∴Rt△ABE≌ Rt△DCF（HL）. ∴AE=DF.
等边加（减）等边，其和（差）还是等边，等
角加（减）等角，其和（差）还是等角.
新课讲解
已知，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90〫，有如下几个条件：
①AC=A′C′，∠A=∠A′；②AC=A′C′，AB=A′B′；
③AC=A′C′，BC=B′C′；④ AB=A′B′，∠A=∠A′.其中，能判定
Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′的条件的个数为（ ）.
A.1 B.2 C.3 D.4
练一练
根据已经学过的5种判定方法：“SSS”“SAS”、
“ASA”、“AAS”、“HL”，并结合题目中的已知条件
进行判断.
新课讲解
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
① ∠A=∠A′，
AC=A′C′，
∠C=∠C′，
Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′（ASA）.
② AB=A′B′，
AC=A′C′，
Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′（HL）.
A
B C
B′
A′
┐
┐
C′
新课讲解
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
③ AC=A′C′，
∠C=∠C′，
BC=B′C′，
Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′（SAS）.
④ ∠A=∠A′，
∠C=∠C′，
AB=A′B′，
Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′（AAS）.
A
B C
B′
A′
┐
┐
C′
课堂小结
根据已知条件选择适合证明两个
直角三角形全等的方法对比探究
应用 利用“HL”解决实际问题
HL
斜边和一条直角边分别相等的两
个直角三角形全等三
角
形
全
等
的
判
定
当堂小练
如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿着两条
直线行走，并同时到达D，E两地.DA⊥AB，EB⊥AB.D，E与路段AB的距
离相等吗？为什么？
解：相等，理由如下：
∵C是路段AB的中点， ∴AC=BC.
∵同时出发，同时到达，且速度相同， ∴CD=CE.
∵DA⊥AB，EB⊥AB ∴△ACD和△BCE是直角三角形.
∵在Rt△ACD和Rt△BCE中，AC=BC，
CD=CE，
∴ Rt△ACD≌ Rt△BCE（HL）. ∴DA=DB.
D
A
B
C E
当堂小练
如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在
BC上，且AE=CF.求证：△ABE≌ △CBF.
证明：∵∠ABC=90°，∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠CBF=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
AE=CF，
AB=CB，
∴Rt△ABE≌ Rt△CBF（HL）.
当堂小练
如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，
AB=DC，BE=CF.试判断AB与CD的位置关系，并证明.
解：AB//CD，理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°
∵在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC，
BE=CF，
∴ Rt△ABE≌ Rt△DCF（HL）.
∴∠B=∠C，则AB//CD.
C
A
B
D
EF
D
拓展与延伸
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，P，Q两点分
别在AC上和过点A且垂直AC的射线AM上运动，且PQ=AB.当点P运
动到AC上什么位置时，△ABC与△QPA全等？
分析：△ABC和△QPA是直角三角形，题目中已经有一边相等.
①因为AB，PQ分别为Rt△ABC和Rt△QAP的斜边，可以令
“BC=AP”，选择“HL”.
②因为AB，PQ分别为Rt△ABC和Rt△QAP的斜边，可以令
“AC=AP”，选择“HL”.
D
拓展与延伸
解：①当点P运动到AP=BC的位置时，
在Rt△APQ和Rt△CBA中，
PQ=BA，
AP=BC，
∴Rt△APQ≌ Rt△CBA（HL）.
∴AP=BC=5cm.
D
拓展与延伸
解：②当点P运动到AP=AC的位置时，
Rt△APQ和Rt△CBA中，
PQ=AB，
AP=CA，
∴Rt△APQ≌ Rt△CAB（HL）.
∴AP=AC=10cm.
综上，当点P运动到使AP=5cm或者10cm位置时，
△APQ和△CAB全等.
第十二章 全等三角形
12.3 角平分线的性质
课时一 角平分线的性质
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.（重点）
2.探究并证明角平分线的性质.（难点）
3.会用角平分线的性质解决实际问题.
学习目标
新课讲解
思考 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶
点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个
角的平分线.你能说明它的道理吗？
理由如下：如图构成了△ADC和△ABC，
∵在△ADC和△ABC中， AD=AB，
AC=AC，
DC=BC，
∴△ADC≌ △ABC（SSS），∴ ∠DAC=∠BAC.
∵点C在射线AE上，
∴AE是这个角的平分线.
A
D B
C
E
新课讲解
知识点1 作已知角的平分线
如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线.
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧
线，交OA于点N，交OB于点M.
（2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为
半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
2
1
新课讲解
知识点1 作已知角的平分线
如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线.
（1）以“适当的长为半径”是为了方便画图，不
能太长，也不能太短.
