资料简介
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.1同底数幂的乘法
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解同底数幂的乘法的性质，会利用这一性质进行同底数幂的乘
法运算.（重点）
2.掌握同底数幂的乘法的运算性质的推导.（难点）
3.体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作
用.
学习目标
新课导入
思 考 一种电子计算机每秒可进行1千万亿1015次运算，它工作103秒可进行多少
次运算？
这个结果应该是多少呢？我们该怎样进行运算？
1015和103分别表示什么意思，请写出并进行分析.
很容易得出这种电子计算机每秒可进行1015×103次的运算.
新课导入
思 考 一种电子计算机每秒可进行1千万亿1015次运算，它工作103秒可进行多少
次运算？
1015=10×10×10×10×10×……×10×10 ;（15个10相乘）
103 =10×10×10 ;（3个10相乘）
1015×103 =（10×10×……×10×10）×（10×10×10）
=10×10×10×10×10×……×10×10（18个10相乘）
=1018 .
新课导入
观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) 32×33=35 ;
32表示2个3相乘，33表示3个3相乘，35表示5个3相乘.
(2) (-4)3×(-4)4=(-4)7 ;
(-4)3表示3个(-4)相乘，(-4)4表示个(-4)相乘，(-4)7 表示7个(-4)相乘.
(3) a3×a5 =a8 ;
a3表示3个a相乘，a5表示5个a相乘，a8表示8个a相乘.
新课导入
观察计算结果，你能发现什么规律？（m，n为正整数）
(4) 3m×3n=3m+n ;
3m 表示m个3相乘，3n表示n个3相乘，3m+n表示(m+n)个3相乘.
(5) (-4)m×(-4)n=(-4)m+n ;
(-4)m 表示m个(-4)相乘，(-4)n 表示n个(-4)相乘，(-4)m+n表示(m+n)个(-4)相乘.
(6) am×an=am+n .
am 表示m个a相乘，an表示n个a相乘，am+n 表示(m+n)个a相乘.
新课导入
规 律 以上6个式子都是两个底数相同的幂相乘，其结果的幂的底数仍与
原来两个幂的底数相同，结果的幂的指数是原两个幂的指数相加.
（其中指数均为正整数）
思考：你能总结出同底数幂相乘的运算法则吗?
新课讲解
知识点1 同底数幂的乘法
性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
am×an=(a∙a∙a∙a∙a∙a∙∙∙∙∙∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙a)(a∙a∙a∙a∙a∙a∙∙∙∙∙∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙a)
=a∙a∙a∙a∙a∙a∙∙∙∙∙∙a∙a∙a
=am+n
m个a n个a
m+n个a
符号表示：am×an=am+n （m，n 都是正整数）.
新课讲解
知识点1 同底数幂的乘法
性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
符号表示：am×an=am+n （m，n 都是正整数）.
(1)使用该性质运算的前提条件有两个：①乘法运算； ②底数相同.
(2)单个字母或数字可以看成指数为1的幂，参与同底数幂的乘法运
算时， 不能忽略指数为1的幂.
新课讲解
知识点1 同底数幂的乘法
示例：
a3×a5 = a8 (-a)×(-a)2×(-a)3 = (-a) 1+2+3 =(-a)6
底数a不变
指数相加
底数-a不变
指数相加
(-a)的指数为1
新课讲解
知识点1 同底数幂的乘法
(1)同底数幂的乘法的性质也适用于三个及三个以上的同底
数幂相乘，即 am∙ an∙ ap = am+n+p（m，n，p都为正整数）.
(2)同底数幂的乘法的性质可以逆用，即 am+n = am∙ an （m，n都为正
整数）.
新课讲解
知识点1 同底数幂的乘法
(3)在幂的运算中，经常用到以下变形：
(-a)m= am (m为正偶数)
-am (m为正奇数)
(a-b)m= (b-a)m (m为正偶数)
-(b-a)m (m为正奇数)
(1)同底数幂相乘
时，底数可以是单项式，
也可以是多项式.
(2)底数不同时，若能化
成相同底数，则先化成
相同底数，再利用同底
数幂的乘法的性质计算.