（2）“以大于 MN的长为半径画弧”是因为小于
MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于 MN的
长为半径画弧时不容易操作.
2
1
2
1
2
1
新课讲解
知识点1 作已知角的平分线
如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线.
（3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为
所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在
角的内部.
（4）“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接
OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线.
新课讲解
思考 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一
点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE
并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
经过测量发现，PD=PE，在OC上再取
几个点，都能得到同样的结论.
新课讲解
知识点2 角平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
（1）“点”是指角的平分线上任意位置的点；
（2）“点到角的两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度.
几何表示：
如图，∵OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
∴PD=PE.
新课讲解
如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足
分别为D、E.求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO，
∠AOC=∠BOC，
OP=OP，
∴△PDO≌ △PEO（AAS）， ∴PD=PE.
新课讲解
证明几何命题的一般步骤.
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证明的结论的途径，写出证明过程.
（1）所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考
虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明；
（2）证明过程中的每一步推理都要有依据，比如：已知条件、定义、定理等.
新课讲解
例 1 求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在的直线的
距离相等.
典例分析
需要先将命题改写成”如果……那么……“的形式，然后确定已
知和求证.
新课讲解
已知，如图所示，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD
的延长线于点E.求证：BE=CF.
证明：∵AD为△ABC的中线， ∴BD=CD.
∵CF⊥AD，BE⊥AD交AD的延长线于点E，
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BED和△CFD中， ∠BED=∠CFD，
∠BDE=∠CDF，
BD=CD，
∴△BED≌ △CFD（AAS）， ∴BE=CF.
新课讲解
练一练
填空：下列结论一定成立的是（ ）
①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA、OB上的点，则PD=PE.
②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE.
③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD┴OA，垂足分别为D.若PD=3，则点P
到OB的距离为3.
O B
A
CP
D
图3
O B
A
CP
D
图2
EO B
A
CP
D
图1
E
┐
┐
┐
③
新课讲解
①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE
（PD、PE不是角平分线上的点到角两边的距离）.
②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE
（OC不是∠AOB的平分线）.
③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足分别为D.若PD=3，则点
P到OB的距离为3（PD是∠AOB平分线OC上的点到OA的距离）.
O B
A
CP
D
图3
O B
A
CP
D
图2
EO B
A
CP
D
图1
E
┐
┐
┐
新课讲解
练一练
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为E、F.求证：EB=FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CD， DE=DF，
∴Rt△BDE≌ Rt△CDF（HL）.
∴EB=FC.
C
A
B D
FE
┐
┐
课堂小结
角的平分线上的点到角的两边的
距离相等性质
应用 利用角平分线的性质解决实
际问题
角平分线的做法 会用尺规作图法画出一个已知角
的平分线
角
平
分
线
的
性
质
当堂小练
证明：∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD.
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
∵ OP=OP，
PC=PD，
∴Rt△OCP≌ Rt△ODP（HL）.
∴ ∠CPO=∠DPO，OC=OD.
如图，OP为∠AOB 的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，
则下列结论错误的是（ ）
A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
B
当堂小练
分析：在△ABC中，∠C=90°， ∴DC⊥AC.
又∵DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴DC=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中, AD=AD，
DC=DE，
∴Rt△ACD≌ Rt△AED（HL）， ∴AC=AE.
∵AC=BC， ∴AE=BC， ∴△DEB的周长为8cm.
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，
DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，则△DEB 的周长为（ ）
A.10cm B.7cm C.8cm D.不能确定
C
D
拓展与延伸
如图，点D、B分别在∠MAN的两边上，C是∠MAN内一点，AB
=AD，BC = CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F. 求证：CE = CF.
第十二章 全等三角形
12.3 角平分线的性质
课时二 角平分线的判定
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.探究并证明角的平分线的判定.（重点）
2.会用角的平分线的判定解决实际问题.（难点）
3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
学习目标
新课讲解
思考 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并
且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？
作出公路和铁路相交的角的平分线，按照比例尺的比例在
该平分线上选取离交叉口处500m的位置即可建集贸市场.
到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上？
新课讲解
知识点1 角平分线的判定定理
角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点
在角的平分线上.
O A
B
CP
D
E
┐
（1）使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部；
（2）角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.
几何表示：
如图，∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足
分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
新课讲解
知识点1 角平分线的判定定理
如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上.
O A
B
CP
D
E
┐
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°.
∵在Rt△PEO和Rt△PDO中， PE=PD，
PO=PO，
∴Rt△PEO≌ Rt△PDO（HL）. ∴∠AOC=∠BOC.
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
新课讲解
知识点2
正确理解两个定理的条件和结论，性质定理和判定定理的条件和结论是相反的，
性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.
角的平分线的性质定理与判定定理的关系：
新课讲解
知识点3
分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置上你能观察出什么结论？
三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部.
新课讲解
知识点3
过交点分别作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段，从大小上你能观察出什
么结论？
┐
┐
┐
┐
┐
┐ ┐
┐
┐
A
B C
A
B BC
A
C
过交点作三角形三边的垂线段相等
新课讲解
知识点3
如图，△ABC的角平分线AD、BE、CF相交于点P.求证：点P 到△ABC 三
边AB，BC，CA的距离相等.
B
C
P
D
EF
M
NO
┐
┐
┐
A
证明：过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PO⊥AB，
垂足分别为点M，N，O.
∵AD为△ABC的角平分线， ∴PN=PO.
∵BE为△ABC的角平分线， ∴PM=PO.
∵CF为△ABC的角平分线， ∴PM=PN.
∴PM=PN=PO，即点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等.
新课讲解
知识点3
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角
形三边的距离相等，反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三
角形三条角平分线的交点. A
B
C
P
新课讲解
1、判断题：
（1）如图1，若QM=QN，则OQ平分∠AOB.（ ）
（2）如图2，若QM⊥OA于点M，QN⊥OB于点N，则OQ平分∠AOB.（ ）
×
×
O B
A
M
图2
NO B
A
Q
M
图1
N
┐
Q
┐
新课讲解
练一练
如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交
AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法：
①点P在∠DBC的平分线上；②点P在∠BCE 的平分线上；③点P在∠BAC 的
平分线上.其中说法正确的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
CA E
B
D
F
P
┐
┐
D
新课讲解
练一练
如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.求
证：AD是∠BAC的平分线.
C
E
A F
D
B
┐
┐
分析：AD是∠BAC的平分线.
（角的平分线的判定）
DE⊥AB，DF⊥AC ，DE=DF.
（三角形全等的判定）
Rt△DEB≌ Rt△DFC.
（直角三角形全等“HL”）
BE=CF，DB=DC.
新课讲解
练一练
如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.求
证：AD是∠BAC的平分线.
C
E
A F
D
B
┐
┐
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE=CF，
DB=DC，
∴Rt△BDE≌ Rt△CDF（HL）.
∴DE=DF.
∴点D在∠BAC的平分线上，即AD是∠BAC的平分线.
课堂小结
角的内部到角的两边的距离相等
的点在角的平分线上判定定理
应用 综合利用角的平分线的性质
和判定来解决实际问题
学会用添加辅助线
的方法解题角
平
分
线
的
判
定
当堂小练
如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，
OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=（ ）.
分析：OF、OD、OE为点O到三边的距离，且OF=OD=OE.
（角的平分线的判定）
OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB.
（角的平分线的性质）
∠OBC=∠OBA， ∠OCB=∠OCA.
（三角形内角和定理）
转化为 ∠BAC和∠BOC的关系.
当堂小练
如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，
OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=（ ）.
证明：∵OF=OD=OE， ∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB.
∵∠BAC=70°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°.
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=55°.
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°.
2
1
125°
当堂小练
如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD，交AD
的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD.
E
A
B C
D
F ┌┐
分析： AC平分∠BAD.
（角的平分线的判定）
CF=CE.
（全等三角形的性质）
△CFB≌ △CED.
（全等三角形的判定）
∠ADB+∠ABC=180°，BC=DC（转化已知条件）.
当堂小练
如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD，交AD
的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD.
E
A
B C
D
F ┌┐
证明：∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠ABC=∠EDC.
∵CE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠CED=∠CFB=90°.
∵在△BCF和△DCE中， ∠CFB=∠CED，
∠FBC=∠EDC，
BC=DC，
∴△BCF≌ △DCE（AAS）.
∴CF=CE，即AC平分∠BAD.
D
拓展与延伸
如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB的
平分线.
A B
C
E
D
┌
┌ 分析：AE是∠DAB的平分线.
（角的平分线的判定）
点E到AB、AD的距离相等（BE=FE ）.
（等量代换）
BE=CE，EF=CE.
（角的平分线的性质）
DE平分∠ADC，∠DFE=∠C=90°.
D
拓展与延伸
如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB 的
平分线.
证明：过点E作EF⊥AD于点F，
∵∠B=∠C=90°， ∴DC⊥EC，EB⊥AB.
∵DE平分∠ADC， ∴EC=EF.
∵E是BC的中点， ∴EC=EB.
又∵EF⊥AD，EB⊥AB，
∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线.
A B
C
E
D
┌
┌
F
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