新课讲解
练一练 1 下列运算中正确的是（ ）
A. x2∙ x2=2x2 B. x2∙ x3=x6
C. x2∙ x3=x5 D. (-x)2∙ (-x)3=(-x)6=x6
C
解：A. x2∙ x2=x2+2=x4
B.C. x2∙ x3=x2+3=x5
D. (-x)2∙ (-x)3=(-x)2+3=(-x)5=-x5
新课讲解
练一练 2 计算：(1) x2∙ x5 ; (2) a∙ a5 ;
(3) (-2)×(-2)4×(-2)3 ; (4) xm∙ x3m+1 .
解： (1) x2∙ x5 = x2+5 = x7 ;
(2) a∙ a5 = a1+5 = a6 ;
(3) (-2)×(-2)4×(-2)3 = (-2)1+4+3= (-2)8 = 256 ;
(4) xm∙ x3m+1 = xm+3m+1 = x4m+1 .
新课讲解
练一练 3
解：(4) (x+3y)3∙(x+3y)2∙(x+3y)=(x+3y)3+2+1=(x+3y)6 ;
(5) (x-y)3∙(y-x)4=(x-y)3∙(x-y)4=(x-y)7 .
计算：(1) x7∙ x ; (2) (-10)3×(-10)5 ;
(3) -x2∙ (-x)8 ; (4) (x+3y)3∙(x+3y)2∙(x+3y) ;
(5) (x-y)3∙(y-x)4 .
课堂小结
同
底
数
幂
的
乘
法
am×an=am+n （m，n为正整数）
性质：同底数幂相乘，底数不
变，指数相加.
当堂小练
1. x3·x2的运算结果是（ ）
A. x2 B. x3 C. x5 D. x6
C
2. a16可以写成（ ）
A. a8+a6 B. a8·a2 C. a8·a8 D. a4·a4
C
当堂小练
提示：3x+2=3x·32=36，3x=4.
3. 若3x+2=36，则 .
2
3x
2
4. 已知2a=2，2b=6，2c=18，试探求a，b，c之间的关系.
解：∵ 2b=6，∴2b · 2b=36，2a·2c=36，
2a·2c=2b · 2b ，
∴ 2a+c=22b，
∴ a+c=2b.
拓展与延伸
我国陆地的面积约是 9.6×106 平方千米，平均每平方千米的土地上，一
年从太阳得到的能量相当于燃烧 1.3×105 吨煤所产生的能量.求在我国领
土上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤所燃烧的能量？
解： 9.6×106 ×1.3×105=9.6×1.3×106 ×105
=12.48 ×106+5
=1.248 ×1012 .
则一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 1.248 ×1012 吨煤.
拓展与延伸
分析：因为 7m+n 能被16整除，所以16是 7m+n 的一个因式，要说明
7m+2+n 能被16整除，只需说明16或者 7m+n 是 7m+2+n 的一个因式即可.
判断一个式子能否被一个数整除，只需看这个式子能否化成
这个数与另一个式子的乘积形式.
如果 7m+n 能被16整除，试说明 7m+2+n 也能被16整除.
拓展与延伸
如果 7m+n 能被16整除，试说明 7m+2+n 也能被16整除.
解： 7m+2+n=72∙7m+n=49×7m+n=48×7m+7m+n .
因为7m+n和48×7m都能被16整除，
所以 48×7m+7m+n也能被16整除.
也即是 7m+2+n 也能被16整除.
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.2幂的乘方
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.了解幂的乘方的运算法则，熟练运用幂的乘方的运算法则进行实
际计算.（重点）
2.掌握幂的乘方的运算法则的推导.（难点）
3.体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作
用.
学习目标
新课导入
思 考 用含有 x 的字母表示图(1)、图(2)的面积和图(3)的体积.
图(1)是边长为 x 的正方形；
图(2)是边长为 x2 的正方形；
图(3)是边长为 x2 的正方体.
x
(1) (2)
x2 x2
(3)
新课导入
思 考 用含有 x 的字母表示图(1)、图(2)的面积和图(3)的体积.
S(1)= x2
x
(1) (2)
x2 x2
(3)
S(2)= (x2)2 V(3)=(x2)3
新课导入
(1) (x2)2 = x2∙2= x4 ;
(2) (x2)3 = x2∙3= x6 .
观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) (x2)2 = x2∙x2 = x2+2= x4 ;
(2) (x2)3 = x2∙x2∙x2 = x2+2+2= x6 .
结 论
新课导入
观察计算结果，你能发现什么规律？（m，n为正整数）
(1) (32)3=32×32×32=36 ;
(2) (a2)3=a2×a2×a2=a6 ;
(3) (am)3=am×am×am=a3m （m是正整数）;
(4) (am)n=am×am×∙∙∙am=amn （m，n为正整数）.
n个am
新课导入
规 律 以上4个式子都是幂的乘方的形式，根据已经学过的乘方的意义和
同底数幂的乘法性质可以得出幂的乘方的结果中底数不变，指数
为两个指数的乘积（其中指数均为正整数）.
思考：你能总结出幂的乘方的运算法则吗?
新课讲解
知识点1 幂的乘方
性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
n个m
n个am
符号表示：(am)n=amn（m，n都是正整数）.
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n.
(am)n=am×am×∙∙∙am=amn
=a(m+m+m+∙∙∙+m)
新课讲解
知识点1 幂的乘方
示例：
= = = =
底数a不变
32）（a 32×a 6a
指数相乘
底数x+y不变
nmyx ][ ）（ nmyx ）（ mnyx ）（
指数相乘
新课讲解
(1) 幂的乘方的性质也可以推广为 [(am)n]p=amnp
(m，n，p都为正整数).
(2) 幂的乘方的性质可以逆用，即 amn=(am)n (m，n为正整数).
知识点1 幂的乘方
新课讲解
(1)在形式上，幂的乘方的底数本身就是一个幂，根据乘方的
意义和同底数幂的乘法的性质可以推出幂的乘方的性质；
(2)在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式.
幂的乘方用性质，
底数不变指数乘，
推广指数一次幂，
逆用性质巧计算.
知识点1 幂的乘方
新课讲解
练一练 1 计算下列式子：
(1) (103)5 ; (2) (a4)4 ;
(3) (am)2 ; (4) -(x4)3 .
解：(1) (103)5=103×5=1015 ;
(2) (a4)4 =a4×4=a16 ;
(3) (am)2 = am×2= a2m ;
(4) -(x4)3=-x4×3=-x12 .
新课讲解
练一练 2
(3) -[(a-b)3 ]4 = -(a-b)3×4= -(a-b)12 .
计算：(1) (an+1)2 ; (2) [(-x)7]4 ; (3) -[(a-b)3 ]4 .
解：(1) (an+1)2 = a(n+1)×2 = a2n+2 ;
(2) [(-x)7]4 = (-x)7×4 = (-x)28= x28 ;
新课讲解
练一练 3 已知 a2n=3，求 a4n-a6n 的值.
解：a4n-a6n = (a2n)2- (a2n)3
= 32-33
= -18 .
把指数是积的形式的幂写成幂的乘方，amn=(am)n
（m，n都是正整数），然后整体代入，求出式子的值.
课堂小结
幂
的
乘
方
(am)n=amn （m，n为正整数）
性质：幂的乘方，底数不变，
指数相乘.
当堂小练
1.计算(x3)3的结果是（ ）
A. x5 B. x6 C. x8 D. x9
D
2. 下列运算正确的是（ ）
A. a2·a3=a6 B. (a2)3=a6
C. a5·a5=a25 D. (3x)3=3x3
B
a5
a10 27x3
当堂小练
3. （1）若2x+y=3，则4x·2y= .
（2）已知3m·9m·27m·81m=330，求m的值.
8
解：3m·32m·33m·34m=330
310m=330
m=3
拓展与延伸
已知16m=4×22n-2，27n=9×3m+3 ，求 m，n 的值.
解：因为16m=4×22n-2，所以24m =22×22n-2 .
所以24m=22n，即4m=2n，2m=n. ①
因为 27n=9×3m+3 ，所以(33)n=32×3m+3 .
所以33n=3m+5，即3n=m+5. ②
由①②得，m=1，n=2.
拓展与延伸
比较 355、444 、533 的大小.
解： 355 = (35)11 = 24311 ， 444 = (44)11 = 25611 ，
533 = (53)11 = 12511 .
因为125
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